Как решить неравенство если в знаменателе квадратное уравнение

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Квадратные неравенства. Как решать квадратные неравенства?

Квадратными неравенствами называют неравенства, которые можно привести к виду (ax^2+bx+c) (⋁) (0), где (a),(b) и (с) — любые числа (причем (a≠0)), (x) – неизвестная переменная, а (⋁) – любой из знаков сравнения ((>),( к вадратные уравнения , но со знаком сравнения вместо знака равно.
Примеры:

Видео:Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Как решать квадратные неравенства?

Квадратные неравенства обычно решают методом интервалов . Ниже приведен алгоритм, как решать квадратные неравенства с дискриминантом больше нуля. Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.

Приведите неравенство к виду (ax^2+bx+c⋁0).
Примеры:

(x^2-6x-16 корни (x_1) и (x_2). Затем запишите исходное выражение в виде (a(x-x_1 ) (x-x_2 )) Подробнее об этом можно почитать здесь .

(x^2-6x-16=0) (-9x^2+x+8=0)
(D=36-4 cdot 1 cdot (-16)=100=10^2) (D=1-4 cdot (-9) cdot 8=289)
(x_1=frac=-2) (x_1=frac=frac=-frac) (x_2=frac=8) (x_2=frac=frac=1)
((x-8)(x+2) )) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком (≤) или (≥)), то точки должны быть закрашены.

Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.
В первом справа интервале поставьте:
(-) знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число
(-) знак минус если перед скобками стоит знак минус.
В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.

Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки :
(-) со знаком «(+)», если в неравенстве стояло «(>0)» или «(≥0)»
(-) со знаком «(-)», если в неравенстве стояло «( )) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде ((x_1;x_2)) – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства ((≤) или (≥)) — границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде ([x_1;x_2]), с квадратными скобками на точках.

Видео:Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

Квадратные неравенства, примеры, решения

В данном разделе мы собрали информацию о квадратных неравенствах и основных подходах к их решению. Закрепим материал разбором примеров.

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Что представляет собой квадратное неравенство

Давайте посмотрим, как по виду записи различать неравенства различных видов и выделять среди них квадратные.

Квадратное неравенство – это такое неравенство, которое имеет вид a · x 2 + b · x + c 0 , где a , b и c – некоторые числа, причем a не равно нулю. x – это переменная, а на месте знака может стоять любой другой знак неравенства.

Вторым названием квадратных уравнений является название «неравенства второй степени». Объяснить наличие второго названия можно следующим образом. В левой части неравенства находится многочлен второй степени – квадратный трехчлен. Применение к квадратным неравенствам термина «квадратичные неравенства» некорректен, так как квадратичными являются функции, которые задаются уравнениями вида y = a · x 2 + b · x + c .

Приведем пример квадратного неравенства:

Возьмем 5 · x 2 − 3 · x + 1 > 0 . В этом случае a = 5 , b = − 3 и c = 1 .

Или вот такое неравенство:

− 2 , 2 · z 2 − 0 , 5 · z − 11 ≤ 0 , где a = − 2 , 2 , b = − 0 , 5 и c = − 11 .

Покажем несколько примеров квадратных неравенств:

Здесь коэффициенты этого квадратного неравенства есть ; 1 2 3 · x 2 — x + 5 7 0 , в этом случае a = 1 2 3 , b = — 1 , c = 5 7 .

Особое внимание нужно обратить на тот факт, что коэффициент при x 2 считается неравным нулю. Объясняется это тем, что иначе мы получим линейное неравенство вида b · x + c > 0 , так как квадратная переменная при умножении на ноль сама станет равной нулю. При этом, коэффициенты b и c могут быть равны нулю как вместе, так и по отдельности.

Пример такого неравенства x 2 − 5 ≥ 0 .

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Способы решения квадратных неравенств

Основным метода три:

• графический;
• метод интервалов;
• через выделение квадрата двучлена в левой части.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Графический метод

Метод предполагает проведение построения и анализа графика квадратичной функции y = a · x 2 + b · x + c для квадратных неравенств a · x 2 + b · x + c 0 ( ≤ , > , ≥ ) . Решением квадратного неравенства являются промежутки или интервалы, на которых указанная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Метод интервалов

Решить квадратное неравенство с одной переменной можно методом интервалов. Метод применим для решения любого вида неравенств, не только квадратных. Суть метода в том, чтобы определить знаки промежутков, на которые разбивается ось координат нулями трехчлена a · x 2 + b · x + c при их наличии.

Для неравенства a · x 2 + b · x + c 0 решениями являются промежутки со знаком минус, для неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 , промежутки со знаком плюс. Если мы имеем дело с нестрогими неравенствами, то решением становится интервал, который включает точки, которые соответствуют нулям трехчлена.

