Как решить уравнение с неизвестным делителем

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.

Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Нахождение неизвестного слагаемого

Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9 . Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9 , значит, можно записать уравнение 4 + x = 9 . Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x ? Для этого надо использовать правило:

Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.

В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a + b = c , то c − a = b и c − b = a , и наоборот, из выражений c − a = b и c − b = a можно вывести, что a + b = c .

Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.

Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4 + x = 9 . Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9 , известное слагаемое, равное 4 . Вычтем одно натуральное число из другого: 9 — 4 = 5 . Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5 .

Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:

1. Первым пишется исходное уравнение.
2. Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
3. После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.

Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:

4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .

Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4 + x = 9 и получим: 4 + 5 = 9 . Равенство 9 = 9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.

Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого

Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.

Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.

Например, у нас есть уравнение x — 6 = 10 . Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6 , получим 16 . То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:

x − 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .

Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16 — 6 = 10 . Равенство 16 — 16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.

Воспользуемся правилом для решения уравнения 10 — x = 8 . Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10 — 8 = 2 . Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:

10 — x = 8 , x = 10 — 8 , x = 2 .

Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10 — 2 = 8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.

Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.

Видео:Нахождение неизвестного множителя, делимого или делителя. Видеоурок 19.1. Математика 4 классСкачать

Нахождение неизвестного множителя

Посмотрим на два уравнения: x · 2 = 20 и 3 · x = 12 . В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.

Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.

Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a · b = c при a и b , не равных 0 , c : a = b , c : b = c и наоборот.

Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2 . Проводим деление натуральных чисел и получаем 10 . Запишем последовательность равенств:

x · 2 = 20 x = 20 : 2 x = 10 .

Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2 · 10 = 20 . Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.

Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x · 0 = 11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0 , а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.

Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0 . Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.

Видео:Уравнение на нахождение неизвестного делителяСкачать

Нахождение неизвестного делимого или делителя

Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.

Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.

Посмотрим, как применяется данное правило.

Решим с его помощью уравнение x : 3 = 5 . Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15 , которое и будет нужным нам делимым.

Вот краткая запись всего решения:

x : 3 = 5 , x = 3 · 5 , x = 15 .

Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5 . Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.

Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.

Возьмем простой пример – уравнение 21 : x = 3 . Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7 . Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:

21 : x = 3 , x = 21 : 3 , x = 7 .

Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21 : 7 = 3 , так что корень уравнения был вычислен верно.

Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0 . Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0 : x = 0 , то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0 , с делимым, отличным от 0 , решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5 : x = 0 , которое не имеет ни одного корня.

Видео:Математика 3 класс. Как найти неизвестный множитель, делимое , делительСкачать

Последовательное применение правил

Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.

У нас есть уравнение вида 3 · x + 1 = 7 . Вычисляем неизвестное слагаемое 3 · x , отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3 · x = 7 − 1 , потом 3 · x = 6 . Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.

Вот краткая запись решения еще одного уравнения ( 2 · x − 7 ) : 3 − 5 = 2 :

( 2 · x − 7 ) : 3 − 5 = 2 , ( 2 · x − 7 ) : 3 = 2 + 5 , ( 2 · x − 7 ) : 3 = 7 , 2 · x − 7 = 7 · 3 , 2 · x − 7 = 21 , 2 · x = 21 + 7 , 2 · x = 28 , x = 28 : 2 , x = 14 .

Видео:Сложные уравнения со скобками. Как решать уравнения в несколько действий в 5 классе.Скачать

Решение уравнений вида х : 6 = 18 – 5 и 48 : х = 92 : 46

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим решение уравнений с неизвестным делимым и неизвестным делителем. Повторим, что такое уравнение и что такое «решить уравнение». Вспомним компоненты деления и их связи между собой. Решим несколько уравнений на нахождение неизвестного делимого и нахождение неизвестного делителя.

Видео:РЕШАЕМ УРАВНЕНИЕ НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ДЕЛИТЕЛЯ. Примеры | МАТЕМАТИКА 4 классСкачать

Урок математики «Нахождение неизвестного делимого, неизвестного делителя»

Цели урока:

1. Учить детей решать уравнения, в которых неизвестны делимое и делитель, а частное представлено в виде выражения.

2. Закрепить знания, умения и навыки учащихся по решению уравнений, в которых неизвестным может быть компонент любого арифметического действия.

3. Совершенствовать:

• умение выполнять письменное деление на однозначное число, закрепить знания учащихся о геометрических фигурах;
• умения и навыки по решению задач, по составлению программ к задачам.

