Как решать задачи о физике с системой уравнений (5 видео)

Интегрированный урок (математика + физика + информатика) по теме «Решение систем уравнений «

Разделы: Математика

Тип урока: комбинированный.

Мотивация

Данный урок должен показать весь спектр учебных возможностей учащихся по данной теме. Согласно высказыванию В.Гумбольдта: «Умственные занятия оказывают на человека такое же благотворное влияние, какое Солнце оказывает на природу, они рассеивают мрачное настроение, постепенно облегчают, согревают, поднимают дух».

Цели урока

Систематизировать знания по теме;
Продолжить развитие навыков аналитического мышления, умения применять знания в нестандартных ситуациях;
Продолжить развитие познавательного интереса к различным предметам.

Развить умение мобилизовать и применять все имеющиеся знания, умения и навыки при самостоятельном решении задач;
Развивать логическое мышление, речь, волю, эмоции;
Развитие конструктивного, алгоритмического мышления благодаря особенностям общения с компьютером;
Развитие творческого мышления за счет уменьшения доли репродуктивной деятельности;
Формирование информационной культуры, умения обрабатывать информацию(при использовании текстовых, графических и табличных редакторов).

Воспитывать чувство ответственности, умение работать в коллективе;
Воспитать умение использовать свой интеллект, волю, эмоции для достижения общей цели.

Оборудование:

Папки с дидактическими материалами;
Рейтинговый лист (приложение № 1);
Проектор, экран, компьютеры.

Ход урока

I. Организационный момент

У: Здравствуйте, ребята! Сегодня урок по важной теме: «Решение систем уравнений». Нет таких областей знаний в точных науках, где бы ни применялась данная тема. Поэтому наш урок является интегрированным, и не зря эпиграфом к нашему уроку являются следующие слова:

«Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле». (Аристотель)

«Упражнение, друзья, дает больше, чем хорошее природное дарование». (Протагор)

Обратите внимание на папки, лежащие на столах. Первый лист – рейтинговая таблица самооценки знаний. «Рейтинговая таблица самооценки знаний» говорит о том, что оценивать вы будете себя сами. После каждого вида деятельности указано максимальное число баллов, которые вы можете заработать за правильное выполнение задания.

На остальных листах изложены задания, которые вы будете выполнять в ходе уроков.

Сегодня на уроке:

Повторим методы решения систем уравнений и систематизируем знания по теме.
На примере физических задач увидим применение систем уравнений для описания движений тел.
Вы покажете умение работать в Microsoft Excel и Microsoft Power Point.

II. Историческая справка

У: Любое открытие в науке имеет свои исторические корни. Слово предоставляется ученице, которая расскажет вам об истории развития алгебры решения уравнений с n неизвестными и о тех ученых, кто занимался решением систем уравнений.

III. Фронтальный опрос

У: Для того, что бы успешно решать системы уравнений, давайте вспомним:

Что называем системой уравнений?
___Системой уравнений называется несколько уравнений, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем этим уравнениям.
Что значит решить систему уравнений?
___Решить систему уравнений, значит найти все решения или доказать, что решений нет.
Что называется решением системы уравнений?
___Решением системы уравнений называют пару чисел (x ; у ), при которой все уравнения системы обращаются в верные равенства.
В 9 классе мы с вами решаем системы уравнений второй степени. Скажите, какие виды квадратных уравнений вы знаете?
___Полные и неполные.
Как решаются полные квадратные уравнения?
___По формуле через дискриминант или с помощью теоремы Виета.
Для каких полных квадратных уравнений справедлива теорема Виета?
___Для приведенных квадратных уравнений.
Сформулируйте теорему Виета.
Сформулируйте следствие из теоремы Виета.
Какие есть методы решения систем уравнений?
___Графический метод, метод подстановки, метод сложения, метод замены переменной.

У: Сейчас слово предоставляется ученице, которая напомнит вам, как решить системы уравнений методом сложения и методом подстановки (приложение № 2).

IV. Выполнение практической работы

У: Давайте еще раз напомним себе, на что нужно обратить внимание, при выборе метода решения системы уравнений?

___Если в каком-либо уравнении можно выразить одну переменную, через другую, то применяем метод замены переменной. Если в уравнениях можно уравнять коэффициенты при одинаковых переменных, или эти коэффициенты с противоположными знаками, то применяем метод сложения.