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Выделение квадрата двучлена

Принцип выделения квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства состоит в выполнении равносильных преобразований, которые позволяют перейти к решению равносильного неравенства вида ( x − p ) 2 q ( ≤ , > , ≥ ) , где p и q – некоторые числа.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Неравенства, сводящиеся к квадратным

К квадратным неравенствам с помощью равносильных преобразований можно прийти от неравенств других видов. Сделать это можно разными способами. Например, перестановкой в данном неравенства слагаемых или переносом слагаемых из одной части в другую.

Приведем пример. Рассмотрим равносильное преобразование неравенства 5 ≤ 2 · x − 3 · x 2 . Если мы перенесем все слагаемые из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида 3 · x 2 − 2 · x + 5 ≤ 0 .

Необходимо найти множество решений неравенства 3 · ( x − 1 ) · ( x + 1 ) ( x − 2 ) 2 + x 2 + 5 .

Решение

Для решения задачи используем формулы сокращенного умножения. Для этого соберем все слагаемые в левой части неравенства, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3 · ( x − 1 ) · ( x + 1 ) − ( x − 2 ) 2 − x 2 − 5 0 , 3 · ( x 2 − 1 ) − ( x 2 − 4 · x + 4 ) − x 2 − 5 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 0 , x 2 + 4 · x − 12 0 .

Мы получили равносильное квадратное неравенство, которое можно решить графическим способом, определив дискриминант и точки пересечения.

D ’ = 2 2 − 1 · ( − 12 ) = 16 , x 1 = − 6 , x 2 = 2

Построив график, мы можем увидеть, что множеством решений является интервал ( − 6 , 2 ) .

Ответ: ( − 6 , 2 ) .

Примером неравенств, которые часто сводятся к квадратным, могут служить иррациональные и логарифмические неравенства. Так, например, неравенство 2 · x 2 + 5 x 2 + 6 · x + 14

равносильно квадратному неравенству x 2 − 6 · x − 9 0 , а логарифмическое неравенство log 3 ( x 2 + x + 7 ) ≥ 2 – неравенству x 2 + x − 2 ≥ 0 .

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Квадратные неравенства

Чтобы решить квадратные неравенства вспомним, что такое квадратичная функция?
Квадратичная функция – это функция записанная формулой : y=ax 2 +bx+c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a≠0.
Графиком квадратичной функции является парабола.

В зависимости от значения a ветви графика направлены вверх или вниз:

• если a>0, то ветви параболы направлены вверх;
• если a 2 +bx+c=0

Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Квадратные неравенства имеют вид.

ax 2 +bx+c>0
ax 2 +bx+c 2 +bx+c≥0
ax 2 +bx+c≤0

Чтобы начать решать квадратные неравенства, необходимо знать как решаются квадратные уравнения?
А также для графического метода решения неравенства, необходимо знать алгоритм построения квадратичной функции или параболы?

Видео:Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.Скачать

Как решать квадратные неравенства?

Решение квадратных неравенств рассмотрим на примерах. Для начала разберем случаи, когда у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля (нет корней).

Пример:

Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, а это значит, что весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0 (ветви параболы смотрят вверх)

Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x 2 +2x+20>0.

Получили верное неравенство 25>0, следовательно так как у нас нет корней уравнения нам подойдут все точки числовой прямой.

Пример:

Рассмотрим этот же пример со знаком неравенства меньше 0

3x 2 +2x+20 2 +2x+20=0

Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, значит парабола не пересекает ось x. Весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0.

А знак уравнения меньше 2 +2x+20 2 +2•1+20 2 +x-2 2 +x-2=0

Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.

Знак уравнения меньше 2 +x-2 2 +(-3)-2 2 +(0)-2 2 +(2)-2 2 +x-2>0

Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.

Знак уравнения больше >0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится выше оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходят интервалы (-∞;-2) и (1;+∞).

Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка.

Первый участок (-∞;-2). На этом участке можно взять любое число меньше -2, например возьмем число -3 и подставим в неравенство x 2 +x-2 2 +(-3)-2>0

Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (-∞; 2) подходит.

Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.

Получили неверное неравенство -2>0, следовательно этот интервал (-2; 1) не подходит.

Третий участок (1; +∞). На этом участке возьмем число 2.

Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (1; +∞) подходит.

You may also like:

Определение числовой функции. Область определения функции. Область значения функции.

Определение функции. Способы задания функции.

Линейные неравенства.

Нужен репетитор по математике (алгебре) или геометрии?

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Свежие записи

Пожалуйста отключите блокировку рекламы или добавьте сайт в исключения блокировщика, если желаете чтобы проект развивался.

🎬 Видео

Метод интервалов #3Скачать

Классический способ решения рациональных неравенств #ShortsСкачать

Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравненияСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

Как решать неравенства? 9 - 11 класс. Вебинар | Математика TutorOnlineСкачать

Алгебра 9. Урок 7 - Неравенства. Метод интервалов - основные фактыСкачать

МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?Скачать