Предмет математики настолько серьезен,
что нужно не упускать случая делать его
Занимательная математика – это направление в математике, проявляющееся в большей степени в рамках досуга, развлечения и самообразования. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, ошибочного рассуждения или обычной математической задачи с «секретом» – каким-либо неожиданным или забавным поворотом мысли.
Задачи о рыцарях и лжецах – разновидность увлекательных математических задач, в которых фигурируют персонажи:
Лжец (плут, вампир, сумасшедший, оборотень) – человек, всегда говорящий ложь.
Рыцарь (человек, поступающий правдиво и правильно, правдец) – человек, всегда говорящий правду.
Решение подобных задач обычно сводится к перебору вариантов с исключением тех, которые приводят к противоречию.
Существуют задачи с тремя типами персонажей – рыцари, лжецы и нормальные люди (вариант – шпионы). Последние могут как лгать, так и говорить правду.
С задачами про рыцарей и лжецов я познакомился при подготовке к олимпиаде по математике. Это не простые, но веселые, увлекательные задачи. Они учат логически рассуждать и нестандартно мыслить. На уроках математики подобные задачи мы не решали и мне стало интересно, а знают ли о таких задачах мои одноклассники? Справятся ли с их решением? Узнать об этом я решил с помощью исследования, и назвал я его «Остров рыцарей и лжецов».
Актуальность изучения темы моей работы вижу в том, что решение логических задач способствует развитию у учеников интереса к математике, разностороннему раскрытию способностей школьников, умению самостоятельно организовать своё свободное время.
Цель моего исследования – повышение интереса к предмету математика у моих одноклассников, показать им, что решение логических задач в математике – это увлекательно.
Задачи моей исследовательской работы:
— рассмотреть задачи про рыцарей и лжецов и способы их решения;
— изучить интерес моих одноклассников к решению логических задач.
Объект исследования – занимательная математика, логические задачи.
Предмет работы – решение задач про рыцарей и лжецов для повышения наблюдательности и умения логически мыслить.
Практическая значимость моей исследовательской работы заключается в том, что результаты исследования могут быть использованы при подготовке к уроку, олимпиадам, экзаменам.
Структура работы: титульный лист, оглавление, введение, теоретическая и практическая части, заключение, список использованной литературы.
1. Логические задачи в математике
1.1. Задачи о рыцарях и лжецах
Логические задачи – пожалуй, самый эффективный инструмент для развития логики и мышления как у детей, так и у взрослых.
Решение задачи на логику предполагает сложный мыслительный процесс. Это последовательное совершение определённых логических действий, работа с понятиями, использование различных логических конструкций, построение цепочки точных рассуждений с правильными промежуточными и итоговыми умозаключениями.
Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Особое место логики, уделено в математике. Задачи, решение которых развивает логическое мышление, способствуют успешному изучению предмета. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.
Исходными данными в логических задачах являются высказывания. Высказывания и взаимосвязи между ними бывают так сложны, что разобраться в них без использования специальных методов сложно. Основная идея метода рассуждений состоит в том, чтобы последовательно анализировать всю информацию, имеющуюся в задаче, и делать на этой основе выводы.
Наверняка большинство из нас хотя бы раз проходили тесты на уровень логики. Большинство из них составлено из одних вопросов с подвохом.
Существует множество хитроумных задач об острове, населенном рыцарями, всегда говорящими только правду и лжецами, говорящими только ложь. Предполагается, что каждый обитатель острова либо рыцарь, либо лжец.
Так же бывают задачи с третьим типам персонажей – нормальные люди (вариант – шпионы). Они могут как лгать, так и говорить правду.
Систематическое выполнение логических заданий, решение нестандартных задач развивает, совершенствует познавательные способности и познавательную деятельность учащихся. Кроме того, выполнение задач такого вида требует постоянных умственных усилий, более глубокого анализа взаимосвязей, догадки, активизации знаний, проявления творческой инициативы.
1.2. Решение задач о рыцарях и лжецах
Жили-были на одном небольшом островке в океане два племени – рыцари и лжецы. Рыцари были настолько горды и благородны, что не могли говорить ничего, кроме правды, правды и только правды. А лжецы за годы так привыкли оправдываться, выкручиваться и хитрить, что уже не могли говорить ничего, кроме лжи. Так же на острове жили «нормальные люди», они могли говорить как правду, так и ложь. Попробуем определить, кто из них кто.
Как, задав один вопрос, определить, кто перед нами – рыцарь или лжец? Можно, например, спросить: «Ты — человек?» или «Дважды два — четыре?» Рыцарь скажет «да», а лжец «нет».
Если спросить у жителя острова «Кто ты: рыцарь или лжец?», то, кем бы он ни был, он ответит «Я – рыцарь». Рыцарь скажет про себя правду, а лжец солжет про себя. А вот ответ «Я – лжец» не даст никто, так как для рыцаря это будет ложью, а для рыцаря правдой.
Решим задачи посложнее.
На острове рыцарей и лжецов собралась компания из людей разного роста. Каждый заявил «Среди тех, кто выше меня, есть лжецы». Сколько лжецов могло быть среди них?
Решение: Самый высокий – точно лжец (ведь выше него вообще никого нет, а значит, и лжецов среди них нет). Любой, кто ниже него, автоматически говорит правду – значит он рыцарь. Лжец — один (самый высокий), все остальные — рыцари (сколько угодно).
На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес фразу «Все мои друзья – рыцари», либо «Все мои друзья – лжецы», причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
Решение: Заметим, что в паре рыцарь-лжец каждый должен сказать, что другой лжец: рыцарь скажет правду, а лжец соврёт, в паре рыцарь-рыцарь оба скажут правду, а в паре лжец-лжец оба скажут неправду. Значит фраза «Все мои друзья – лжецы» употребляется только в парах рыцарь-лжец. Минимальное кол-во пар рыцарь-лжец, когда фразу сказали 100 человек, это 50. Если пар будет меньше, то и фраз тоже будет меньше.
