Как решить уравнение с пропорцией 6 класс с 2 неизвестными

В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.

Видео:КАК РЕШАТЬ ПРОПОРЦИИ?Скачать

Определение

Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:

a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.

Ниже приведены несколько примеров:

Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.

Видео:Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 1 часть. 6 класс.Скачать

Решение задач

Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.

Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.

При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).

Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.

У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9

Приведем исходное равенство к следующему виду:

В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.

При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.

Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.

Оба равенства равносильны.

Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.

Оба уравнения также равносильны.

Видео:Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 2 часть. 6 класс.Скачать

Система уравнений с двумя неизвестными

Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.

Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.

Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.

Метод подстановки

1. Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
2. Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
3. Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.

Метод сложения

1. Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
2. Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
3. Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.

Графический метод

1. Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
2. Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
3. Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
4. Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.

При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.

В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.

Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!

Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

Видео

Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Уравнение с двумя переменными. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Цели:

• углубление и расширение знаний по предмету;
• развитие математического кругозора, логического мышления;
• стимулирование устойчивого интереса к математике.

Задачи:

• развитие математических способностей и логического мышления;
• развитие познавательного интереса, умение применять полученные знания в нестандартных задачах.

Каждый год в школе проводится олимпиада по математике. Задачи, которые предлагают на олимпиадах разного уровня, чаще всего являются нестандартными. Для их решения нужно уметь использовать материал школьной программы в нестандартных, непривычных для ребенка ситуациях. Внеурочная деятельность по предмету позволяет учителю решать этот вопрос. Чем раньше удается сформировать у учащихся интерес к предмету, тем глубже будут знания. А радость от полученного решения трудной нестандартной задачи будет велика.
Среди тем, предлагаемых для внеклассной работы с учащимися 5-6 классов, есть задачи, которые можно свести к уравнению с несколькими переменными. В них число переменных меньше, чем число уравнений. Это вызывает определенную трудность. С другой стороны, учащиеся в 5-6 классе не владеют в нужной мере методами решения уравнений и систем. Обычно решению помогают некоторые дополнительные условия, сформулированные в задаче. Речь идет о заданиях, в которых надо решить уравнение в целых или натуральных числах.
В этой работе мы рассмотрим задачи для внеклассной работы с учащимися 5-6 классов, которые сводятся к уравнению с двумя переменными (неопределенные уравнения) и методы их решения.

1. Использование понятия НОД (наибольший общий делитель)

Задача. Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько яблок и апельсинов было в каждом подарке?

Решение. Все подарки одинаковые, т.е. в каждом одинаковое число апельсинов и яблок. Надо найти наибольшее целое число, на которое делятся числа 123 и 82. 123 = 3 . 41, 82 = 2 . 41. Получаем, что ребят на елке было 41 человек. В каждом подарке было: 123 : 41 = 3 апельсина и 82 : 41 = 2 яблока.

Ответ: 41 ребенок, 2 яблока и 3 апельсина

2. Признаки делимости при решении задач

Задача. Можно ли разменять 100 р., имея рублевые, трехрублевые и пятирублевые купюры, так, чтобы всего было 29 купюр?
Решение. Пусть в размене участвуют х рублевых, у трехрублевых и z пятирублевых купюр, х + у + z =29, х + 3у + 5z = 100. Записав это равенство в виде (х + у + z) + (2у + 4z) = 100, заключаем, что х + у + z = 29 – четное число, т.к. числа 100 и 2у + 4z – четные числа. Следовательно, нельзя разменять 100 р с помощью 29 купюр достоинством в 1р, 3 р, 5р.

Задача. Решите в натуральных числах х и у уравнение 22х + 13у = 1000.
Решение. Из уравнения видно, что число у должно быть четным. Кроме того, так как 22х + 13у > 13у, то 1000 > 13у, > у, 76 > у. Следовательно, 2 . 16 + 1 = 33, а 33 делится на 11. Очередное значение у больше 16 не на 11, а на 22. Значит, у = 38; далее у = 38 + 22 = 60. Для каждого из значений у = 16, 38, 60 вычислим соответствующее значение х.

3. Свойства уравнений

Учащиеся 5 класса и большую часть 6 класса не владеют правилом переноса слагаемых из одной части уравнения в другую. Это осложняет решения задачи, сводящейся к уравнению вида ах + ву = с. Поэтому разумно на примере чашечных весов познакомить детей с некоторыми свойствами уравнений.

Свойство: Если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число, то полученное в результате этого новое уравнение имеет те же и только те же решения, что и исходное уравнение.

Задача. В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?

Решение. Пусть в клетке х фазанов и у кроликов. Тогда общее число зверей х + у= 35. У фазанов по 2 ноги, т.е. 2х ног у всех фазанов. У кроликов по 4 лапы, т.е. 4у лап у всех кроликов. Найдем общее число лап 2х + 4у = 94.
Попробуем решить это уравнение, используя знание материала 5 класса.
Запишем уравнение 2х + 4у = 94 в виде: 2х + 2у + 2у = 94, 2(х + у) + 2у = 94. Воспользуемся заменой выражения х + у на тождественно равное х + у = 35. Получим: 2 . 35 + 2у = 94, 70 + 2у = 94, 2у = 24, у = 12, тогда х = 23.

Ответ: было 23 фазана и 12 кроликов.

4. Метод перебора

Этот метод применяется в задачах, при решении которых, приходится перебирать различные варианты. Применяется он в основном тогда, когда искомые величины могут быть только целыми числами, а множество всех таких значений конечно.
Нередко в задачах используется свойство делимости целых чисел, а метод перебора выступает в виде составной части решения.

Задача. Дети собирали макулатуру. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а каждая девочка по 15 кг. Всего дети собрали 174 кг. Сколько мальчиков и девочек собирали макулатуру?

Решение. Пусть девочек было х человек, а мальчиков у. Составим уравнение 15х + 21у = 174.

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Задачи на пропорции

О чем эта статья:

5 класс, 7 класс, 8 класс

Видео:Решение задач на проценты способом пропорции. 6 класс.Скачать

Понятие пропорции

Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.

Главное свойство пропорции:

Произведение крайних членов равно произведению средних.

где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.

Вывод из главного свойства пропорции:

• Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
  
• Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:
  

Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.

Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.

Видео:Пропорция. Основное свойство пропорции. 6 класс.Скачать

Задачи на пропорции с решением и ответами

Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.

Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1

В этом примере неизвестен крайний член, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:

Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y

Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8

Задание 4. Решить: 7/5 = y/10

Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y

Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.

На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡

Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?

Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:

Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.

Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?

• Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
• Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.

Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.

Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?

Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.

Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.

Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

📽️ Видео

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Решение задач на проценты способом пропорции. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

ПРОПОРЦИЯ 6 класс математика отношения и пропорцииСкачать

Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Решение уравнений, имеющих вид пропорции, с использованием основного свойства пропорции Математика 6Скачать

Прямо пропорциональная и обратно пропорциональная зависимость. 6 класс.Скачать

Решить уравнение - Математика - 6 классСкачать

Решение уравнений - математика 6 классСкачать

Пропорции, 6 классСкачать

Отношения и пропорции (как решать)Скачать

6 класс, 21 урок, ПропорцииСкачать

Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .Скачать