У: А теперь на практике посмотрим, как вы умеете решать системы уравнений различными методами. Открываем приложение № 3, на нем задания разного уровня сложности. Каждый из вас выбирает и выполняет то задание, которое ему по силам. Желаем вам успеха!

По окончании решения к доске приглашаются ученики, первыми правильно решившие задания второго и третьего уровней сложности. Ученикам, выполнявшим задание первого уровня сложности, раздаются листы для самопроверки.

V. Промежуточный контроль

У: Мы с вами вспомнили, как можно решить аналитически системы уравнений, и потренировались в их решении. Но каким еще методом можно решить системы уравнений?

У: В чем заключается графический метод решения систем уравнений?

___Строятся графики каждого из уравнений. В зависимости от того, сколько точек пересечения имеют графики, столько решений и будет иметь система уравнений.

У: Что является решением системы в графическом методе?

___Координаты точек пересечения графиков являются решением системы.

У: Итак, вы сейчас должны будете выполнить тест по готовым чертежам на компьютере. Включаем компьютеры. На рабочем столе находится программа «ТЕСТ 1,5». Открываем её, выбираем раздел «МАТЕМАТИКА», тема «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ», и выбираем тест по номерам, написанным на ваших папках. Оценку, полученную за выполнение теста, выставите в рейтинговую таблицу.

VI. Построение графиков в microsoft excel

У: Построение графиков в EXCEL. Не всегда графики задаются по условию задач, часто приходится решать обратные задачи по заданному уравнению. Для того, чтобы правильно построить графики, давайте вспомним:

Что такое электронная таблица?

Электронная таблица – это работающее в диалоговом режиме приложение, хранящее и обрабатывающее данные в прямоугольных таблицах.

Какие действия нужно выполнить, чтобы ввести формулы?

Ввод формул

Всегда начинать ввод формул со знака =.
Составлять формулы, используя адреса ячеек и операторы.
Ввод формулы завершать щелчком нажатием клавиши .

Какие операции нужно произвести чтобы копировать формулу?

Копирование формул

Выделить ячейку с формулой.
Вывести указатель мыши в нижний правый угол ячейки, (при этом он станет чёрным плюсом)
Протащить указатель мыши при нажатой левой кнопке мыши по тем ячейкам, на которые копируем формулу.

Какие действия нужно совершить чтобы построить диаграммы?

Построение диаграмм

Выделить в таблице нужные для построения данные (если данные расположены в несмежных диапазонах удерживать нажатой клавишу ).
2. Щёлкнуть на кнопке Мастер Диаграмм .
В появившемся окне выбрать Тип и Вид диаграммы.
Выбрать, где расположены данные: в строках или столбцах.
Выбрать расположение Легенды (пояснения) и тип подписей данных.
6. Выбрать расположение диаграммы (на отдельном листе или имеющемся).

Мы повторили алгоритм построения графиков в MICROSOFT EXCEL, а теперь вы должны выполнить практическое задание, условие которого находится в ваших папках. Выбираете то задание, которое соответствует номеру вашей папки. Обратите внимание, что в рейтинговой таблице (приложение №1) это 6 этап называется построение графиков. Вы должны оценить себя, время работы 6 минут.

VII. Нестандартные методы решения систем уравнений

У: Мы рассматривали с вами системы уравнений с двумя неизвестными. Но системы уравнений могут содержать более двух неизвестных.
1)

У: Иногда системы уравнений проще решить, применяя нестандартные методы решения. Например, используя теорему Виета (приложение № 4).

У: Вначале урока говорилось, что решение систем уравнений широко применяется в различных областях, например, в физике. Вы в этом году изучали законы движения тел.

Один из учеников демонстрирует, как с помощью теоремы Виета можно решить задачу по динамике (приложение № 5, приложение № 6).

У: На практике приходится сталкиваться с движением связанных тел. Как при этом используются знания по математике (приложение № 7, приложение № 8)?

У: Слушаем учеников, которые представляют решение систем уравнений, содержащих более двух неизвестных.

VIII. Решение задач

У: Для того, чтобы убедиться, что вы владеете методами решения систем уравнений, вам предлагается выполнить самостоятельную работу в тетрадях. По окончании работы тетради сдаете на проверку. Тексты задач находятся в папках на ваших столах. Так же как и системы уравнений, задачи разного уровня сложности.

IX. Построение диаграммы в программе Рower point

У: Ребята, для того, чтобы вы смогли оценить свою работу на уроке, вы должны построить диаграмму в POWER POINT и сравнить заработанные баллы на каждом этапе урока с максимально возможными. Соответствие баллов заработанным оценкам находится в ваших рейтинговых оценках.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Матричный метод в задача физики

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений в инженерных задачах физики

Е.С. Воробейчикова ( г. Мурманск, МГТУ, кафедра ВМ и ПО ЭВМ, e — mail : elenavorobeichikova @ mail . ru )

The authors analyze possibilities of this type of the problem in the implementation of the principles of the standards of the third generation.

В жизни современного общества инженерная деятельность играет возрастающую роль. Современное общество осознает необходимость глубоких преобразований во всех сферах экономики и общественной жизни России, техническом оснащении производства, внедрении новых прогрессивных технологий, достижении высшего уровня производительности труда, увеличении выпуска высокоэффективного оборудования, обуславливает необходимость подготовки специалистов, способных эффективно решать эти задачи.

К компонентам, составляющим деятельность инженера можно отнести:

фактические знания (естественные и технические науки, инженерная технология, науки об обществе и человеке),

квалификацию (измерение, моделирование, математические знания, способы отображения, постановка экспертизы),

собственную точку зрения (объективность, творческая неудовлетворенность, чувство долга и ответственности).

Перечисленные выше компоненты, очевидно, не могут быть реализованы только в рамках высшего образования. Однако, в рамках компетенций ФГОС третьего поколения, становится возможным и необходимым внедрение таких педагогических технологий, которые могут реализовать ко мплекс педагогических условий, обеспечивающих эффективное формирование личностных качеств будущих инженеров:

обучение в рамках личностно-ориентированной среды;

усиление межпредметных связей в плане прикладной направленности процесса преподавания математики;

включение студентов в исследовательскую деятельность, направленную на овладение выпускниками умениями самостоятельно ставить и решать профессионально-творческие задачи.

Реализация комплекса таких мер становится возможной на базе преподавания математических дисциплин, поскольку качество математической подготовки является одной из важнейших составляющих образования современного инженера. [3].

Целью нашей работы является исследование возможност е й применения задач с физическим содержанием на практических занятиях по математике для демонстрации прикладного значения математики и обеспечения межпредметных связей.

“ Ч тобы показать студенту роль математики в инженерной деятельности, преподаватель должен иметь большой педагогический опыт, и хорошо разбираться в соответствующей инженерной тематике. Помочь могли бы профессионально направленные учебники и задачники по математике, но их, к сожалению, написано еще очень мало. ” [4]. Анализируя современные учебники по математическому анализу, используемые на практических занятиях в нашем ВУЗе, мы пришли к выводу о том, что в них именно задачи с физическим содержанием практически отсутствуют. Тем не менее, известным фактом остается то, что “…в методике под физической задачей понимают проблему, решаемую с помощью логических умозаключений, математических действий, эксперимента на основе законов и методов физики”[1]. Поэтому именно задачи с физическим содержанием остаются невостребованным инструментом, который тем не мене способен решать многие дидактические задачи, в том числе: формирование профессиональных компетенций, активизация мыслительной деятельности, реализация принципа политехнизма в процессе обучения, формирование научного мировоззрения будущего инженера нового поколения[5].

Ранее нами были рассмотрены возможности задач на эстремум функции одной переменной и задач с параметрами. В данной работе мы рассматриваем использование матричного метода решения систем линейных алгебраических уравнений в задачах физики. Педагогическая цель – показать студентам как используется данный математический метод при решении физических задач.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a _ij называются коэффициентами системы, числа b _i свободными членами. Подлежат нахождению числа x _n .

Такую систему удобно записать в матричной форме

Здесь A матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей :

A =

– вектор-столбец из неизвестных x _j

– вектор-столбец из свободных членов b _i

Произведение матриц определено, так как матрице A столбцов столько же, сколько строк в матрице X .

В прикладных задачах чаще встречаются системы линейных уравнений, содержащие n уравнений с n неизвестными. Такую систему можно решить методом обратной матрицы.

Задача 1. Через блок в виде диска, имеющего массу m = 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m ₁ = 100 г и m ₂ = 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы и каковы силы натяжения нити, если их предоставить самим себе?

Решение. Применим к решению задачи основные законы поступательного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести m g , направленная вниз, и сила Т натяжения нити, направленная вверх. Так как вектор ускорения а груза m ₁ направлен вверх, то Т ₁ > m ₁ g . Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение и по второму закону Ньютона

Вектор ускорения а груза m ₂ направлен вниз, следовательно, Т ₂ m ₂ g .

Согласно основному закону динамики вращательного движения, вращательный момент М , приложенный к диску, равен произведению момента имерции J диска на его угловое ускорение ε :

Определим вращательный момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона силы Т’ ₁ и Т’ ₂ , приложенные к ободу диска равны соответственно силам силы Т ₁ и Т ₂ , но по направлению им противоположны.

При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке; следовательно, Т’ ₁ > Т’ ₂ . Вращательный момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, то есть M = ( Т’ ₂ — Т’ ₁ ) r . Момент инерции диска J =( mr 2 )/2, угловое ускорение связано с линейным ε = a / r .

Мы получили систему трёх линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

Подставим численные значения

Вычислим определитель системы

Матрица коэффициентов системы

Вычислим Алгебраические дополнения A _ij :

Обратная матрица А -1 имеет вид :

Решение системы имеет вид:

[1] Арюкова, О.А. Использование математического аппарата в обучении физике студентов высших технических школ // О.А. Арюкова. – Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2007. – С. 556-557.

[2] Баракин В.В. , Веселков А.Н. Метод размерностей и экстремальные задачи по физике.// Ярославский педагогический вестник- 2010г. -№2

[3] Кинелев В.Г. Фундаментализация университетского образования// Высшее образование в России. 1994. №3

[4] Носков М.В., Шерстнева В.А. Качество математического образования инженера: традиции и инновации.// Высшее образование в России. 1999. №2

[5] Осташков В.Н. Роль исследовательских задач в обучении математике будущих инженеров// Ярославский педагогический вестник- 2011г. -№1.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Как решать задачи о физике с системой уравнений

Примеры решения задач по механике, требующих интегрирования дифференциальных уравнений

(Задачи взяты из задачника: И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», М.: Наука, 1981г., 460с.)

Задача №1. Пример задачи, приводящей к интегрированию дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону Н, где v – скорость тела в м/с, а s – пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v ₀=5 м/с.

Будем считать, что движение происходит вдоль оси 0Х, и что при t =0 тело находилось в начале координат, тогда проекция на ось 0Х силы, действующей на тело, может быть записана в виде

С учётом этого выражения, имеем следующее уравнение движения (считая массу тела m =1 кг)

, (1)

которое дополняется начальными условиями

, (2)

Решение уравнения второго порядка (1) можно свести к двум последовательным интегрированиям дифференциальных уравнений первого порядка. Чтобы получить первое уравнение, перепишем (1) в виде:

, (3)

и домножим на dt левую и правую части (3), учитывая при этом, что dx = v_xdt , получим:

, или (4)

Это уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.5) из Раздела №1 Части I ). Очевидно, что оно, дополняется начальным условием, следующим из (2):

(5)

Разделив переменные в (4), в соответствие с формулой (1.7):

вычисляя данные интегралы, получим частный интеграл уравнения (4) (в форме (В.4) из Введения к Части I ):

(6)

Выразив отсюда v_x , будем иметь частное решение уравнения (4) (в форме (В.6) из Введения к Части I ):

(7)

Заменяя теперь в (7)

мы снова получаем уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.1) из Раздела №1 Части I )

(8)

Разделяя в (8) переменные, с учётом начального условия (2), ищем частный интеграл этого уравнения (в виде (1.4) из Раздела №1 Части I ):

(9)

Вычисляя интегралы в (9), получим:

(10)

— частный интеграл уравнения (8) в форме (В.4) из Введения к Части I. Выражая отсюда x , получим частное решение уравнения (8):

, (11)

которое одновременно является и частным решением уравнения движения (1), удовлетворяющим начальным условиям (2), то есть, представляет собой закон движения тела (координата x , (или в данном случае путь), как функция времени). Таким образом, решение исходного уравнения движения второго порядка (1) в процессе решения задачи было сведено к интегрированию двух уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (4) и (8).

Задача №2. Пример задачи, приводящей к интегрированию линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса R . Какую начальную горизонтальную скорость , направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны .

Расставляем силы, действующие на тело, и записываем второй закон Ньютона:

Спроектируем данное равенство на направление движения и перпендикулярное ему. Эти направления указаны на рисунке векторами и . Таким образом, для описания движения мы используем естественный способ. В результате получим:

(1)

Здесь учтено, что центростремительное ускорение

Сделаем в первом уравнении в (1) замену переменной — перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию по углу :

(т.к. )

С учетом этой замены перепишем (1):

(2)

Домножая второе уравнение на , и вычитая из первого, получим:

(3)

Это уравнение типа (2.1) (из Раздела №2 Части I ), в котором независимой переменной вместо t является ; неизвестной функцией вместо ;

; .

Уравнение (3) дополняется начальным условием:

(4)

С учетом указанных обозначений, используя формулу (2.9) (из Раздела №2 Части I ), решение уравнения (3) можно записать в виде:

(5)

Вычисляя с помощью интегрирования по частям интервалы в (5) , окончательно получим:

(6)

По условиям задачи тело должно остановиться на поверхности; т.е. при каком-то угле .

Подставляя вместо в (6) выразим оттуда :

(7)

Значение угла можно выразить через , поскольку ;

то из уравнений (2) получим:

(8)

Отсюда: ;

(9)

;

из (7) будем иметь:

(10)

Следовательно, чтобы тело остановилось на шероховатой поверхности цилиндра, нужно, чтобы его начальная скорость не превосходила значение, определенного в (10).

Задача №3. Пример задачи, приводящей к решению линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жёсткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний.

Выберем начало координат в положении статического равновесия тела и расставим силы, действующие на тело в процессе колебаний (считаем, что тело в данный момент времени движется вверх). Если АВ обозначает длину нерастянутой пружины, то отрезок ОВ представляет статическое удлинение пружины под действием силы mg . По закону Гука mg = k × ОВ, где k — коэффициент жёсткости пружины. Записываем второй закон Ньютона:

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

, .

В результате получим уравнение колебаний

, или (1)

где , .

Уравнение (1) представляет собой однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (уравнение (1.1) Части II ). Для его решения используем схему, описанную в Разделе №1 Части II .

Составляем характеристическое уравнение:

. (2)

Вычисляем дискриминант уравнения (2):

. (3)

Поскольку в данном случае, в соответствие с условиями задачи движение тела носит колебательный (периодический) характер, то его координата должна изменяться со временем по гармоническому закону, то есть по закону косинуса или синуса. Для того же, чтобы решение уравнения (1) выражалось через данные функции, мы должны считать, что D (4)

где величины и определяются следующим образом:

, (5)

В случае отсутствия затухания (когда n =0), , и тело совершает свободные колебания с периодом с.

Если же n ¹ 0, то период колебаний, с учётом (5),:

Выражаем отсюда , и определяем постоянную демпфирования a (коэффициент пропорциональности в формуле для силы сопротивления):

Подставляя данные задачи, получим a =19 .

В соответствие со своим определением, логарифмический декремент затухания есть натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд, (то есть взятых через половину периода колебания ): . Вычисляя n и подставляя значение Т, получим =9,5.

Задача №4. Пример задачи, приводящей к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для уменьшения действия на тело массы m возмущающей силы устанавливают пружинный амортизатор с жидкостным демпфером. Коэффициент жёсткости пружины k . Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости ( ), найти максимальное динамическое давление всей системы на фундамент при установившихся колебаниях.

Направим ось 0 X вдоль направления движения, выбрав начало координат в положении статического равновесия тела. При этом считаем, что сила тяжести скомпенсирована силой статического сжатия пружины амортизатора. Записываем второй закон Ньютона:

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

, , .

В результате получим уравнение колебаний

, или , (1)

где обозначено , .

При колебаниях на фундамент действует сила, складывающаяся из силы деформации пружины и силы сопротивления, равная в соответствие с третьим законом Ньютона,

. (2)

Следовательно, для вычисления этой силы нужно знать уравнение движения тела , для чего необходимо решить уравнение (1). Поскольку в задаче рассматриваются уже установившиеся колебания, то есть рассматривается движение тела, установившееся по истечению достаточно большого промежутка времени от момента его начала. При этом тело будет совершать колебания с частотой вынуждающей силы. Поэтому мы должны найти частное решение уравнения (1), соответствующее этим вынужденным колебаниям. Для этого используем метод подбора по правой части. Представим, в соответствие с формулой (2.5) (из Раздела №2 Части II ) решение уравнения (1) в виде