На острове рыцарей и лжецов собралась компания из 12 человек, каждый заявил всем остальным: «Вы все лжецы!». Сколько лжецов может быть в этой компании?
Решение: Предположим, что все аборигены лжецы. Но тогда каждый из них говорит правду, чего он как лжец делать никак не может. Противоречие!
Значит, есть хотя бы один рыцарь. Рассмотрим этого рыцаря. Он должен был сказать правду. То есть все остальные 11 человек – лжецы. Каждый из них при этом говорит неправду, то есть этот пример подходит. Больше, чем один рыцарей быть не может, т.к. иначе каждый из них, сказав, что все остальные лжецы солгал бы.
По кругу сидят рыцари и лжецы – всего 12 человек. Каждый из них сделал заявление: «Все кроме, быть может, меня и моих соседей – лжецы». Сколько рыцарей сидит за столом, если известно, что лжецы всегда врут, а рыцари всегда говорят правду?
Решение: Все не могут быть лжецами – тогда все заявления были бы истинными. Значит, есть рыцарь. Все, кроме, быть может, его двух соседей – лжецы. Оба соседа не могут быть лжецами – тогда они сказали бы правду; оба не могут быть рыцарями – тогда бы они солгали. Единственная оставшаяся возможность – один сосед – лжец, другой – рыцарь (то есть два рыцаря рядом, остальные – лжецы) удовлетворяет условиям задачи. Ответ: 2 рыцаря.
Перед нами трое жителей острова A, B и C. Один из них рыцарь, другой лжец и третий – нормальный человек Эти люди высказывают следующие утверждения: A: Я нормальный человек; B: Это правда; C: Я не нормальный человек. Кто такие A, B и C?
Решение: Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем, потому что рыцарь не назвал бы себя нормальным человеком. Следовательно, получается, что A – либо лжец, либо нормальный человек. Тогда истинно высказывание человека B. Значит, B – либо рыцарь, либо нормальный человек. Но B не может быть нормальным человеком (так как A – нормальный человек), поэтому B – это доблестный рыцарь, а C – маленький лжец. Но лжец не может сказать о себе, что он не нормальный человек (так как любой лжец – не нормальный человек), и мы приходим к противоречию. Итак, A не может быть нормальным человеком. Следовательно, A – хитрый лжец. Это означает, что высказывание человека B ложно, в силу чего B должен быть нормальным человеком (лжецом он быть не может, так как лжец – человек A). Итак, A – хитрый лжец, а B – нормальный человек. Отсюда мы заключаем, что C – доблестный рыцарь.
Как видим, решение логических задач не требует глубокого знания математики. Эти непростые, но интересные задачи научат логически рассуждать и нестандартно мыслить, позволят приобщиться к радости самостоятельного открытия, глубже узнать окружающий мир. Их решение развивает находчивость, сообразительность, наблюдательность, умение анализировать, догадываться, доказывать, решать учебную задачу творчески.
2. Исследование уровня логического мышления учеников 5 класса
2. 1. Математика и логика на практике
Для изучения уровня логического мышления моих одноклассников, проведено небольшое исследование, в котором приняло участие двадцать человек. Всем им были предложены для решения два вида задач – математическая и логическая:
В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой во вторую переложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?
Разделим пополам общее количество яблок:
1) 86 : 2 = 43 (яблока) − стало в каждой корзине;
Прибавим к половине яблок 3:
2) 43 + 3 = 46 (яблок) − было в первой корзине;
Отнимем от половины яблок 3:
3) 43 − 3 = 40 (яблок) − было во второй корзине.
Ответ: в первой корзине было 46 яблок, а во второй было 40 яблок.
Вы попали на остров, на котором живут только рыцари и лжецы. Покинуть остров можно по одному из двух мостов (А или B). Один из мостов приведет вас на большую землю и вы спасены. Другой мост ведет на непроходимые болота. Для того, чтобы выбраться, у вас есть возможность обратиться с единственным вопросом к одному из двух жителей. Имеется достоверная информация: один из двух ваших собеседников рыцарь, а другой лжец. Какой вопрос следует выбрать?
а) Ты рыцарь? б) Твой друг рыцарь? в) Мне лучше выбрать мост А? г) Твой друг отправит на мост В?
Правильный вопрос, который нужно задать одному из жителей –г) Твой друг отправит на мост В?
Если выход по мосту А, то рыцарь ответит: «Да», а лжец ответит: «Нет». Если выход по мосту B, то рыцарь ответит: «Нет», а лжец ответит «Да».
С математической задачей под №1 справились 18 человек из 20. Это задача из учебника по математики для пятого класса, подобные задачи мы решаем на уроках.
С задачей на логику под №2 справились только 5 человек из 20. Подобные задачи на уроках мы не решали, поэтому решить ее смогли только те ученики, которые занимаются математикой углубленно, решают олимпиадные задачи. Остальным ученикам задача показались сложной и непонятной.
Как видим, решение логических задач вызвало трудности и учеников. Многие, не смогли решить задачу про рыцарей и лжецов, так как никогда не решали подобные задачи.
Чтобы решить логическую задачу нужно оригинально мыслить, использовать смекалку, проявить находчивость, применить нестандартные подходы.
Развивать логическое мышление необходимо постоянно. Регулярные тренировки в решении головоломок, нестандартных задач, ребусов и задач на смекалку полезны и необходимы для ума школьников.
Считаю нужным заниматься решением логических задач не только при подготовке к олимпиадам, экзаменам, а так же на уроках математики, при выполнении домашних заданий и в свободное время для саморазвития. Так же решением логических задач можно заниматься на «классных часах», в форме командной игры. В процессе игры у ребят появится дух соперничества.
2.2. Математика – это интересно
Чтобы вызвать интерес у моих одноклассников к логическим задачам, я предложил решить две логические задачи на время.
Предварительно, я объяснил одноклассникам, кто такие рыцари и лжецы.
Саша всегда говорит правду, а Паша всегда лжёт. Какой вопрос надо им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы (оба ответили «да» или оба ответили «нет»)?
Ответ: «Тебя зовут Саша?»
Правильный ответ дали 10 человек из 20.
Малыш спрятал от Карлсона банку с вареньем в одну из трех разноцветных коробок. На коробках Малыш сделал надписи: на красной – «Здесь варенья нет»; на синей – «Варенье — здесь»; на зеленой – «Варенье в синей коробке». Только одна из надписей правдива. В какой коробке Малыш спрятал варенье
Ответ: Варенье в зеленой коробке.
Правильный ответ дали 12 человек из 20.
Путешественник вышел на дорогу, соединяющую город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне находится каждый из городов. Путешественник вышел на дорогу, соединяющую город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне находится каждый из городов. Какой вопрос он должен задать прохожему (не зная, рыцарь он или лжец), чтобы определить это?
Ответ: Ты живешь в этом городе?
Правильный ответ дали 15 человек из 20.
Решение задач на время развило у ребят дух соперничества, стремление дать правильный ответ первым. Все 20 человек сказали, что им было интересно решать такие задачи.
Логические задачи обладают высоким потенциалом. Они приучают к анализу воспринимаемой информации, её разносторонней оценке, повышают интерес к занятиям математикой.
Математика – интересная, многогранная, занимательная и полезная наука. Занимательная математика – это направление в математике, которое может иметь форму головоломки, игры, состязания, фокуса, задачи с «секретом».
Одна из разновидностей увлекательных математических задач – задачи о рыцарях, лжецах и нормальных людях. Лжецы всегда лгут, рыцари – говорят правду, нормальные люди – могут как лгать, так и говорить правду. Решение подобных задач обычно сводится к перебору вариантов с исключением тех, которые приводят к противоречию.
Решение логических задач способствует развитию любознательности, сообразительности, развитию внимательности, настойчивости, целеустремлённости, умения преодолевать трудности – качеств весьма важных в практической деятельности любого человека
Таким образом, логика необходима и значима для любого человека. С помощью обоснования своих идей и взглядов логически, можно убеждать в своей правоте других людей. Логика формирует привычку анализировать свои и чужие суждения, позволяющие устранять ошибки в умозаключениях, отличать ложь от истины.
Логика улучшает память, ведь постигнув законы правильного мышления, можно более корректно обходиться с информацией. Логика упорядочивает нашу жизнь, она помогает отделить важное от неважного, отбрасывает все ненужные второстепенные вещи. Она помогает экономить наше время, что так важно человеку на сегодняшний день. Помимо этого, логика помогает шире смотреть на окружающий мир и глубже чувствовать и понимать его. Эти качества мышления имеют большое значение в любой области научной и практической деятельности.
Логические задачи будут одинаково интересны и увлечённым математикой детям, и «гуманитариям».
Список использованной литературы
Братусь Т.А. Все задачи «Кенгуру». / Братусь Т.А., Жарковская Н.А., Максимов Д.В. – СПб.: Левша, 2017. – 352 с.
Литвинов В.Л. 88 занимательных и олимпиадных задач по математике. Сборник занимательных задач, интересных загадок, головоломок, фокусов и игр. / В.Л. Литвинов. – Самара, 2017. – 43 с.
Никольский С.М. Математика 5 класс: учебник / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2018. – 269 с.
Смаллиан Р.М. Как же называется эта книга? / Р.М. Смаллиан. – М.: Мир, 2012. – 272 с.
Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: учебное пособие для 5-6 классов общеобразовательных учреждений / И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 95 с.
Видео:Разбираем задачку про РЫЦАРЕЙ И ЛЖЕЦОВ за 2 минуты! Олимпиадная математикаСкачать
Задачи Смаллиана. Образцы решения
Общее замечание. При решении всех задач используются метод рассуждения от противного и метод рассуждения по случаям. Следует иметь в виду, что нельзя как аргумент в рассуждении использовать утверждения: «Задача решается» и «Она имеет одно-единственное решение». Поэтому необходимо анализировать все возникающие варианты (случаи), даже если Вы пришли к какому-нибудь решению, не перебрав еще всех вариантов. Фактически во всех задачах после основного вопроса следовало бы указать: «Найти все возможные решения и доказать, что других нет, или доказать, что решений вообще нет».
Видео:1.3 | Рыцари и лжецы. Разные логические задачи | Олимпиадная математика | ЛекториумСкачать
Серия «Рыцари и лжецы»
Дело происходит на волшебном острове. Каждый обитатель этого острова является либо рыцарем, либо лжецом. Рыцари всегда говорят правду (то есть высказывают только истинные утверждения), лжецы всегда лгут (то есть их высказывания всегда ложны).
1. Имеются два островитянина: А и В. А говорит: «По крайней мере, один из нас лжец». Кто такой А (рыцарь или лжец) и кто такой В?
Если А – лжец, тогда получается, что он говорит правду (действительно тогда хотя бы один из них лжец, а именно А). Это противоречие. Поэтому А не может быть лжецом. Поэтому А – рыцарь. Поэтому он говорит правду (как рыцарь). Поэтому среди них есть хотя бы один лжец. Но так как А – рыцарь, то лжец – В.
Ответ: А – рыцарь, В – лжец.
2. Имеются два островитянина: А и В. А говорит: «Я лжец, или В рыцарь». Кто такой А (рыцарь или лжец) и кто такой В?
