Как решение тригонометрических уравнений с одз

Репетитор по математике

Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».

Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]

Как решение тригонометрических уравнений с одз

Стоимость занятий

Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.

Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021

Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.

Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.

Видео:🙂 Тригонометрическое уравнение ОДЗСкачать

🙂 Тригонометрическое уравнение ОДЗ

Группа Вконтакте

В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.

Как решение тригонометрических уравнений с одз

Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

Преимущества

Педагогический стаж

Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.

Собственная методика

За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.

Гарантированный результат

За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.

Индивидуальная работа

Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.

Видео:Тригонометрические уравнения с ОДЗ. ЕГЭ, задание №12Скачать

Тригонометрические уравнения с ОДЗ. ЕГЭ, задание №12

Методы решения тригонометрических уравнений

Разделы: Математика

Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.

К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.

Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:

сos px = a;sin gx = b;tg kx = c;ctg tx = d.

Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:

1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

sin 2x = 2 sin x cos x;

tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;

ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;

tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);

ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);

2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:

sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;

tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);

ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);

3. Введение вспомогательного аргумента:

рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2 ), cos y = a/v(a 2 + b 2 ), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2 ) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.

4. Формулы сложения и вычитания:

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;

sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

tg (a + b) = ( tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);

tg (a – b) = ( tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);

5. Универсальная тригонометрическая подстановка:

cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + (tg 2 (a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. Некоторые важные соотношения:

sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);

tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).

А также формулы приведения.

В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.

Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.

Ознакомимся с методами решения уравнений:

1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0

2. Однородность уравнений.

3. Разложение на множители.

4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0

5. Замена переменных.

6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.

7. Оценка левой и правой части.

8. Метод пристального взгляда.

9. Введение вспомогательного угла.

10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.

1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.

Решение: Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x

4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0

sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),

т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z,

Ответ: (-1) к+1 Как решение тригонометрических уравнений с одз/6 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z.

2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

решим способом разложения на множители

2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х Как решение тригонометрических уравнений с одзКак решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z,

2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0

cos x = 1/2, tgx = 1,

т.е х = ± Как решение тригонометрических уравнений с одз/3 + 2Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z, х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/4 + Как решение тригонометрических уравнений с одзm, m€z.

Ответ: ± Как решение тригонометрических уравнений с одз/3 + 2Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z, Как решение тригонометрических уравнений с одз/4 + Как решение тригонометрических уравнений с одзm, m€z.

3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.

Решение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x

tg x = 1 и tg x = 2,

откуда х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/4 + Как решение тригонометрических уравнений с одзm, m€z,

х = arctg 2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z.

Ответ: Как решение тригонометрических уравнений с одз/4 + Как решение тригонометрических уравнений с одзm, m€z, arctg 2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z.

4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 4Как решение тригонометрических уравнений с одз2 sin (5x + 6) = 4.

Решение: Метод введения новой переменной

Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 4Как решение тригонометрических уравнений с одз2 sin у = 4

1 – 2 sin 2 у + 4Как решение тригонометрических уравнений с одз2 sin у – 4 = 0

sin у = t, где t€[-1;1]

2t 2 – 4Как решение тригонометрических уравнений с одз2t + 3 = 0

t = Как решение тригонометрических уравнений с одз2/2 и t = 3Как решение тригонометрических уравнений с одз2/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])

sin (5x + 6) = Как решение тригонометрических уравнений с одз2/2,

5x + 6 = (-1) к Как решение тригонометрических уравнений с одз/4 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z,

х = (-1) к Как решение тригонометрических уравнений с одз/20 – 6/5 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk/5, k€z.

Ответ: (-1) к ?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0

Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:

х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z, также возможна запись (0; Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk) k€z.

Ответ: (0; Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk) k€z.

6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0

Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”

(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;

(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если

(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:

sin х – 1 = 0, и cos х = 0,

sin х = 1, и cos х = 0, следовательно

х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z

Ответ: Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z.

7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.

Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.

