Правила ввода функции
- Примеры
≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2≡ x+(x-1)^(2/3)
На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).
Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать
Достаточные условия сходимости метода итерации
Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:
- Получить шаблон с омощью этого сервиса.
- Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
- Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).
Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .
Видео:Метод простой итерации Пример РешенияСкачать
Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
В данной статье мы расскажем общие сведения об итерационных методах решения СЛАУ, познакомим с методом Зейделя и Якоби, а также приведем примеры решения систем линейных уравнений при помощи данных методов.
Видео:Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать
Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации
Метод итерации — это численный и приближенный метод решения СЛАУ.
Суть: нахождение по приближённому значению величины следующего приближения, которое является более точным. Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x 0 .
Рассмотрим систему A x = b .
Чтобы применить итерационный метод, необходимо привести систему к эквивалентному виду x = B x + d . Затем выбираем начальное приближение к решению СЛАУ x ( 0 ) = ( x 1 0 , x 2 0 , . . . x m 0 ) и находим последовательность приближений к корню.
Для сходимости итерационного процесса является достаточным заданное условие В 1 . Окончание итерации зависит от того, какой итерационный метод применили.
Видео:Метод итерацийСкачать
Метод Якоби
Метод Якоби — один из наиболее простых методов приведения системы матрицы к виду, удобному для итерации: из 1-го уравнения матрицы выражаем неизвестное x 1 , из 2-го выражаем неизвестное x 2 и т.д.
Результатом служит матрица В , в которой на главной диагонали находятся нулевые элементы, а все остальные вычисляются по формуле:
b i j = — a i j / a i i , i , j = 1 , 2 . . . , n
Элементы (компоненты) вектора d вычисляются по следующей формуле:
d i = b i / a i i , i = 1 , 2 , . . . , n
Расчетная формула метода простой итерации:
x ( n + 1 ) = B x ( x ) + d
Матричная запись (координатная):
x i ( n + 1 ) = b i 1 x n 1 + b i 2 x ( n ) 2 + . . . + b
Критерий окончания в методе Якоби:
x ( n + 1 ) — x ( n ) ε 1 , где ε 1 = 1 — B B ε
В случае если B 1 / 2 , то можно применить более простой критерий окончания итераций:
x ( n + 1 ) — x ( n ) ε
Решить СЛАУ методом Якоби:
10 x 1 + x 2 — x 3 = 11 x 1 + 10 x 2 — x 3 = 10 — x 1 + x 2 + 10 x 3 = 10
Необходимо решить систему с показателем точности ε = 10 — 3 .
Приводим СЛАУ к удобному виду для итерации:
x 1 = — 0 , 1 x 2 + 0 , 1 x 3 + 1 , 1 x 2 = — 0 , 1 x 1 + 0 , 1 x 3 + 1 x 3 = 0 , 1 x 1 — 0 , 1 x 2 + 1
Выбираем начальное приближение, например: x ( 0 ) = 1 , 1 1 1 — вектор правой части.
В таком случае, первая итерация имеет следующий внешний вид:
x 1 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 + 0 , 1 × 1 + 1 , 1 = 1 , 1 x 2 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 , 1 + 0 , 1 + 1 = 0 , 99 x 3 ( 1 ) = 0 , 1 × 1 , 1 — 0 , 1 × 1 + 1 = 1 , 01
Аналогичным способом вычисляются приближения к решению:
x ( 2 ) = 1 , 102 0 , 991 1 , 011 , x ( 3 ) = 1 , 102 0 , 9909 1 , 0111 , x ( 4 ) = 1 , 10202 0 , 99091 1 , 01111
Находим норму матрицы В , для этого используем норму B ∞ .
Поскольку сумма модулей элементов в каждой строке равна 0,2, то B ∞ = 0 , 2 1 / 2 , поэтому можно вычислить критерий окончания итерации:
x ( n + 1 ) — x ( n ) ε
Далее вычисляем нормы разности векторов:
x ( 3 ) — x ( 2 ) ∞ = 0 , 002 , x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ = 0 , 00002 .
Поскольку x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ ε , то можно считать, что мы достигли заданной точности на 4-ой итерации.
x 1 = 1 , 102 ; x 2 = 0 , 991 ; x 3 = 1 ,01 1 .
Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать
Метод Зейделя
Метод Зейделя — метод является модификацией метода Якоби.
Суть: при вычислении очередного ( n + 1 ) — г о приближения к неизвестному x i при i > 1 используют уже найденные ( n + 1 ) — е приближения к неизвестным x 1 , x 2 , . . . , x i — 1 , а не n — о е приближение, как в методе Якоби.
x i ( n + 1 ) = b i 1 x 1 ( n + 1 ) + b i 2 x 2 ( n + 1 ) + . . . + b i , i — 1 x i — 2 ( n + 1 ) + b i , i + 1 x i + 1 ( n ) +
+ . . . + b i m x m ( n ) + d i
За условия сходимости и критерий окончания итераций можно принять такие же значения, как и в методе Якоби.
Решить СЛАУ методом Зейделя. Пусть матрица системы уравнений А — симметричная и положительно определенная. Следовательно, если выбрать начальное приближение, метод Зейделя сойдется. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы не накладывается.
Решим 3 системы уравнений:
2 x 1 + x 2 = 3 x 1 — 2 x 2 = 1 , x 1 + 2 x 2 = 3 2 x 1 — x 2 = 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1
Приведем системы к удобному для итерации виду:
x 1 ( n + 1 ) = — 0 , 5 x 2 ( n ) + 1 , 5 x 2 ( n + 1 ) = 0 , 5 x 1 ( n + 1 ) + 0 , 5 , x 1 ( n + 1 ) = — 2 x 2 ( n ) + 3 x 2 ( n + 1 ) = 2 x 1 ( n + 1 ) — 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1 .