Если А – лжец, то первая часть его высказывания истинна (он действительно тогда лжец). Но тогда и истинным оказывается все высказывание А (по свойствам высказываний с дизъюнкцией). Но это противоречит тому, что А – лжец. Поэтому А – рыцарь. Все его высказывание истинно (поскольку он рыцарь), а первая часть ложна (ибо он не лжец). Значит, истинна вторая часть. То есть В – рыцарь.
Ответ: А и В оба рыцари.
3. Имеются два островитянина: А и В. А говорит: «Я лжец, а В не лжец». Кто такой А (рыцарь или лжец), и кто такой В?
Если А – рыцарь, то он говорит правду (как все рыцари). То есть обе части его высказывания в этом случае должны быть истинными (по свойствам высказываний с конъюнкцией). То есть, в частности, А должен быть лжецом. Но это противоречит допущению, что он рыцарь. Следовательно, А не может быть рыцарем. Поэтому он лжец. Но тогда первая часть его высказывания фактически истинна притом, что все его высказывание должно быть ложно (как сказанное лжецом). Значит (по свойствам конъюнкции), вторая часть фразы А ложна. Следовательно, В – лжец.
Ответ: А и В оба лжецы.
Серия «Рыцари и лжецы на острове упырей и людей»
Дело происходит на волшебном острове. Каждый обитатель этого острова является либо рыцарем, либо лжецом. Рыцари всегда говорят правду (то есть высказывают только истинные утверждения), лжецы всегда лгут (то есть их высказывания всегда ложны). Кроме этого, каждый островитянин является либо человеком, либо упырем, то есть существует четыре типа островитян: рыцари-люди, рыцари-упыри, лжецы-люди и лжецы-упыри.
4. Имеется островитянин А. Он говорит: «Я лжец или упырь». К какому из четырех типов островитян он относится?
Если А – лжец, то он говорит в целом правду (так как первая часть его высказывания оказывается в этом случае фактически истинной, а само высказывание относится по виду к дизъюнктивным). Это противоречие. Поэтому А – рыцарь. Но первая часть его высказывания тогда ложна. Значит, для того, чтобы все им сказанное было истинно (как это должно быть для рыцарей), истинной должна быть вторая часть. Поэтому А – упырь.
Ответ: А – рыцарь-упырь.
5. Имеется островитянин А. Он говорит: «Я лжец и упырь». К какому из четырех типов островитян он относится?
Если А – рыцарь, то он говорит (как рыцарь) правду. Поэтому обе части его высказывания должны быть истинными. Поэтому он должен быть лжецом. Но это противоречит допущению. Следовательно, А – лжец. Первая часть его высказывания тогда фактически истинна, а все высказывание в целом должно быть ложно (ибо А – лжец). Значит, ложна вторая часть. Поэтому А – не упырь.
Ответ: А – лжец-человек.
6. Имеются два островитянина — А и В. А говорит: «По крайней мере один из нас упырь». В говорит: «По крайней мере один из нас лжец». К какому из четырех типов островитян относятся А и В?
Если В – лжец, то получается, что сказанное им – правда (фактически). Поэтому В не может быть лжецом. Следовательно, В – рыцарь, и сказанное им – правда (как высказывание рыцаря). Поэтому один из них действительно лжец, а именно А (ибо В – не лжец). Поэтому А лжет, и упырей среди них нет.
Ответ: А – лжец-человек, В – рыцарь-человек.
7. Имеются два островитянина – А и В. А говорит: «Мы оба упыри». В говорит: «Мы оба лжецы». К какому из четырех типов островитян относятся А и В?
Если В – рыцарь, то сказанное им должно быть правдой, и они оба должны быть лжецами. Это противоречит допущению, что В – рыцарь. Значит, В – не рыцарь, а лжец. Значит, он лжет, и они не оба лжецы. Но раз В – лжец, значит, А – рыцарь. Поэтому А говорит правду, и они оба упыри.
Ответ: А – рыцарь-упырь, В – лжец-упырь.
Серия «Рыцари и лжецы»
8. Имеются три островитянина: А, В, С. А говорит: «Мы все трое лжецы». В говорит: «Ровно один из нас троих рыцарь». С молчит. Кто из них кто?
А не может быть рыцарем, ибо тогда они все (включая и А) были бы лжецами. Поэтому А – лжец. Поэтому он лжет, и среди них троих есть рыцари (хотя бы один). Если В – рыцарь, то он говорит правду, и С тогда лжец. Если же В – лжец, то рыцарей среди них либо нет, либо 2 или 3. Последние два варианта, очевидно, невозможны (А и В уже лжецы). Поэтому тогда и С должен быть лжецом. Но это противоречит ранее доказанному, что среди них есть рыцари. Поэтому В не может быть лжецом.
Ответ: А – лжец, В – рыцарь, С – лжец.
9. Имеются два островитянина – А и В. А говорит: «Мы оба лжецы, и этот остров называется Майя». В говорит: «По крайней мере один из нас лжец, и этот остров не Майя». Возможно ли, чтобы этот остров действительно назывался Майя? Если да, то наверняка ли он так называется?
Пусть этот остров действительно Майя. Тогда вторая часть высказывания А истинна, вторая часть высказывания В – ложна. А не может быть рыцарем (см. выше). Значит, А – лжец. Значит, первая часть высказывания В истинна, а, так как вторая ложна, то ложно и все его высказывание в целом. То есть В – лжец. Значит, они оба лжецы. Но тогда обе части высказывания А истинны, что невозможно (А – лжец). Значит, этот остров не может называться Майя. (Кроме того, А тогда лжец, а В – рыцарь).
Ответ: нет, нельзя.
Серия «Рыцари, лжецы и оборотни»
10. Имеются три персонажа: А, В, С. Среди персонажей имеется ровно один оборотень. Оборотень может быть как рыцарем, так и лжецом. А говорит: «Я оборотень». В говорит: «Я оборотень». С говорит: «Не более чем один из нас рыцарь». Кто оборотень? Можно ли установить, кем являются А, В, С (рыцарями или лжецами)?