– 1 Как решение тригонометрических уравнений с одзsin 5х Как решение тригонометрических уравнений с одз1, и -1 Как решение тригонометрических уравнений с одзsin х Как решение тригонометрических уравнений с одз1

0 Как решение тригонометрических уравнений с одзcos 2 х Как решение тригонометрических уравнений с одз1

0 + 2 Как решение тригонометрических уравнений с одз2 + cos 2 х Как решение тригонометрических уравнений с одз1 + 2

2 Как решение тригонометрических уравнений с одз2 + cos 2 х Как решение тригонометрических уравнений с одз3

sin 5х + sin х Как решение тригонометрических уравнений с одз2, и 2 + cos 2 х Как решение тригонометрических уравнений с одз2

-2 Как решение тригонометрических уравнений с одзsin 5х + sin х Как решение тригонометрических уравнений с одз2, т.е.

sin 5х + sin х Как решение тригонометрических уравнений с одз2,

имеем левая часть Как решение тригонометрических уравнений с одз2, а правая часть Как решение тригонометрических уравнений с одз2,

равенство возможно если, они оба равны 2.

cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно

х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z (обязательно проверить).

Ответ: Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z.

8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.

Решение: Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.

(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.

2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,

cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,

2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,

Возникают три случая:

  1. cos х/2 = 0, х/2 = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z, х = Как решение тригонометрических уравнений с одз+ 2Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z;
  2. cos 5/2х = 0, 5/2х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z, х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/5 + 2/5Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z;
  3. cos х = 0, х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z.

Ответ: Как решение тригонометрических уравнений с одз+ 2Как решение тригонометрических уравнений с одзk, Как решение тригонометрических уравнений с одз/5 + 2/5Как решение тригонометрических уравнений с одзk, Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z.

Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5Как решение тригонометрических уравнений с одз, то получим Как решение тригонометрических уравнений с одз+ 2Как решение тригонометрических уравнений с одзn). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х1 = Как решение тригонометрических уравнений с одз/5 + 2/5Как решение тригонометрических уравнений с одзk, х2 = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.

Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:

sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.

Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.

9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – Как решение тригонометрических уравнений с одз3) = 0.

Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:

2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,

(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.

Получаем два уравнения:

cos 3х + 1 = 0, х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/3 + 2/3Как решение тригонометрических уравнений с одзk.

Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2Как решение тригонометрических уравнений с одз. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 Как решение тригонометрических уравнений с одзх 8 х – cos 5 х = 1.

Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 t убывает с ростом t.

Значит, sin 8 х Как решение тригонометрических уравнений с одзsin 2 х, – cos 5 х Как решение тригонометрических уравнений с одзcos 2 х;

Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:

sin 8 х – cos 5 х Как решение тригонометрических уравнений с одзsin 2 х + cos 2 х = 1.

Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,

т.е. sin х может принимать значения -1, 0

Ответ: Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, Как решение тригонометрических уравнений с одз+ 2Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z.

Для полноты картины рассмотрим ещё пример.

12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.

Решение: Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.

Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:

1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).

Из неравенства D Как решение тригонометрических уравнений с одз0 следует cos 2 3х Как решение тригонометрических уравнений с одз0 или cos 2 3х Как решение тригонометрических уравнений с одз1.

Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.

Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk.

Эти значения х удовлетворяют уравнению.

Если Как решение тригонометрических уравнений с одзcos 3х Как решение тригонометрических уравнений с одз= 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± Как решение тригонометрических уравнений с одз/3 + 2Как решение тригонометрических уравнений с одзk. Эти значения также удовлетворяют уравнению.

Ответ: Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, Как решение тригонометрических уравнений с одз/3 + 2Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z.

13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.

Решение: Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде

1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.

обозначив sin 2х = t, -1 Как решение тригонометрических уравнений с одзt Как решение тригонометрических уравнений с одз1,

получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,

решая которое, находим t1 = 1/2, t2 = – 4

уравнение sin 2х = 1/2

2х = (- 1) к Как решение тригонометрических уравнений с одз/6 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z, х = (- 1) к /Как решение тригонометрических уравнений с одз/12 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk /2, k€z .

уравнение sin 2х = – 4 решений не имеет.

Ответ: (- 1) к /Как решение тригонометрических уравнений с одз/12 + Как решение тригонометрических уравнений с одзk /2, k€z .

14. Решить уравнение: sin 9х + sin х = 2.

Решение: Решим уравнение методом оценки. Поскольку при всех значениях а выполнено неравенство sin аКак решение тригонометрических уравнений с одз1,то исходное уравнение равносильно sin х = 1 и sin 9х =1,откуда получаем х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + 2Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z и х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/18 + 2Как решение тригонометрических уравнений с одзn, n€z.

Решением будут те значения х, при которых выполнено и первое, и второе уравнение. Поэтому из полученных ответов следует отобрать только х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + 2Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z.

Ответ: Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + 2Как решение тригонометрических уравнений с одзk, k€z.

15. Решить уравнение: 2 cos x = 1 – 2 cos 2 x – v3 sin 2х.

Решение: воспользуемся формулой:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

и перепишем уравнение в виде

2 cos x = – cos 2х – Как решение тригонометрических уравнений с одз3 sin 2х.

Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим уравнение:

2 cos x = – 2 (1/2 cos 2х + Как решение тригонометрических уравнений с одз3/2 sin 2х),

которое можно записать в виде

2 cos x = – 2 (cos а cos 2х + sin а sin 2х),

где очевидно, а = Как решение тригонометрических уравнений с одз/3. Преобразуя правую часть полученного уравнения с помощью формулы:

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

приходим к уравнению

2 cos x = – 2 cos (2х – Как решение тригонометрических уравнений с одз/3),

cos x + cos (2х – Как решение тригонометрических уравнений с одз/3) = 0.

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле:

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2,

cos x + cos (2х – Как решение тригонометрических уравнений с одз/3) = 2 cos (3х/2 – Как решение тригонометрических уравнений с одз/6) cos (Как решение тригонометрических уравнений с одз/6 – х/2) = 0

Это уравнение расщепляется на два уравнения

cos (3х/2 – Как решение тригонометрических уравнений с одз/6) = 0, и

cos (Как решение тригонометрических уравнений с одз/6 – х/2) = 0,

решение которых уже не представляет сколь нибудь значительных трудностей.

Ответ: 2Как решение тригонометрических уравнений с одз/9(2 + 3n), 2Как решение тригонометрических уравнений с одз/3(2 + 3 k), n, k€z.

16. При каких значениях параметра а, уравнение а sin x – 4 cos x = 5, имеет решения?

Решение: преобразуем левую часть уравнения, используя формулу введения дополнительного аргумента:

а sin x – 4 cos x = Как решение тригонометрических уравнений с одз(а 2 + 16) sin (x – y), где y определяется из условий sin y = – 4/Как решение тригонометрических уравнений с одз(а 2 + 16), и cos y = а /Как решение тригонометрических уравнений с одз(а 2 + 16).

Но значение y нас не интересует. Поэтому данное уравнение перепишем в виде

Как решение тригонометрических уравнений с одз(а 2 + 16) sin (x – y) = 5,

sin (x – y) = 5/Как решение тригонометрических уравнений с одз(а 2 + 16), это уравнение имеет решение при условии Как решение тригонометрических уравнений с одз5/Как решение тригонометрических уравнений с одз(а 2 + 16) Как решение тригонометрических уравнений с одз Как решение тригонометрических уравнений с одз1.

Решим это неравенство:

5/Как решение тригонометрических уравнений с одз(а 2 + 16) Как решение тригонометрических уравнений с одз1, обе части умножим на Как решение тригонометрических уравнений с одз(а 2 + 16):

5 Как решение тригонометрических уравнений с одзКак решение тригонометрических уравнений с одз(а 2 + 16),

Как решение тригонометрических уравнений с одз(а 2 + 16) Как решение тригонометрических уравнений с одз5,

а 2 + 16 Как решение тригонометрических уравнений с одз25,

а 2 Как решение тригонометрических уравнений с одз9, или

Как решение тригонометрических уравнений с одза Как решение тригонометрических уравнений с одз Как решение тригонометрических уравнений с одз3, следовательно

а € (-Как решение тригонометрических уравнений с одз;-3] U [3; Как решение тригонометрических уравнений с одз).

Ответ: (-Как решение тригонометрических уравнений с одз;-3] U [3; Как решение тригонометрических уравнений с одз).

17. При каких значениях параметра а, уравнение 2 sin 2 x + 3 cos (x +2 а) = 5, имеет решения?

Решение: поскольку 0 Как решение тригонометрических уравнений с одзsin 2 x Как решение тригонометрических уравнений с одз1, и -1 Как решение тригонометрических уравнений с одзcos (x +2а) Как решение тригонометрических уравнений с одз1 левая часть уравнения может равняться 5 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

Это означает, что исходное уравнение равносильно системе уравнений sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

sin x = – 1, sin x = 1, cos (x +2 а) = 1;

х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзn, n€z, и x +2 а = 2 Как решение тригонометрических уравнений с одзк, к€z;

х = Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзn, и x = – 2 а + 2 Как решение тригонометрических уравнений с одзк;

Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 + Как решение тригонометрических уравнений с одзn = – 2 а + 2 Как решение тригонометрических уравнений с одзк;

2 а = 2 Как решение тригонометрических уравнений с одзк – Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 – Как решение тригонометрических уравнений с одзn;

а = Как решение тригонометрических уравнений с одзк – Как решение тригонометрических уравнений с одз/4 – Как решение тригонометрических уравнений с одзn/2;

а = – Как решение тригонометрических уравнений с одз/4 + Как решение тригонометрических уравнений с одз/2 (2к – n);

а = – Как решение тригонометрических уравнений с одз/4 + Как решение тригонометрических уравнений с одзm/2, m€z.

Ответ: – Как решение тригонометрических уравнений с одз/4 + Как решение тригонометрических уравнений с одзm/2, где m€z.

Рассмотренные выше примеры лишь иллюстрируют несколько общих рекомендаций, которые полезно учитывать при решении тригонометрических уравнений. Из приведённых примеров видно, что дать общий рецепт в каждом конкретном случае невозможно.

Ежегодно варианты экзаменационных материалов ЕГЭ содержат от 4-х до 6-ти различных задач по тригонометрии. Поэтому параллельно с повторением теоретического материала значительное время должно быть отведено решению конкретных задач, в том числе и тригонометрических уравнений. А умение можно выработать, только получив практические навыки в решении достаточного числа тригонометрических уравнений.

Видео:Как решать тригонометрические уравнения с ОДЗ?Скачать

Как решать тригонометрические уравнения с ОДЗ?

Простейшие тригонометрические уравнения

п.1. Решение простейших тригонометрических уравнений

Про аркфункции (обратные тригонометрические функции) и их свойства – см. §9-11 данного справочника.
Обобщим результаты решения простейших уравнений, полученные в этих параграфах.

УравнениеОДЗРешение
$$ sinx=a $$$$ -1leq aleq 1 $$begin x=(-1)^k arcsin a+pi kLeftrightarrow\ Leftrightarrow left[ begin x_1=arcsin a+2pi k\ x_2=pi-arcsin a+2pi k end right. end
$$ cosx=a $$$$ -1leq aleq 1 $$begin x=pm arccos a+2pi k end
$$ tgx=a $$$$ ainmathbb $$begin x=arctga+pi k end
$$ ctgx=a $$$$ ainmathbb $$begin x=arcctga+pi kLeftrightarrow\ Leftrightarrow x=arctgfrac1a+pi k end

Частные случаи, для которых запись результата отличается от общей формулы:

a=0a=-1a=1
$$ sinx=a $$$$ x=pi k $$$$ -fracpi2+2pi k $$$$ fracpi2+2pi k $$
$$ cosx=a $$$$ x=fracpi2+pi k $$begin pi+2pi k end

begin 2pi k end
begin sinx=frac<sqrt>\ x=(-1)^k arcsinfrac<sqrt>+pi k=(-1)^kfracpi4+pi kLeftrightarrow left[ begin x_1=fracpi4+2pi k\ x_2=frac+2pi k end right. end Как решение тригонометрических уравнений с одз
begin ctgx=3\ x=arcctg3+pi kLeftrightarrow x=arctgfrac13+pi k end Как решение тригонометрических уравнений с одз

п.2. Решение уравнений с квадратом тригонометрической функции

К простейшим также можно отнести уравнения вида:

УравнениеОДЗРешение
$$ sin^2x=a $$$$ 0leq aleq 1 $$begin x=pm arcsinsqrt+pi k end
$$ cos^2x=a $$$$ 0leq aleq 1 $$begin x=pm arccossqrt+pi k end
$$ tg^2x=a $$$$ ageq 0 $$begin x=pm arctgsqrt+pi k end
$$ ctg^2x=a $$$$ ageq 0 $$begin x=pm arcctgsqrt+pi k end
begin cos^x=frac14\ x=pm arccosfrac12+pi k=pmfracpi3+pi k end Как решение тригонометрических уравнений с одзbegin tg^2x=1\ x=pm arctg1+pi k=pmfracpi4+pi k end Как решение тригонометрических уравнений с одз

п.3. Различные формы записи решений

Как известно, в тригонометрии все функции связаны между собой базовыми отношениями (см. §12 данного справочника). Если нам известна одна из функций, мы можем без труда найти все остальные. Преобразования в уравнениях приводят к тому, что решение может быть записано через любую из этих функций.
Кроме того, понижение степени или универсальная подстановка (см. §15 данного справочника) приводят к увеличению или уменьшению исходного угла в 2 раза, и ответ может оказаться очень непохожим на решения, полученные другими способами для того же уравнения.

Как решение тригонометрических уравнений с одзРешим уравнение (sin^2x=0,64)
Для квадрата синуса решение имеет вид: begin x=pm arcsinsqrt+pi k=\ =pm arcsin0,8+pi k end На числовой окружности этому решению соответствуют 4 базовых точки, которые можно представить по-разному: begin x=pm arcsin0,8+pi k=\ =pm arccos0,6+pi k=\ =pm arctgfrac43+pi k end

Если решать уравнение с помощью формулы понижения степени, получаем: begin sin^2x=frac=0,64Rightarrow 1-cos2x=1,28Rightarrow cos2x=-0,28Rightarrow\ Rightarrow 2x=pm arccos(-0,28)+2pi kRightarrow x=pmfrac12 arccos(-0,28)+pi k end Если же решать уравнение с помощью универсальной подстановки: begin sin^2x=left(frac<2tgfrac><1+tg^2frac>right)^2=0,64Rightarrowfrac<2tgfrac><1+tg^2frac>=pm 0,8Rightarrow 1+tg^2frac=pm 2,5tgfracRightarrow\ left[ begin tg^2frac+2,5tgfrac+1=0\ tg^2frac-2,5tgfrac+1=0 end right. Rightarrow left[ begin left(tgfrac+2right)left(tgfrac+frac12right)=0\ left(tgfrac-2right)left(tgfrac-frac12right)=0 end right. Rightarrow left[ begin tgfrac=pm 2\ tgfrac=pmfrac12 end right. Rightarrow\ Rightarrow left[ begin x=pm arctg2+2pi k\ x=pm 2arctgfrac12+2pi k end right. end Таким образом, решая одно и то же уравнение, мы получаем очень разные по виду ответы. Однако, при проверке, все полученные множества решений совпадают.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнение обычным способом и с помощью универсальной подстановки. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) (sin x=frac<sqrt>)

Как решение тригонометрических уравнений с одзОбычный способ: begin x=(-1)^k arcsinfrac<sqrt>+pi k=(-1)^kfracpi3 +pi k Leftrightarrow\ Leftrightarrow left[ begin x=fracpi3+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end 2 базовых точки на числовой окружности.

Универсальная подстановка: begin sinx=frac<2tgfrac><1+tg^2frac>Rightarrow 1+tg^2frac=frac<2tgfrac><sqrt/2>Rightarrow tg^2frac-frac<sqrt>tgfrac+1=0\ D=left(-frac<sqrt>right)^2-4=frac-4=frac43, tgfrac=frac<frac<sqrt>pmfrac<sqrt>>Rightarrow left[ begin tgfrac=frac<sqrt>\ tgfrac=sqrt end right. \ left[ begin frac=fracpi6+pi k\ frac=fracpi3+pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi3+2pi k\ x=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^kfracpi3+pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: ((-1)^kfracpi3+pi k)

Как решение тригонометрических уравнений с одзОбычный способ: begin 2x=pm arccosfrac12+2pi kRightarrow\ x=pmfrac12left(arccosfrac12+2pi kright)=\ =pmfrac12cdotfracpi3+pi k=pmfracpi6+pi k end 4 базовых точки на числовой окружности.

