Как решить уравнение синус умножить на косинус

В данной статье рассмотрены формулы произведения синусов, косинусов, а также формулы произведения синуса на косинус. Допустим, есть необходимость вычислить произведение синусов или косинусов углов α и β . Формулы произведения позволяют перейти от произведения к сумме или разности синусов и косинусов углов α + β и α — β .

Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

1. Произведение синусов углов α и β равно полуразности косинуса угла α — β и косинуса угла α + β .
2. Произведение косинусов углов α и β равно полусумме косинуса угла α — β и косинуса угла α + β .
3. Произведение синуса угла α на косинус угла β равно полусумме синуса угла α — β и синуса угла α + β .

Формулы произведения

Для любых α и β справедливы формулы

• sin α · sin β = 1 2 cos α — β — cos α + β ;
• cos α · cos β = 1 2 cos α — β + cos α + β ;
• sin α · cos β = 1 2 sin α — β + sin α + β .

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Вывод формул

Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

cos α + β = cos α · cos β — sin α · sin β cos α — β = cos α · cos β + sin α · sin β

Сложим эти равенства и получим:

cos α + β + cos α — β = cos α · cos β — sin α · sin β + cos α · cos β + sin α · sin β cos α + β + cos α — β = 2 · cos α · cos β

cos α · cos β = 1 2 cos α + β + cos α — β

Формула произведения косинусов доказана.

Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

— cos ( α + β ) = — cos α · cos β + sin α · sin β

Добавим к равенству формулу cos α — β = cos α · cos β + sin α · sin β .

— cos ( α + β ) + cos α — β = — cos α · cos β + sin α · sin β + cos α · cos β + sin α · sin β — cos ( α + β ) + cos α — β = 2 · sin α · sin β sin α · sin β = 1 2 ( cos α — β — cos ( α + β ) )

Таким образом, выведена формула произведения синусов.

Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

sin α + β = sin α · cos β + cos α · sin β sin α — β = sin α · cos β — cos α · sin β sin α + β + sin α — β = sin α · cos β + cos α · sin β + sin α · cos β — cos α · sin β sin α + β + sin α — β = 2 sin α · cos β sin α · cos β = 1 2 ( sin α + β + sin α — β )

Формула произведения синуса на косинус выведена.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Примеры использования

Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач.

Пусть α = 60 ° , β = 30 ° . Возьмем формулу произведения синусов и подставим в нее конкретные значения.

sin α · sin β = 1 2 ( cos α — β — cos α + β ) sin 60 ° · sin 30 ° = 1 2 ( cos 60 ° — 30 ° — cos 60 ° + 30 ° ) sin 60 ° · sin 30 ° = 1 2 ( cos 30 ° — cos 90 ° ) sin 60 ° · sin 30 ° = 1 2 ( 3 2 — 0 ) = 3 4

Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

sin 60 ° · sin 30 ° = 3 2 · 1 2 = 3 4 .

Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

Пример. Формулы произведения

Нужно sin 75 ° умножить на cos 15 ° и вычислить точное значение произведения.

Мы не располагаем точными значениями синуса и косинуса данных углов, однако можем вычислить точное значение произведения sin 75 ° · cos 15 ° c помощью формулы произведения синуса на косинус.

sin 75 ° · cos 15 ° = 1 2 sin ( 75 ° — 15 ° + sin ( 75 ° + 15 ° ) ) sin 75 ° · cos 15 ° = 1 2 sin 60 ° + sin 90 ° = 1 2 3 2 + 1 = 3 + 2 4

Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.

Видео:СЕКРЕТНЫЙ ЛАЙФХАК С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #тригонометрияСкачать

Решение уравнения sin x — cos x = 1. Урок-семинар

Разделы: Математика

Цели урока:

Главная дидактическая цель: рассмотреть все возможные способы решения данного уравнения.

Обучающие: изучение новых приемов решения тригонометрических уравнений на примере данного в творческой ситуации урока-семинара.