4. Развивать:

• навыки сотрудничества между учащимися и учителем, взаимопомощь при работе в группах, учиться сообща находить выход из проблемных ситуаций;
• устные и письменные вычислительные навыки, навыки самостоятельности, логическое мышление, внимание, смекалку, сообразительность.

5. Активизировать работу учащихся через игровую деятельность.

6. Воспитывать чувство коллективизма, чуткое отношение друг к другу, чувство гордости за свою страну, любовь к математике.

Оборудование: картина “Москва-столица нашей Родины”, картина “Весёлый ёжик”, конверт с отдельными частями фигуры Снеговика, клей, альбомные листы, песочные часы, опорные схемы, карточки с заданиями, поделка Снеговика, письмо сказочного героя – Снеговика, программы решения задач, кружочки красного, синего, чёрного цветов, оценочный лист.

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.

Вот опять прозвенел звонок, приглашает на урок.
Ну-ка, проверь, дружок, ты готов начать урок?
Всё ль на месте, всё ль в порядке: книжка, ручка и тетрадка?
Все ли правильно сидят, все ль внимательно глядят?
Начинается урок, он пойдёт, ребята, впрок.
Постарайтесь всё понять, будете правильно считать.
Наверное, каждый хочет получать только лишь оценку “5”.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМЫ И ЦЕЛЕЙ УРОКА.

— Ребята, сегодня я пришла очень рано в класс и на столе обнаружила письмо. Оно адресовано нашему классу. Давайте прочтём письмо.

Я пришёл к вам в класс за помощью, чтобы вы научили меня решать уравнения, в которых неизвестны компоненты: делимое и делитель. Также я хочу поучиться у вас решению задач. Но я таю! У вас очень жарко! Ой! Помогите!”.

— Догадались, от кого это письмо? (От Снеговика).

— Снеговик попал в беду. Пришёл к нам поучиться чему и для чего? (решению задач, уравнений, чтобы его приняли в школу “Снеговиков”). Но от жары рассыпался на части. Нужно его собрать. В каждой группе есть конвертик, в котором находятся части от фигуры Снеговика, альбомные листы, клей. Чтобы помочь бедолаге, надо проверить, как вы сами можете считать, решать уравнения, задачи, можете ли вы работать в группах дружно, понимать друг друга, сообща находить выход из проблемных ситуаций. Кто догадался, какая тема урока, основные цели?

— Сегодня на уроке, как вы уже догадались, мы будем решать уравнения на нахождение неизвестных делимого и делителя. И конечно, будем решать задачи, примеры.

Все задания будете выполнять коллективно. После каждого задания, правильно выполненного, группа имеет право приклеить на альбомный лист часть от Снеговика. Какая же группа это сделает быстрее?

От вашей активности зависит жизнь этого милого существа. Выберете в группе главного консультанта.

И, так, за работу!

3. УСТНЫЙ СЧЁТ.

Ну-ка, в сторону карандаши. Ни костяшек, ни ручек, ни мела.
Устный счёт! Мы творим это дело только силой ума и души.
Числа сходятся где-то во тьме, и глаза начинают светиться.
И кругом только умные лица, потому что считаем в уме!
А на сегодня – задания, разные шутки, только на 3-4 минутки.

Сколько?

• Пальцев на двух руках? (10).
• Лет было двадцатилетнему человеку восемь лет назад? (12).
• Ножек достаточно стулу, чтобы он не качался? (3).
• Букв в названии самого длинношеего животного? (5, жираф).
• Недель в месяце? (4).
• Месяцев в году? (12).
• Месяцев между сентябрём и январём? (октябрь, ноябрь, декабрь, 3).
• Букв в слове вьюга? (5). А звуков? (5, буква “Ю” – два звука).
• Козлят хотел съесть волк? (7).
• Ножек у трёх стульев? (12).

— Ребята, а как вы думаете, почему Снеговик пришёл именно сейчас к нам, а не осенью и не весной? (Время года – зима.)
— Посмотрите на первый рисунок, что вы видите? Какой это город? Как вы догадались? Что знаете о Москве?

“Столица – мать! Тебе хвала, в веках ты видела не мало,
Когда б ты говорить могла, ты многое бы рассказала”.

— В каком году основана Москва? (1147)
— Какие символы Российского Государства вы видите на рисунке? (Герб, Флаг)
— Какие ещё символы существуют? (Гимн.)