Пусть С – рыцарь. Тогда он говорит правду и остальные персонажи (А и В) в этом случае оказываются лжецами. Поэтому в этом варианте С – оборотень. Если же С – лжец, то он говорит неправду, и среди них более одного рыцаря, то есть А и В – оба рыцари и потому оба оборотни (они говорят правду как рыцари). Но это невозможно по условию (оборотень один). Следовательно, С – рыцарь и оборотень.
Ответ: С – оборотень. А и В – лжецы, С – рыцарь.
11. Имеются два персонажа: А и В. Из них оборотень только один и может оказаться кем угодно. А говорит: «Оборотень – рыцарь». В говорит: «Оборотень – лжец». Кто оборотень?
Если В – рыцарь, то оборотень – лжец, и им тогда должен быть А (так как В – рыцарь). И действительно, А тогда лжет относительно того, кем является оборотень. Если же В – лжец, то оборотень не лжец (высказывание В ложно), то есть рыцарь. И в этом случае оборотень А. И тогда он действительно говорит правду относительно того, что оборотень (то есть он сам) – рыцарь. Итак, кем бы ни был В (и кем бы ни был тогда А), в любом случае оборотень А.
Ответ: оборотнем является А.
Серия «Расследования преступлений»
1. Украли муку. Подозрение в краже перца пало на Соню, Болванщика и Мартовского Зайца. Известно, что муку украл только кто-то один из них, и именно он единственный на суде сказал правду.
Показания подозреваемых были следующими:
Мартовский Заяц: Муку украл Болванщик.
Показания Сони и Болванщика не сохранились.
Если бы Заяц был вором, он бы сказал правду (по условию), и тогда Болванщик тоже был бы виновен. Но это (два вора) невозможно по условию. Значит, Заяц невиновен. Но тогда он лжет (только вор сказал правду). Поэтому Болванщик тоже невиновен. Значит, муку украла Соня.
2. Украли соль. Подозрение пало на Гусеницу, Ящерку Билля и Чеширского Кота. Известно, что по крайней мере один из обвиняемых лгал и по крайней мере один говорил правду. Известно также, что соль украл кто-то один. На суде подозреваемые сказали следующее: Гусеница: «Соль украл Ящерка Билль». Ящерка Билль: «Сущая правда!» Чеширский Кот: «Я не крал соли». Кто украл соль?
Пусть соль украла Гусеница. Тогда она лжет, Ящерка тоже лжет, а Кот говорит правду (он действительно в этом случае не крал соль). Этот вариант подходит под условия задачи. Если соль украл Ящерка Билль, тогда все трое говорят правду, что исключено условием задачи. Если соль украл Кот, то все трое лгут, что также невозможно. Поэтому единственно возможное решение – Гусеница.
Серия «Принцесса или тигр»
1. Имеются две запертые комнаты, в каждой из которых может находиться тигр или принцесса. Иными словами, в комнатах может быть два тигра, две принцессы, или один тигр и одна принцесса (соответственно, в комнате 1 и в комнате 2, или наоборот). На дверях комнат висят таблички. Известно, что они либо обе лгут, либо обе говорят правду. Вот они:
На комнате 1 На комнате 2
По крайней мере в одной из этих В другой комнате сидит тигр
комнат находится принцесса
Кто в какой комнате сидит?
Если обе таблички лгут, то, с одной стороны, принцесс в комнатах нет (из ложности первой), с другой стороны, в комнате 1 тигр не сидит (из ложности второй), т. е. в комнате 1 принцесса. Это противоречие. Поэтому обе таблички говорят правду. Тогда в 1-й комнате тигр (вторая табличка), значит, принцесса во 2-й комнате (чтобы истинной оказалась первая табличка).
Ответ: тигр в первой, принцесса во второй.
2. Имеются три запертые комнаты, в которых находятся тигр, принцесса (по одному обитателю в комнате), а одна комната пуста. На дверях комнат висят таблички. Известно, что если в комнате сидит принцесса, то табличка на двери этой комнаты говорит правду, если тигр – табличка лжет, а если комната пуста, то надпись на соответствующей табличке может быть любой. Вот все таблички:
На комнате 1 На комнате 2 На комнате 3
Комната 3 пуста В комнате 1 сидит тигр Эта комната пуста
В какой комнате сидит принцесса, а в какой – тигр?
Принцессы не может быть в комнате 3 (если бы она там была, то табличка на двери этой комнаты должна была бы говорить правду, и комната 3 была бы одновременно и пустой). Если принцесса в комнате 2, то тигр в комнате 1 (табличка 2 тогда говорит правду). Поэтому 1-я табличка лжет, и комната 3 не пуста. Но этого не может быть, ибо обитателями уже заняты комнаты 1 и 2. Значит, принцесса может находиться только в комнате 1. Тогда комната 3 пуста, а тигр в комнате 2 (и «его» табличка действительно лжет).
Ответ: принцесса в первой, тигр во второй.
3. Имеются две комнаты, в каждой из которых сидит либо тигр, либо принцесса. Иными словами, в комнатах может быть два тигра, две принцессы, или один тигр и одна принцесса (соответственно, в комнате 1 и в комнате 2, или наоборот). На дверях комнат висят таблички. Условия истинности надписей на них следующие. Для левой комнаты (комнаты 1): если в ней принцесса, то табличка говорит правду, а если тигр – то лжет. Для правой комнаты (комната 2) все наоборот: если в ней тигр, то табличка истинна, если принцесса, то ложна. Надписи таковы:
На комнате 1 На комнате 2
В обеих комнатах В обеих комнатах находятся
находятся принцессы принцессы
Пусть в первой комнате сидит принцесса. Тогда по условию табличка на левой двери говорит правду, и в комнате 2 тоже сидит принцесса. Но тогда табличка на правой двери говорит фактически правду, что невозможно по условию истинности надписи на комнате 2 («принцесса должна лгать»). Поэтому принцессы в первой комнате быть не может. Значит, там тигр, и табличка лжет (это действительно так, двух принцесс уже быть не может). Но тогда лжет и табличка 2. А это означает, что в комнате 2 сидит принцесса («тигр во второй комнате должен был бы сказать правду»).