Универсальная подстановка: begin cos2x=frac=frac12Rightarrow 2(1-tg^2x)=1+tg^2xRightarrow 3tg^2x=1Rightarrow tgx=pmfrac<sqrt>\ x=pmfracpi6+pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (pmfracpi6+pi k)

в) (sinleft(frac+fracpi3right)=1)
Обычный способ: begin frac+fracpi3=fracpi2+2pi kRightarrow frac=fracpi2-fracpi3+2pi k=fracpi6+2pi kRightarrow x=fracpi 3+4pi k end Одна базовая точка на числовой окружности с периодом (4pi).
Универсальная подстановка: begin sinleft(frac+fracpi3right)=frac<2tgfrac<frac+fracpi3>><1+tg^2frac<frac+fracpi3>>=1Rightarrow tg^2left(frac+fracpi6right)-2tgleft(frac+fracpi6right)-2tgleft(frac+fracpi6right)+1=0Rightarrow\ left(tgleft(frac+fracpi6right)-1right)^2=0Rightarrow tgleft(frac+fracpi6right)=1Rightarrow frac+fracpi6=frac+pi kRightarrow\ Rightarrow frac=fracpi4-fracpi6+pi kRightarrow frac=frac+pi kRightarrow x=fracpi3+4pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (fracpi3+4pi k)

г*) (tgleft(3x+fracpi3right)=0)
Обычный способ: begin 3x+fracpi3=arctg0+pi k=pi kRightarrow 3x=-fracpi3+pi kRightarrow x=-fracpi9+frac end Универсальная подстановка: begin tgleft(3x+fracpi3right)=frac<2tgfrac><1-tg^2frac>=0Rightarrow tgfrac=0Rightarrowfrac=pi kRightarrow\ Rightarrow 3x+fracpi3=2pi k=3x=-fracpi3+2pi kRightarrow=-fracpi9+frac end При использовании универсальной подстановки потеряна половина корней (период увеличился в 2 раза). Это связано с тем, что мы отбросили еще одно решение: (tgfracrightarrowinfty) — значение тангенса у асимптот. Действительно, в этом случае дробь стремится к 0, что удовлетворяет уравнению. Получаем: begin frac=fracpi2+pi kRightarrow 3x+fracpi3=pi+2pi kRightarrow 3x=frac+2pi kRightarrow x=frac+frac end Таким образом, мы получили два семейства решений: begin left[ begin x=-fracpi9+frac\ x=frac+frac end right. end Представим последовательности решений в градусах, подставляя возрастающие значения (k): begin left[ begin x=-20^+120^k=left<. -20^,100^,220^. right>\ x=40^+120^k=left<. 40^,160^,280^. right> end right. end Теперь представим полученное обычным способом решение в градусах: $$ x=-fracpi9+frac=-20^+60^k=left<. -20^,40^,100^,160^,220^,280^. right> $$ Получаем, что: begin left[ begin x=-fracpi9+frac\ x=frac+frac end right. Leftrightarrow x=-fracpi9+frac end Ответы и множества решений после учета значений у асимптот совпадают.
Ответ: (-fracpi9+frac)

Вывод: при использовании универсальной подстановки нужно быть аккуратным и помнить о возможности потерять корни. Семейство бесконечных решений для тангенса (frac=fracpi2+pi k), т.е. (x=pi+2pi k) нужно проверять как возможное решение для исходного уравнения отдельно.

При использовании универсальной подстановки можно потерять часть корней исходного тригонометрического уравнения.
Поэтому вместе с универсальной подстановкой проверяется также дополнительное возможное решение для бесконечного тангенса половинного угла: (x=pi+2pi k). begin f(sin(x), cos(x). )=0Leftrightarrow\ left[ begin fleft(tgleft(fracright)right)=0\ (?) x=pi+2pi k end right. end где слева – исходное уравнение, а справа – универсальная подстановка и дополнительное возможное (не обязательное) семейство решений.