— Ребята, мы из истории знаем, сколько различных испытаний пришлось перенести нашей стране. Многие люди хотели, чтобы наше Отечество расцветало, гибли за Родину. Благодаря таким патриотам, любящим свою многострадальную Русь, мы сейчас имеем возможность учиться в школе, в любом ВУЗе, работать. Помните это, ребята, всегда и гордитесь своим Отечеством. Стремитесь к знаниям, докажите, что государство, учителя, ваши родители не зря о вас заботятся, создают хорошие условия для жизни и учёбы.

— Кто изображён на втором рисунке? Какое у него настроение и почему? Дети, как вы думаете, что объединяет эти два рисунка? (Наступает Новый год, все радуются наступлению весёлого праздника).

— Чем этот праздник особенный, чем отличается от других праздников?

— Действительно, на Новый год все поздравляют друг друга и желают всего самого наилучшего в жизни, дарят подарки. Давайте и мы поздравим гостей с наступающим Новым годом. (“Поздравляем! Поздравляем! Поздравляем!”).

2. Игра “ Я люблю свою Россию”.

— Сейчас мы проведём игру “Я люблю свою Россию”. Своими правильными ответами покажете, что вы действительно любите свою страну, стремитесь приобрести как можно больше знаний, чтобы быть умными, мудрыми, чтобы в случае необходимости прийти на помощь своему Отечеству, чтобы уметь принимать правильные и нужные решения для выхода из проблемных ситуаций.

а) Каждая группа устно составляет задачу по первой картине. (2 минуты). (Молодцы! Я думаю, что все группы имеют право приклеить 1 часть от Снеговика, нижнюю часть туловища).

б) Какая группа больше видит геометрических фигур в построении зданий города Москвы. Посовещайтесь и напишите ответы в тетрадях. (1 минута для выполнения этого задания). (Прямоугольники, треугольники, отрезки, круг, окружность, квадраты, трапеции).

ВЫВОД: Ребята, своими ответами, знаниями вы доказали, что государство не зря заботится о вас и даёт вам возможность приобретать знания для того, чтобы в дальнейшем вы могли приобрести специальность, найти работу по душе. (Приклеиваем среднюю часть туловища).

3. Задания Ёжика.

Ёжик принёс задания, чтобы тоже помочь Снеговику.

— Назовите самый большой остаток при делении чисел на:

— Назовите неизвестный компонент и найдите, чему он равен.

— Ну, что ж, ребята, я думаю, что каждая группа может продолжить собирать Снеговика. Приклейте на альбомный лист следующую часть фигуры.

4. РАБОТА НАД НОВОЙ ТЕМОЙ.

— Вспомните, как называются числа при делении? (Делимое, делитель, частное. Д., д., ч..)
— Какое из этих чисел самое большое? (Д)
— С каким арифметическим действием связано деление? (Умножением)

— Как найти большое число – делимое, — если оно неизвестно? (Умножением).
— Как найти делитель, если он неизвестен? (Делением).
— Можно ли делитель назвать самым большим числом? (Нет).

б) Работа по учебнику на странице 88.

1. Работа с таблицей устно.
2. Объяснение решения уравнений учащимися.

— Чем третье уравнение отличается от двух первых?

3. Работа в группах № 481.

(Приклейте головной убор Снеговику).

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА “МОЗГОВАЯ ГИМНАСТИКА”.

1. Качания головой (упражнение стимулирует мыслительные процессы): дышите глубоко, расслабьте плечи и уроните голову вперёд. Позвольте голове медленно качаться из стороны в сторону, пока при помощи дыхания уходит напряжение. Подбородок вычерчивает слегка изогнутую линию на груди по мере расслабления шеи. Выполнять 30 секунд.

2. “Ленивые восьмёрки” (упражнение активизирует структуры мозга, обеспечивающие запоминание, повышает устойчивость внимания): нарисуйте в воздухе в горизонтальной плоскости “восьмёрки” по три раза каждой рукой, а затем обеими руками.

3. “Шапка для размышлений” (улучшает внимание, ясность восприятия и речь): “наденьте шапку”, то есть мягко заверните уши от верхней точки до мочки три раза.

4.“ Зоркие глазки” (упражнение служит для профилактики нарушений зрения): глазами нарисуйте 6 кругов по часовой стрелке и 6 кругов против часовой стрелки.

5.“ Стрельба глазами” (упражнение служит для профилактики нарушения зрения): двигайте глазками вправо-влево, вверх-вниз по 6 раз.

“ВЕСЁЛАЯ ПЕРЕМЕНКА”

Встаньте все. Отдохнём.

1) Отдых будет активным и даже полезным. Упражнение рассчитано на координацию движений. Итак, начали: вначале левой рукой дотроньтесь до правого уха, а потом правой рукой – до кончика носа; затем быстро поменяйте положение рук: правая рука – левое ухо, левая рука – нос. (5 раз).

2) Наложите левую руку на голову и погладьте себя от затылка ко лбу. В это время правой рукой делайте круговые движения по животу. Действия выполняйте одновременно.

5. РАБОТА НАД ПРОЙДЕННЫМ МАТЕРИАЛОМ.

а) Работа над задачей №482.

— Работа в группах: самостоятельное чтение, составление программы решения, решение (5 минут).
— Индивидуальная помощь группе, испытывающей затруднение в решении задачи.
— Проверка.

1. Работа над содержанием задачи. Краткий устный разбор.

— Что привезли для ремонта школы?
— Что можете сказать о зелёной краске? (90кг – 18 банок).
— Что известно про белую краску? (150 кг — ? банок).
— Что говорится о банках вообще? (Одинаковые по массе; надо узнать, сколько банок привезли).

2. Краткая запись в виде таблицы, составление программы.

3) +90 кгБ.? 2) :150 кг

(Приклеивание кружочка, обозначающего левую руку, в которой метла).

б) Работа над задачей №483.

Работа в группах:

— Чтение задачи.
— Выбор программы решения задачи из нескольких вариантов, предложенных учителем.
— Обоснование выбора программы решения.
— Решение задачи.

(Приклеивание кружочка, обозначающего правую руку).

в) Игра “Умники и умницы” (Решение проблемной ситуации).

— Ребята, прочитайте задание на карточках. Что вы можете сказать по этому заданию? К какому виду заданий можно его отнести? Сможете ли вы выполнить его? Почему нет? Чтобы выполнить это задание, что для этого необходимо? Когда мы поставим вопрос, что это будет? Поставьте вопрос к задаче такой, чтобы она решалась в два действия и решите устно её, назовите ответ.

— А сейчас поставьте вопрос к задаче такой, чтобы она решалась в три действия и решите устно её, назовите ответ.

— Да, ребята, вас действительно можно назвать умниками и умницами, вы справились с заданием.

(Приклейте в правую руку Снеговика открытку).

6. РЕФЛЕКСИЯ.

— Ребята, а сейчас мы оценим урок. У вас на партах лежат кружочки: красный, синий и чёрный. Если вам удалось все проблемы решить на уроке, интересно было, что-то полезное для себя приобрели, то в оценочный лист поместите красный кружочек. Если вам не всё удалось решить на уроке и не очень понравился урок, то поместите синий кружочек. А если совсем неинтересно было на уроке, то поместите чёрный кружочек на оценочный лист. Обоснуйте свои действия. Чем понравился урок? Почему не понравился?

— Ребята, посмотрите ещё раз на Снеговика. Что написано у него на открытке, прочитайте. Я присоединяюсь к словам Снеговика и хочу поблагодарить вас за работу на уроке, за помощь в его организации. Вы — молодцы! Большое спасибо вам всем!

7. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

🎥 Видео

Нахождение неизвестного делимого, неизвестного делителя | Математика 4 класс #34 | ИнфоурокСкачать

Математика 2 класс (Урок№26 - Уравнение. Решение уравнений подбором неизвестного числа.)Скачать

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |ПОДРОБНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ / ПРОСТЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 КЛАСС МАТЕМАТИКАСкачать

65 час Уравнения с неизвестным делителем Математика 5 кл Ридель АлисаСкачать

Нахождение неизвестного множителя, неизвестного делимого. Математика 4 классСкачать

Находим неизвестный делитель.Скачать

Нахождение неизвестного делимого (делителя) из уравненияСкачать

Математика 3 класс (Урок№45 - Уравнения на основе связи между результатами и компонентами "." и ":")Скачать

Математика 4 класс (Урок№27 - Решение уравнений вида:х ∙ 8 = 26+70, х : 6 = 18 ∙ 5, 80 : х = 46–30.)Скачать

Простые уравнения. Как решать простые уравнения?Скачать

КАК НАЙТИ НЕИЗВЕСТНЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ ИЗ УРАВНЕНИЯ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

Урок. Уравнения. Неизвестный множитель, делимое, делитель. Математика 3 класс. #учусьсамСкачать