Ответ: тигр в первой, принцесса во второй.
4. Условия те же, что и в предыдущей задаче. Но таблички только изготовили и еще не успели повесить на двери комнат. Таблички таковы:
«В этой комнате сидит тигр» «В обеих комнатах сидят тигры».
Сначала определим, как вообще можно повесить таблички на двери комнат. Пусть левая табличка висит на левой комнате, а правая на правой. Пусть в левой комнате сидит принцесса. Это невозможно, так как табличка должна говорить правду (по условию), а на ней написано, что за дверью – тигр. Тогда пусть в левой комнате сидит тигр, но тогда табличка говорит правду (что он там), а «левый тигр» должен лгать. Поэтому таблички не могут висеть так, как мы предположили. Значит, они висят наоборот. Опять-таки принцесса не может оказаться в левой комнате (на табличке, которая тогда должна говорить правду, написано, что в комнатах два тигра). Значит, в левой комнате сидит тигр, и табличка ложна. То есть не в обеих комнатах сидят тигры. То есть в правой комнате сидит принцесса. И действительно, соответствующая табличка лжет («здесь тигр»), как это и полагается для «правой принцессы».
Ответ: тигр в первой, принцесса во второй.
1. Имеются три шкатулки с выгравированными на них надписями. В одной из шкатулок находится брошь. Из трех надписей, по крайней мере, одна говорит правду и по крайней мере одна лжет. Вот эти надписи:
На золотой шкатулке На серебряной шкатулке На свинцовой шкатулке
Брошь не в серебряной Брошь не в этой шкатулке Брошь в этой шкатулке
Если брошь в золотой шкатулке, то надпись на золотой истинна, на серебряной истинна, на свинцовой ложна. Если брошь в серебряной шкатулке, то все надписи ошибочны, что противоречит условию. Если брошь в свинцовой шкатулке, то все надписи истинны, что также противоречит условию. Следовательно, брошь может быть только в золотой шкатулке.
Ответ: брошь в золотой шкатулке.
2. Шкатулки изготавливаются мастерами – Челлини или кем-то из его сыновей, Беллини или кем-то из его сыновей. Если шкатулку делает кто-то из семейства Челлини, то гравирует на ее крышке ложную надпись, если кто-то из семейства Беллини, то истинную.
Имеются две шкатулки – золотая и серебряная. На их крышках выгравированы такие надписи:
На золотой шкатулке На серебряной шкатулке
Обе шкатулки в этом Ни одна из этих шкатулок
комплекте изготовлены не была изготовлена
членами семейства Челлини ни сыном Беллини, ни сыном Челлини
Кто какую шкатулку изготовил?
Очевидно, что золотую шкатулку не мог изготовить никто из Беллини, ибо тогда надпись на ней должна была бы быть истинной, и ее сделал бы тогда кто-то из Челлини (см. надпись). Значит, ее сделал кто-то из Челлини, и надпись на ней лжет. Значит, серебряную шкатулку сделал кто-то из Беллини (раз золотую – кто-то из Челлини, а обе члены этого семейства сделать не могли). Значит, надпись на серебряной шкатулке говорит правду. И поэтому сыновья мастеров в изготовлении шкатулок не участвовали. Поэтому золотую сделал сам Челлини, а серебряную – сам Беллини.
Ответ: золотая шкатулка работы Челлини, серебряная работы Беллини.
3. Условие то же, но теперь в изготовлении шкатулок принимают участие только сами мастера – Беллини или Челлини, но не их сыновья. Имеются три шкатулки, в одной из которых лежит алмаз. Надписи на крышках шкатулок таковы:
На золотой шкатулке На серебряной шкатулке На свинцовой шкатулке
Если алмаз в серебряной Если алмаз здесь, то золотую Шкатулку, где лежит
шкатулке, то ее изготовил шкатулку сделал Челлини алмаз, изготовил
Где лежит алмаз?
Пусть камень в свинцовой шкатулке. Тогда если ее сделал Беллини, то надпись на ней должна быть правдивой. Но это невозможно (там написано, что ее – с камнем – сделал Челлини). А если ее сделал Челлини, то оказывается, что он выгравировал правду (что шкатулку с камнем сделал он). Это тоже невозможно, Челлини правды «не пишет». Значит, камня в свинцовой шкатулке точно нет. Пусть камень в серебряной шкатулке. Пусть ее сделал Беллини. Следовательно, золотую шкатулку сделал тогда Челлини (условия истинности импликативных суждений: истинен антецедент – допущение, что камень здесь, и истинна вся импликация как написанное Беллини; значит, консеквент тоже истинен). Тогда надпись на золотой шкатулке лжет, то есть антецедент истинен (это действительно так), а консеквент ложен, то есть серебряную сделал не Беллини. Это противоречит допущению. Пусть по-прежнему камень находится в серебряной шкатулке, но сделал ее Челлини. Значит, золотую сделал Беллини (из ложности консеквента). Значит, надпись на золотой шкатулке истинна. Значит, консеквент этого высказывания истинен, и серебряную шкатулку сделал Беллини. Опять противоречие. Значит, в любом случае камень не может находиться в серебряной шкатулке. Значит, он в золотой (или задача вообще не имеет решения). Но тогда надпись на ней истинна в силу ложности антецедента. Поэтому золотая шкатулка работы Беллини. Для серебряной аналогично, ее тоже сделал Беллини. Надпись на свинцовой шкатулке тогда лжет, и свинцовую шкатулку сделал Челлини. Это вполне удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: алмаз лежит в золотой шкатулке.
Серия «Лес Забывчивости»
Дело в задаче происходит в сказочном Лесу Забывчивости. Его обитателями являются Лев и Единорог. По лесу гуляет Алиса. Известно, что Лев лжет по понедельникам, вторникам и средам и говорит правду во все остальные дни недели. Единорог лжет по четвергам, пятницам и субботам и говорит правду во все остальные дни недели. А Алиса зачастую забывает, какой сегодня день. Алиса встретила Льва и Единорога. Лев сказал: «Вчера был один из дней, когда я лгу». Единорог сказал: «Вчера был один из дней, когда я тоже лгу». В какой день недели состоялась встреча?
Лев мог сказать свою фразу только в четверг (и это было бы правдой, ибо в среду он лгал, и соответствовало бы тому, что по четвергам Лев говорит правду) или в понедельник (тогда он бы солгал, ведь в воскресенье он говорил правду, но так и должно быть в понедельник). Во все остальные дни недели нельзя достигнуть соответствия между истинностью и ложностью фразы и типом дня, в который она произносится. Так, в пятницу – «правдивый день» — фраза будет ложной (в четверг он тоже говорил правду), а во вторник – «ложный день» — истинной (ибо в понедельник Лев лгал). Аналогично, Единорог может сказать то же самое в четверг и воскресенье. Поэтому они встретились в четверг (единственный общий день).
Видео:Задача про рыцарей и лжецовСкачать
Задача про правдолюбов и лжецов решение
Содержание урока:
 | 22.2. Задачи о рыцарях и лжецах |  |
| 22.1. Метод рассуждений |  | 22.3. Задачи на сопоставление. Табличный метод. 22.4. Использование таблиц истинности для решения логических задач |
22.2. Задачи о рыцарях и лжецах
Задачи о рыцарях и лжецах — это такой класс логических задач, в которых фигурируют персонажи:
• рыцарь — человек, всегда говорящий правду;
• лжец — человек, всегда говорящий ложь;
• обычный человек — человек, который в одних ситуациях может говорить правду, а в других — лгать.
Решение подобных задач сводится к перебору вариантов и исключению тех из них, которые приводят к противоречию.
Пример 2. Двое жителей острова А и В разговаривали между собой в саду. Проходивший мимо незнакомец спросил у А: «Вы рыцарь или лжец?». Тот ответил, но так неразборчиво, что незнакомец не смог ничего понять. Тогда незнакомец спросил у В: «Что сказал А?». «А сказал, что он лжец», — ответил В. Может ли незнакомец доверять ответу Б? Мог ли А сказать, что он лжец?
Если А — рыцарь, то он скажет правду и сообщит, что он рыцарь.
Если А — лжец, то он скроет правду и сообщит, что он рыцарь.
Это значит, что В, утверждающий, что «А сказал, что он лжец» заведомо лжёт; он — лжец. Определить же, кем является А, в данной ситуации невозможно.
Пример 3. Рядом стоят два города: город Лжецов (Л) и город Правдивых (П). В городе Лжецов живут лжецы, а в городе Правдивых — правдивые люди. Лжецы всегда лгут, а правдивые — всегда говорят правду. Лжецы и правдивые ходят друг к другу в гости.
Вы попали в один из городов, а в какой не знаете. Вам нужно у первого встречного, задав простой вопрос, узнать, в каком вы городе. Ответом на вопрос может быть только «Да» или « Нет ».
Нужен простой вопрос, ответ на который точно известен вашему респонденту. Например: «Вы находитесь в своём городе?».
Надо задать вопрос и проанализировать варианты ответов с учетом того, кто их мог дать.
Самостоятельно разберитесь с решением задачи, рассмотрев блок-схему на рис. 4.12.
Рис. 4.12. Блок-схема для анализа ответов
Пример 4. Перед нами три человека: А, В и С. Один из них рыцарь, другой — лжец, третий — нормальный человек. При этом неизвестно, кто есть кто. Эти люди утверждают следующее:
1) А: я нормальный человек;
2) В: это правда;
3) С: я не нормальный человек.
Кто такие А, В и С?
Для решения этой задачи следует рассмотреть все возможные варианты распределения ролей.
Начнём с А. Он может быть рыцарем (Р), лжецом (Л) или нормальным человеком (Н). Если А — рыцарь, то В может быть лжецом или нормальным человеком и т. д. Представим все варианты распределения ролей в таблице:
Проанализируем имеющиеся три утверждения, считая, что роли между А, В и С распределены в соответствии с первой строкой таблицы.
Итак, А утверждает, что он нормальный человек (1). Но, согласно первой строке таблицы, — он рыцарь, который не может так о себе сказать. Получено противоречие. Следовательно, первая строка не удовлетворяет условию задачи.
Самостоятельно проанализируйте оставшиеся строки таблицы и дайте ответ на вопрос, поставленный в задаче.
Cкачать материалы урока
Кто on-line?