Отличительная особенность, условие сходимости выполнено только для первой системы:
Вычисляем 3 первых приближения к каждому решению:
1-ая система: x ( 0 ) = 1 , 5 — 0 , 5 , x ( 1 ) = 1 , 75 0 , 375 , x ( 2 ) = 1 , 3125 0 , 1563 , x ( 3 ) = 1 , 4219 0 , 2109
Решение: x 1 = 1 , 4 , x 2 = 0 , 2 . Итерационный процесс сходится.
2-ая система: x ( 0 ) = 3 — 1 , x ( 1 ) = 5 9 , x ( 2 ) = — 15 — 31 , x ( 3 ) = 65 129
Итерационный процесс разошелся.
Решение: x 1 = 1 , x 2 = 2
3-я система: x ( 0 ) = 1 , 5 2 , x ( 1 ) = 2 — 6 , x ( 2 ) = 0 2 , x ( 3 ) = 0 2
Итерационный процесс зациклился.
Решение: x 1 = 1 , x 1 = 2
Видео:Решение систем линейных уравнений методом простой итерации в ExcelСкачать
Метод простой итерации
Если А — симметричная и положительно определенная, то СЛАУ приводят к эквивалентному виду:
x = x — τ ( A x — b ) , τ — итерационный параметр.
Расчетная формула имеет следующий внешний вид:
x ( n + 1 ) = x ( n ) — τ ( A x n — b ) .
Здесь B = E — τ A и параметр τ > 0 выбирают таким образом, чтобы по возможности сделать максимальной величину B 2 .
Пусть λ m i n и λ m a x — максимальные и минимальные собственные значения матрицы А .
τ = 2 / ( λ m i n + λ m a x ) — оптимальный выбор параметра. В этом случае B 2 принимает минимальное значение, которое равняется ( λ m i n + λ m a x ) / ( λ m i n — λ m a x ) .
Видео:1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать
1.2.1. Метод простой итерации (метод Якоби)
Метод простой итерации [2], [5] рассмотрим на примере системы трех линейных алгебраических уравнений:
(2)
Которую коротко можно записать в виде матричного уравнения:
В исходной системе выделим диагональные коэффициенты аii ¹0 (где i =1, 2, 3).Предположим, что диагональные коэффициенты удовлетворяют условиям:
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то следует провести элементарные преобразования матрицы (см. п.4).
Разрешим первое уравнение системы (2) относительно х1, второе –относительно х2, третье – относительно х3.
В результате получим эквивалентную систему:
(3)
Где 
при i¹j (i, j=1,2,…,n).
Систему (3) можем записать в матричной форме:
.
Систему (3) будем решать методом простой итерации. В качестве нулевого приближения x(0) примем элементы столбца свободных членов:
X(0)=b, т. е. x1(0)=b1, x2(0)=b2, x3(0)=b3.
Далее, находим первое приближение х(1), подставляя найденные значения нулевого приближения в систему (3):
Подставляя значения приближения х(1) в правую часть системы (3), получим:
– второе приближение.
Продолжая этот процесс далее, получим последовательность х(0), x(1), x(2),…, x(k). приближений, вычисляемых по рабочим формулам:
В общем виде рабочие формулы для системы n-уравнений:
(4)
Если последовательность приближений имеет предел:
То этот предел является решением системы. Таким образом, с увеличением числа итераций растет точность получаемых корней. Однако можно не производить огромное количество итераций, а задать определенную точность e решения, при достижении которой итерационный процесс завершается. Условие окончания итерационного процесса можно записать в виде:
где i= 1,2,3,…, n.
Пример № 1. Методом простой итерации решить систему с точностью e= =10-3.
1. Приведем систему к виду (3) . Для этого необходимо все диагональные элементы системы оставить в левой части уравнения, а остальные элементы перенести с противоположным знаком в правую часть. Разделим каждое из уравнений системы на соответствующий коэффициент, стоящий в левой части уравнения:
2. В качестве начального вектора x(0) возьмем элементы столбца свободных членов, округлив их значения до двух знаков после запятой:
3. Вычисления будем вести до тех пор, пока не будет выполнено условие
где e = 10-3, i = 1,2,3,4.
Последовательно вычисляем: при k = 1:
Сравнивая полученные xi(1) с xi(0) , видим, что условия сходимости не выполняются. При k = 2:
Сравнивая полученные xi(2) с xi(1), видим, что условия сходимости не выполняются. При k = 3
Сравнивая полученные xi(3) с xi(2) видим, что условия сходимости не выполняются. При k = 4:
Для сравнения xi(4) с xi(3), найдем модули разностей значений 
Так как все найденные значения модулей больше заданного числа
e = 10-3, продолжаем итерации. Получаем при k = 5:
Находим модули разностей значений 
Они меньше заданного числа e, поэтому в качестве решения возьмем: x1 = 0,7999, x2 = 0,9999, x3 = 1,1999, x4 = 1,3999.
📸 Видео
Решение системы линейных уравнений методом итерацийСкачать
Метод Зейделя Пример РешенияСкачать
2.2 Итерационные методы решения СЛАУ (Якоби, Зейделя, релаксации)Скачать
10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать
8 Метод простой итерации Ручной счет Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать
Алгоритмы С#. Метод простых итерацийСкачать
5 Метод простой итерации Calc Excel Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать
Решение системы линейных уравнений методом простых итераций в MS ExcelСкачать
ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать
Решение систем линейных уравнений, урок 5/5. Итерационные методыСкачать
Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать
Решение слау методом итераций. Метод простых итераций c++.Скачать
Метод простых итераций - PascalСкачать