Развивающие: формирование общих приемов решения тригонометрических уравнений; совершенствование мыслительных операций учащихся; развитие умений и навыков устной монологической математической речи при изложении решения тригонометрического уравнения.

Воспитывающие: развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.

Вопросы для подготовки и дальнейшего обсуждения на семинаре.

1. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
2. Разложение левой части уравнения на множители.
3. Введение вспомогательного угла.
4. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
5. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
6. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
7. Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
8. Графическое решения уравнения.

Все учащиеся разбиваются на группы (по 2-4 человека) в зависимости от общего количества учащихся и их индивидуальных способностей и желания. Самостоятельно определяют для себя тему для подготовки и выступления на уроке-семинаре. Выступает один человек от группы, а остальные учащиеся принимают участие в дополнениях и исправлениях ошибок, если в этом возникнет необходимость.

Организационный момент.

Тема урока:

“Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x — cos x = 1

Форма проведения: урок – семинар.

Эпиграф к уроку:

“Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательными и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы”

Задачи урока:

а) рассмотреть возможность решения одного и того же уравнения различными способами;
б) познакомиться с различными общими приемами решения тригонометрических уравнений;
в) изучение нового материала (введение вспомогательного угла, универсальная подстановка).

План семинара

1. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
2. Разложение левой части уравнения на множители.
3. Введение вспомогательного угла.
4. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
5. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
6. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
7. Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
8. Графическое решения уравнения.

Содержание.

1. Слово предоставляется первому участнику.

Приведение уравнения sin x — cos x = 1 к однородному относительно синуса и косинуса.
Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей, используя основное тригонометрическое тождество:

2 sin cos — cos + sin = sin + cos ;

2 sin cos — cos =0 ;
cos = 0;
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, поэтому следует

cos =0 ; =

= 0 — однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos . (cos 0, так как если cos = 0 , то sin — 0 = 0 sin = 0, а это противоречит тригонометрическому тождеству sin + cos = 1).

Получим tg -1 = 0 ; tg = 1 ; =
Ответ:
2. Слово предоставляется второму участнику.

Разложение левой части уравнения sin x — cos x = 1 на множители.

sin x – (1+ cos x ) = 1; используем формулы 1+ cos x = 2 , получим ;
далее аналогично:

произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, поэтому следует

cos =0 ; =
= 0 — однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos . (cos 0, так как если cos = 0 , то sin — 0 = 0 sin = 0, а это противоречит тригонометрическому тождеству sin + cos = 1)

Получим tg -1 = 0 ; tg = 1 ; =
Ответ:

3. Слово предоставляется третьему участнику.

Решение уравнения sin x — cos x = 1 введением вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение sin x — cos x = 1. Умножим и разделим каждое слагаемое левой части
уравнения на . Получим и вынесем в левой части уравнения за скобку. Получим ; Разделим обе части уравнения на и используем табличные значения тригонометрических функций. Получим ; Применим формулу синус разности.
;

Легко установить(с помощью тригонометрического круга), что полученное решение распадается на два случая:

;

Ответ:

4. Слово предоставляется четвертому участнику.

Решение уравнения sin x — cos x = 1 способом преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

Запишем уравнение в виде , используя формулу приведения . Применяя формулу разности двух синусов, получим

;

и так далее, аналогично предыдущему способу.

Ответ:

5. Слово предоставляется пятому участнику.

Решение уравнения sin x — cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению относительно одной из функций.

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество , откуда следует
подставим полученное выражение в данное уравнение.
sin x — cos x = 1 ,

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним ее.

Полученные решения эквивалентны объединению трех решений:

Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Остается проверить третье решение Подставим.
Левая часть:

Получили: , следовательно, – постороннее решение.

Ответ:

6. Слово предоставляется шестому участнику.

Возведение обеих частей уравнения sin x — cos x = 1 в квадрат.

Рассмотрим уравнение sin x — cos x = 1. Возведем обе части данного уравнения в квадрат.

;

;

Используя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла, получим ; sin 2x = 0 ; .

Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:

(эти решения можно нанести на единичную окружность). Проверка показывает, что первое и четвертое решения — посторонние.

Ответ:

7. Слово предоставляется седьмому участнику.

Использование универсальной подстановки в решении уравнения sin x — cos x = 1. Выражение всех функций через tg x по формулам:

Запишем данное уравнение с учетом приведенных формул в виде .
,

получим

ОДЗ данного уравнения – все множество R. При переходе к из рассмотрения выпали значения, при которых не имеет смысла, т. е. или .

Следует проверить, не являются ли решениями данного уравнения. Подставим в левую и правую часть уравнения эти решения.

Левая часть: .

Получили 1=1. Значит, — решение данного уравнения.

Ответ:

8. Слово предоставляется восьмому участнику.

Рассмотрим графическое решение уравнения sin x — cos x = 1.

Запишем рассматриваемое уравнение в виде sin x = 1 + cos x.

Построим в системе координат Оxy графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения.

y = sin x – график: синусоида.
y = cos x +1 – график: косинусоида y = cos x, смещенная на 1 вверх по оси Oy. Абсциссы точек пересечения являются решениями данного уравнения.

Ответ:

Итог урока.

• Учащиеся научились решать тригонометрические уравнения вида , освоили новый материал.
• На примере одного уравнения рассмотрели несколько способов решения.
• Учащиеся были непосредственными участниками урока, была задействована обратная связь в системе ученик-учитель.
• Учащиеся получили навыки самостоятельной работы с дополнительной литратурой.

Список использованной литературы:

1. Татарченкова С.С. Урок как педагогический феномен – Санкт-Петербург: Каро, 2005
2. Выгодский Н.В. Справочник по элементарной математике.-М.: Наука, 1975.
3. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Книга для учащихся 10-11 класса – М.: Просвещение, 1996.
4. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России – М.: ОГИЗ, 1946.
5. Депман И.Я. и др. За страницами учебника математики – М.: Просвещение, 1999.
6. Дорофеев Г.В. и др. Математика: для поступающих в вузы – М.: Дрофа, 2000.
7. Математика: Большой энциклопедический словарь. – М.: БСЭ, 1998.
8. Мордкович А.Г. и др. Справочник школьника по математике. 10-11кл. Алгебра и начала анализа. – М.: Аквариум, 1997.
9. 300 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 2000.
10. 3600 задач по алгебре и началам анализа. – М.: Дрофа, 1999.
11. Школьная программа в таблицах и формулах. Большой универсальный справочник. – М.: Дрофа, 1999.
12. Торосян В.Г. История образования и педагогической мысли: учеб. для студентов вузов. — М.: Изд-во ВЛАДОС-ПРЕСС, 2006.- 351 с.
13. Крылова Н.Б. Педагогическая, психологическая и нравственная поддержка как пространство личностных изменений ребёнка и взрослого.// Классный руководитель.- 2000.- №3. –С.92-103.

Видео:Найдите значение тригонометрического выраженияСкачать

Как решить уравнение синус умножить на косинус

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Методы решения тригонометрических уравнений.

Видео:СИНУС КОСИНУС ТАНГЕНС угла 10 класс РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВСкачать

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

Видео:Решите уравнение ➜ sin⁡x+cos⁡x=1 ➜ 2 способа решенияСкачать

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Видео:Спидран: Как запомнить таблицу синусов и косинусов за 1 минуту? Евгений ДолжкевичСкачать

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

Видео:Косинус и синус двойного угла, часть 1. Алгебра 10 классСкачать

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

Видео:Решите уравнение ★ cos⁡x+sin⁡x=1 ★ Как решать простые уравнения?Скачать

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

Видео:Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

🎦 Видео

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.Скачать

КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

4 способа решить уравнение sinx = cosxСкачать

Формулы суммы и разности косинуса и синуса Алгебра 10 классСкачать

Косинус и синус двойного угла, часть 2. Алгебра 10 классСкачать