Кто нас сегодня посетил —>
| —> 1. На развилке двух дорог, одна из которых ведёт в город А, где живут правдивые люди, а другая ведёт в город В, где живут лгуны, математик встретил жителя одного из этих городов. Может ли математик за один вопрос выяснить у встреченного им жителя, какая из дорог ведёт в город А? 2. Пусть в условиях задачи 1 математик встретил на развилке не одного, а трёх человек, один из которых является жителем города А, второё — жителем города В, а третий — обманщиком. При этом математик знает, что среди этих троих — один житель города А, другой — житель города В, а третий — обманщик, но конкретно не знает, кто из них есть кто. Может ли математик за два вопроса выяснить дорогу в А? ОСТРОВ РЫЦАРЕЙ И ЛЖЕЦОВ
3. Трое жителей острова (А, B и C) разговаривали между собой в саду. Проходивший мимо незнакомец спросил у A: «Вы рыцарь или лжец?» Тот ответил, но так неразборчиво, что незнакомец не смог ничего понять. Тогда незнакомец спросил у B: «Что сказал A?» «А сказал, что он лжец», — ответил B. «Не верьте B! Он лжет! — вмешался в разговор островитянин C. Кто из островитян B и C рыцарь и кто лжец? 4. Предположим, что A говорит: «Или я лжец, или B рыцарь». Кто из двух персонажей A и B рыцарь и кто лжец? 5. Перед нами снова три островитянина A, B и C, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Двое из них (А и B) высказывают следующие утверждения: 6. Перед нами в очередной раз три островитянина A, B и C, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Условимся называть двух островитян однотипными, если они оба рыцари или оба лжецы. Пусть A и B высказывают следующие утверждения: 7. Перед нами снова трое островитян A, B и C. А высказывает утверждение: «В и C однотипны». Кто-то спрашивает у C: «А и B однотипны?» Что ответит островитянин C? РЫЦАРИ, ЛЖЕЦЫ И НОРМАЛЬНЫЕ ЛЮДИВ не менее увлекательном виде задач персонажи делятся на три типа: рыцарей, говорящих всегда только правду, лжецов, изрекающих только ложь, и нормальных людей, которые иногда лгут, а иногда говорят правду. 8. Перед нами трое людей A, B и C. Один из них рыцарь, другой лжец и третий — нормальный человек (типы людей могут быть перечислены не в том же порядке, в каком выписаны их «имена» A, B и C). Наши знакомые высказывают следующие утверждения. 9. Двое людей A и B, о которых известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо нормальный человек, высказывают следующие утверждения: 10. Табель о рангах. 11. Трое людей A, B и C, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец, либо нормальный человек, высказывают следующие утверждения: A: Автор: Чаткин Геннадий Семёнович Задача про города лжецов и правдолюбов «Есть два близлежащих города, в одном из которых живут все лжецы, а в другом — правдолюбы. И те и другие приезжают друг к другу в гости. Какой нужно задать единственный вопрос прохожему, что бы узнать, в каком вы Ответ: вопрос — «Вы в гостях?» (или ему подобный). Решение: необходимо задать именно такой вопрос, ответ которого меняется на противоположный в зависимости от места. Как вариант, задать вопрос «Вы в гостях?», тогда: 1.1 Если случайный прохожий окажется правдолюбом и он городе правдолюбов, то на вопрос «Вы в гостях?» правдолюбов , то на вопрос «Вы в гостях?» он также ответит «Нет». ( Он же лжец» 1.3 Если прохожий правдолюб окажется в гостях в городе лжецов, то на вопрос «Вы в гостях?» 14. И если лжец находится в городе лжецов, то на вопрос «Вы в гостях?» он Итак , если любой случайно выбранный прохожий (лжец он или правдолюб) на поставленный вопрос « Вы в гостях?» ответит «Нет», то это означает, что вы в городе правдолюбов. Если же ответ будет «Да», то вы находитесь в В случае, если вопрос будет таким: «Вы житель этого города?», в городе правдистов Вы услышите от любого прохожего ответ «Да», а в городе лжецов ответ будет «Нет» ( правдист скажет правду, а лжец солжет). Т.е. ответ «Да» будет означать, , что Вы в городе правдолюбов, ответ «Нет»- Вы 🎥 ВидеоОдна из самых сложных задач про рыцарей и лжецов. Справитесь? Ответ и решение - в комментарии.Скачать  РЫЦАРИ И ЛЖЕЦЫ | Логическая ошибкаСкачать  Олимпиадная задача о рыцарях и лжецах, сидящих за круглым столомСкачать  Задачи про рыцарей и лжецов (Математика)Скачать  РЫЦАРИ И ЛЖЕЦЫ | ОЛИМПИАДНАЯ МАТЕМАТИКАСкачать  Рыцари и Лжецы | Урок 2 | Разбор задач с мат.кружковСкачать  Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать  Рыцари и лжецыСкачать  289-296. Рыцари и лжецыСкачать  Логические задачи рыцари и лжецыСкачать  7-8 класс. Олимпиады. Рыцари и Лжецы.Скачать  Логические задачи. Рыцари и лжецы 1. Путешественник на островеСкачать  Как решать олимпиадные задачи?Скачать  Prolog 4. Решение задачи про рыцаря, лжеца и шпионаСкачать  Рыцари, лжецы и фантазёры, разбор задачи 1.4Скачать  Метод доказательства от противного, задачи про рыцарей и лжецовСкачать  ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать  |
Вопрос должен задаваться в такой форме, чтобы ответом на него служили слова «да» или «нет». Вопрос, решающий задачу 1, таков: «Ведёт ли эта дорога (указывая на одну из дорог) в ваш родной город? Легко проверить, что ответ «да» означает, что данная дорога ведёт в А, ответ «нет» — что в В. В самом деле, если отвечающий является жителем города А, то он всегда говорит правду и поэтому его ответ «да» означает, что указанная дорога ведёт в А, а ответ»нет» — что в В. Если же отвечающий живёт в В, то его ответ «да», поскольку этот человек всегда говорит неправду, означает, что указанная дорога ведёт не в В, то есть в А, а ответ «нет» означает, что эта дорога ведёт в его родной город, то есть в В. Таким образом, в обоих случаях ответ «да» означает, что данная дорога ведёт в А, и ответ «нет» — что в В, что и утверждалось.
Существует множество хитроумных задач об острове, населенном «рыцарями», всегда говорящими только правду, и лжецами, изрекающими только ложь. Предполагается, что каждый обитатель острова либо рыцарь, либо лжец. Мы начнем с одной хорошо известной задачи этого типа.