Пример 2. Решите уравнение обычным способом и с помощью формул понижения степени. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) (sin^2x=frac34)

Как решение тригонометрических уравнений с одзОбычный способ: begin x=pm arcsinsqrt+pi k=pm arcsinfrac<sqrt>+pi k=pmfracpi3+pi k end

Формулы понижения степени: begin sin^2x=frac=frac34Rightarrow 1-cos2x=frac32Rightarrow cos2x=-frac12Rightarrow\ Rightarrow 2x=pm arccosleft(-frac12right)+2pi k=pmfrac+2pi kRightarrow x=pmfracpi3+pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (pmfracpi3+pi k)

Как решение тригонометрических уравнений с одзОбычный способ: begin 2x=pm arccossqrt+pi k=pm 0+pi k=pi kRightarrow x=frac end Формулы понижения степени: begin cos^2 2x=frac=1Rightarrow 1+cos4x=2Rightarrow\ cos4x=1Rightarrow 4x=0+2pi k=2pi kRightarrow x=frac end

Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (frac)

Как решение тригонометрических уравнений с одзОбычный способ: begin frac+fracpi3=pm arcsinsqrt+pi k=pm arcsinfrac12+pi=pmfracpi6+pi k\ frac=-fracpi3pmfracpi6+pi k= left[ begin fracpi2+pi k\ -fracpi6+pi k end right. Rightarrow x= left[ begin -pi+2pi k\ -fracpi3+2pi k end right. end

Формулы понижения степени: begin sin^2left(frac+fracpi3right)=frac<1-cosleft(2left(frac+fracpi3right)right)>=frac14Rightarrow 1-cosleft(x+fracright)=frac12Rightarrow\ Rightarrow cosleft(x+fracright)=frac12Rightarrow x+frac=pm arccosleft(frac12right)+2pi kRightarrow\ Rightarrow x=-fracpmfracpi3+2pi k= left[ begin -pi+2pi k\ -fracpi3+2pi k end right. end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (-pi+2pi k, -fracpi3+2pi k)

Как решение тригонометрических уравнений с одзОбычный способ: begin x+fracpi4=pm arctgsqrt+pi k=pmfracpi4+pi kRightarrow\ Rightarrow x=-fracpi4pmfracpi4+pi k= left[ begin -fracpi2+pi k\ pi k end right. end

Формулы понижения степени: begin cos^2left(x+fracpi4right)=frac<1+underbrace_>=frac12\ cos^2left(x+fracpi4right)=frac=frac12 Rightarrow cosleft(2x+fracpi2right)=0Rightarrow\ Rightarrow -sin2x=0Rightarrow sin2x=0 Rightarrow 2x=pi kRightarrow x=frac end Из чертежа видно, что begin left[ begin -fracpi2+pi k\ pi k end right. Leftrightarrow x=frac end Оба решения соответствуют 4 базовым точкам на числовой окружности через каждые 90°. Множества решений совпадают. Ответы не совпадают, но являются равнозначными.
Ответ: (frac)
Вывод: формулы понижения степени не расширяют и не урезают множество корней исходного уравнения. Полученные ответы либо совпадают, либо нет, но всегда являются равнозначными.

📹 Видео

Решение тригонометрического уравнения с ОДЗСкачать

Решение тригонометрического уравнения с ОДЗ

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Тригонометрия 9. ОДЗ в заданиях №13 ЕГЭСкачать

Тригонометрия 9. ОДЗ в заданиях №13 ЕГЭ

Вебинар №12. Тригонометрия - часть 2, решение уравнений, неравенств, ОДЗСкачать

Вебинар №12. Тригонометрия - часть 2, решение уравнений, неравенств, ОДЗ

Урок 4. Тригонометрические уравнения с ОДЗСкачать

Урок 4. Тригонометрические уравнения с ОДЗ

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по Математике

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor online

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений. ОДЗ.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. ОДЗ.

Математика. Пример решения тригонометрического уравнения с ОДЗСкачать

Математика. Пример решения тригонометрического уравнения с ОДЗ

ЕГЭ 2017. Задание 13. Тригонометрическое уравнение. Дробное. ОДЗ.Скачать

ЕГЭ 2017. Задание 13. Тригонометрическое уравнение. Дробное. ОДЗ.

[Миф] Математика ЕГЭ. C1. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ | Решение задачи № 1Скачать

[Миф] Математика ЕГЭ. C1. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ | Решение задачи № 1

(2) Тригонометрическое уравнение с ОДЗ. ЕГЭ. задание №12Скачать

(2)  Тригонометрическое уравнение с ОДЗ. ЕГЭ. задание №12

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 7 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 7 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по Математике

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.

Тригонометрия в ЕГЭ может быть простойСкачать

Тригонометрия в ЕГЭ может быть простой
Поделиться или сохранить к себе: