Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.
Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:
Графический метод
Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.
Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.
Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.
Пример 1
Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):
Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:
1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);
Разберем это задание на примере.
Решить графически систему линейных уравнений.
Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.
Пример 2
Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:
а) иметь единственное решение;
б) не иметь решений;
в) иметь бесконечное множество решений.
2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.
Пример 3
Графическое решение системы
Пример 4
Решить графическим способом систему уравнений.
Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.
Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).
Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).
Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.
Пример 5
Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.
Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).
Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).
ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.
Видео YouTube
Видео:Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать
Графическое решение уравнений
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом видеоуроке к изучению предлагается тема «Функция y=x 2 . Графическое решение уравнений». В ходе этого занятия учащиеся смогут познакомиться с новым способом решения уравнений – графическим, который основан на знании свойств графиков функций. Учитель покажет, как можно решить графическим способом функцию y=x 2 .
Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
Урок математики в 7-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»
Разделы: Математика
Цели: обучить новому способу решения уравнений, развивать умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; формировать аккуратность, внимательность, интерес, культуру математической речи.
1. Организационный момент
Анализ выполнения самостоятельной работы «Квадратичная функция и её график».
2. Актуализация знаний и умений учащихся
Основные определения и понятия темы вспомним, разгадывая кроссворд. (Приложение 1, слайд 2)
- у = кх + в, у = кх, у = х 2 – всё это функции.
- График линейной функции – прямая. Сколько точек нужно для построения?
- График квадратичной функции – парабола? Как построить?
- Точка (0,0) – для параболы – вершина.
- Вторая координата точки – ордината.
- В записи у = кх + вх – аргумент.
- х + 5 = 0, х = – 5, что такое – 5? Корень.
- Первая координата точки – абсцисса.
- Парабола состоит из двух частей, каждая из которых называется – ветвь.
Прочитайте главное слово в кроссворде. Что оно означает? Уравнение – равенство, содержащее неизвестную.
Но разве мы сейчас учимся решать уравнение? Нет, изучаем функции. Наша задача связать два математических понятия – функции и уравнения. Тема сегодняшнего урока – «Графическое решение уравнений».
3. Подготовка к восприятию нового способа действия (Приложение 1, слайд 3)
а) 9 + 13х = 35 + 26х –13х = 26 х = – 2 | б) 3х – 2 = 1 3х = 3 х = 1 | в) 9х 2 + 0,27х = 0 9х(х + 0,03) = 0 9х = 0 х + 0,03 = 0 х = 0 х = –0,03 | г) х 2 – 25 = 0 (х – 5)(х + 5) = 0 х = 5 х = – 5 д) х 2 = х + 2? |
Не подходит ни один из известных способов.
А может, попробуем угадать корни?
Рассмотрим внимательно левую и правую части уравнения. Что напоминает? Функции квадратную и линейную. Но, между ними знак равенства.
y = x 2 и y = x + 2. Что одинаково в этих записях? Правые части равны, значит равны и левые. У графиков этих функции есть одинаковые значения y. Как их найти? Построить оба графика в одной системе координат. (Приложение 1, слайд 5)
Сколько таких точек? Назовите их координаты ((–1; 1),(2; 4)) Но каждая точка – (x; у), а в уравнении только – х. Значит в ответе – х.
Таким образом, мы с вами решили уравнение графическим способом. Назовем все этапы. (Приложение 1, слайд 6)
- Уравнение разбиваем на две функции.
- Строим графики в одной системе координат.
- Находим точки пересечения.
- Ответ – только х.
x 2 = –3x
y = х 2 и у = – 3х
Х | 0 | 1 |
У | 0 | – 3 |
Пауза – сказка. Инсценировка с участием двух учениц. (Приложение 1, слайд 8)
“Жили-были два графика: Парабола и Прямая. Очень они друг друга недолюбливали. Их мамами были квадратичная и линейная функции (двоюродные сестры). Парабола говорила: “Я такая изящная и гибкая! У меня две ветви! А в тебе, Прямая, нет ничего особенного”. А Прямая твердила в ответ: “Нет, я самая стройная, не то, что эта горбатая парабола!”.
В один из теплых осенних дней гуляли графики в системе координат имени Декарта. Долго они гуляли, каждая сама по себе и рассуждали вслух о том, что она самая красивая и умная. Вдруг встретились они в одной общей точке и стали ругаться. Парабола кричит: “Уходи, это моя точка!”. А Прямая в ответ: “ Ты ошиблась, парабола! Эта точка принадлежит мне”. Долго они спорили. Никто из них и не заметил, как теплый день плавно перешел в прохладный вечер. В конце концов, графики поняли, что у них есть что-то общее – ведь точка принадлежала обеим функциям и являлась их точкой пересечения. С тех пор прямая и парабола стали жить, поживать и добра наживать”.
4. Закрепление материала. Самостоятельное решение
Ответ: Нет корней
х 2 + 2х – 3 = 0. Как поступить? Ваше мнение? (Приложение 1, слайд 11)
х 2 = – 2х + 3
у = х 2
у = – 2х +3
– Какие 2 математических понятия мы связали и для чего? (Функции и уравнения, чтобы решить уравнения)
– Как решить уравнение графическим способом?
– Этот способ будем применять в старших классах по мере изучения новых функций.
– Сложно ли решать уравнение?
Надо же как все просто…
Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного.
🎬 Видео
7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать
Урок по теме ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСССкачать
Решение системы линейных уравнений графическим методом. Практическая часть. 7 класс.Скачать
Графический метод решения систем линейных уравнений 7 классСкачать
Решение системы уравнений графическим методомСкачать
Решение системы линейных уравнений графическим способом. 7 классСкачать
Системы уравнений с двумя переменными графический метод - алгебра 7 классСкачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать
Урок по теме СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 7 классСкачать
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ 8 7 классСкачать
Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать
#69 Урок 30. Графический способ решения систем уравнений. Алгебра 7 класс.Скачать
Решение систем линейных уравнений графическим способом ( 7 класс)Скачать
Графический метод решения уравнений 8 классСкачать
Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать
Урок СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСССкачать