Как решать задачи на сплавы с помощью рациональных уравнений

Задачи с использованием таких понятий как концентрация, процентное содержание вещества в смеси, растворе и в сплаве часто включают в экзаменационные варианты ЕГЭ и ОГЭ, в олимпиады по математике, физике и химии. В школьном курсе математики на решение таких задач отводится недостаточное количество времени. Увидев задачу на смеси, растворы и сплавы, многие учащиеся сразу отказываются ее решать. Они считают такие задачи достаточно сложными, и справиться с ними не всегда могут успешно. Существуют разные способы, и методы решения задач на смеси, растворы и сплавы. В данной работе рассмотрим алгебраический способ решения задач на смеси и сплавы , который поможет учащимся успешно решать задачи данного типа

Видео:Решение задач с помощью рациональных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Скачать:

Видео:Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать

Предварительный просмотр:

Алгебраический способ решения задач на смеси и сплавы.

Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить ее.

Без сильного желания решить трудную задачу невозможно,

Но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь !

Задачи с использованием таких понятий как концентрация, процентное содержание вещества в смеси, растворе и в сплаве часто включают в экзаменационные варианты ЕГЭ и ОГЭ, в олимпиады по математике, физике и химии. В школьном курсе математики на решение таких задач отводится недостаточное количество времени. Увидев задачу на смеси, растворы и сплавы, многие учащиеся сразу отказываются ее решать. Они считают такие задачи достаточно сложными, и справиться с ними не всегда могут успешно. Существуют разные способы, и методы решения задач на смеси, растворы и сплавы. В данной работе рассмотрим алгебраический способ решения задач на смеси и сплавы , который поможет учащимся успешно решать задачи данного типа.

Прежде всего введем основные понятия. Говоря о смесях, растворах и сплавах, будем употреблять термин «смесь» независимо от ее вида (твердая, жидкая, газообразная, сыпучая и т. д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Что есть «чистое вещество», определяется в каждой задаче отдельно, однако при этом все остальные вещества, составляющие смесь, относят к примеси.

Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы содержат в себе три основных величины 1 – масса смеси, сплава или раствора, выраженная в граммах, литрах или других мерах веса и объёма ( Mc ); 2 – масса определённого вещества в составе смеси, сплава или раствора, выраженная в граммах, литрах или других мерах веса и объёма ( Mв ); 3 – концентрация вещества в смеси, сплаве или растворе, выраженная в процентах или, чаще, дробным числом без наименования ( K ).

Все три элемента взаимосвязаны между собой формулой Мв ; К

При решении применяется закон сохранения объемов .

Если два сплава (раствора) соединяют в один сплав (раствор), то объем полученного сплава (раствора) равен сумме объемов исходных сплавов (растворов).

При решении применяется закон сохранения массы .

Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то масса полученного сплава (раствора) равна сумме масс исходных сплавов (растворов). m = m 1 + m 2

Чтобы решить задачу, надо найти план её решения. Поиск плана решения составляет центральную часть всего процесса решения. Найдя план, его осуществление уже не составляет особого труда.

Рассмотрим основные этапы решения задач на смеси и сплавы:

1. Выбор неизвестной (или неизвестных). В качестве неизвестных величин выбирают те, которые требуется найти. Но иногда целесообразно обозначать неизвестными некоторые промежуточные величины, через которые легко выражаются искомые.

2. Выбор чистого вещества. Из веществ, фигурирующих в условии задачи, выбирается одно в качестве чистого вещества. Чаще всего выбирают вещество, о котором идет речь в требовании задачи, или вещество, о концентрации которого в условии содержится больше всего информации..

3. Переход к долям. Если в задаче имеются процентные содержания. Их следует перевести в доли и в дальнейшем работать только с долями, рекомендую записывать их в виде обыкновенных дробей.

4. Отслеживание состояния смеси (сплава). На каждом этапе изменения смеси (добавление, изъятие) необходимо описывать состояние смеси с помощью трех основных величин Мв, Mс, К .

5. Составить уравнения по правилу: при объединении двух смесей/сплавов их массы складываются. Другими словами, масса полученной смеси равна сумме масс исходных смесей. Аналогично, складываются массы «чистых» веществ..

Если все сделать правильно, то получится одно-два линейных уравнения. Решаем их — получаем ответ. После того, как решите уравнение, никогда (слышите, никогда!) не записывайте ответ. Запомните:

Прежде чем записать ответ, вернитесь к задаче и еще раз прочитайте, что требуется найти. Потому что решить уравнение — это еще не значит решить текстовую задачу.

Это правило работает для всех текстовых задач. Многие ученики сосредотачиваются на решении уравнения, но совершенно забывают, что, собственно, требовалось найти. Получается, что по существу задача решена верно, а ответ — неправильный.

Самый распространенный в школе метод решения задач на смеси, растворы и сплавы с помощью составления уравнения или системы уравнений. Алгебраический способ самый универсальный. С его помощью можно решить любую задачу на смеси и сплавы. При применении данного способа необходимо составление таблицы, а по ней уже соответствующая запись уравнения или системы уравнения. Для успешного решения необходимы знания по их решению.

В процессе поиска решения этих задач полезно применить очень удобную модель и научиться пользоваться ею. Изображаем каждую смесь (сплав) в виде прямоугольника разбитого на фрагменты, Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на три фрагмента ( Мс, К, Мв ). Кроме того на модели отобразим характер операции – сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками. Поставив знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками, показывая, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Получилась схема:

Такая форма записи условия очень удобна для решения задач. По ней достаточно просто составить алгебраическую модель.

Задача. В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора.

Составим таблицу и заполним её по данным условия.

Используя закон сохранения масс, составим уравнение:

Задача . Сироп содержит 18% сахара. Сколько килограммов воды нужно добавить к 40 кг сиропа. Чтобы содержание сахара составило 15%?

Составим таблицу и заполним её по данным условия.

Используя закон сохранения масс, составим уравнение:

15 ⋅ x = 120, откуда x = 8.

Взгляните на задачи, приведенные выше: все уравнения — линейные. Никаких квадратов, никаких дискриминантов и тем более дробно-рациональных выражений. Вот почему задачи на смеси и сплавы считаются очень легкими.

Умение решать текстовые задачи свидетельствует о способности учащихся понимать текст. Поэтому решение текстовых задач — это деятельность, весьма важная для общего развития. Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся.

. Рассмотренный алгебраический способ решения задач на смешивание растворов учит детей строить цепочку логических рассуждений и является классическим, так как чаще других используется для решения.

Дидактический материал (для самостоятельного решения)

1. Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки?
2. Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?
3. Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%?
4. Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?
5. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?
6. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?
7. Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
8. В сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй процедуры.
9. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
10. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?
11. Сколько чистой воды нужно добавить к 100г 60%-го раствора кислоты, чтобы получить 30%-ный раствор?
12. К раствору, содержащему 40г соли, добавили 200г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор, и какова была в нем массовая доля соли?
13. Первый сплав состоит из цинка и меди, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?
14. Смешали некоторое количество 15%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19%-го раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
15. Смешали 30%-ый раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-го раствора. Сколько граммов 10%-го раствора было взято?
16. Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
17. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35% золота, а во втором — 60%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?
18. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%. и второго раствора этой ж кислоты концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый второй растворы?
19. Смешали 3 литра 40%-го водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 35%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
20. Смешали 8 литров 15%-го водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 40%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
21. Смешали некоторое количество 17%-го раствора некоторого вещества со втрое большим количеством 9-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
22. Смешали некоторое количество 14-процентного раствора некоторого вещества со вдвое большим количеством 8-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
23. В сосуд, содержащий 5 литров 12% водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
24. Смешали некоторое количество 15% раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
25. Смешали 4 литра 15% водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
26. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
27. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
28. Смешав 30% и 60% растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36% раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50% раствора той же кислоты, то получили бы 41% раствор кислоты. Сколько килограммов 30% раствора использовали для получения смеси?
29. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты . Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

1. Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.-2-е изд. — М.: Просвещение,1994. — 271с
2. Задачи на смеси и сплавы. Журнал «Математика в школе». №17. №11 2004г.
3. Лурье М.В., Александров Б.И . Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990г
4. Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010 (Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31 )
5. Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. Как научиться решать задачи. Кн. Для уч-ся ст. кл. сред. шк. – 3-е изд. дораб.- М.: Просвещение,1989.

Видео:8 класс, 28 урок, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуацийСкачать

Урок по теме «Задачи на растворы, смеси и сплавы». 9-й класс (алгебра)

Разделы: Математика

Класс: 9

Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.

Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборник для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (9 класс) под редакцией С.А. Шестакова. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.

Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах:

• составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;
• решения полученной модели;
• анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты:не хватает уравнения в системе и пр.).

Все сложности преодолимы при тщательном анализе задачи. Этому способствуют чертежи, схемы, таблицы и пр. Каждый учащийся сам для себя делает вывод об уровне сложности той или иной задачи и месте, где эта сложность возникает.

Основными компонентами в этих задачах являются:

• масса раствора (смеси, сплава);
• масса вещества;
• доля (% содержание) вещества.

При решении большинства задач этого вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.

Урок по решению этих задач целесообразно провести в ходе обобщающего повторения по алгебре в конце 9 класса.

Цель урока :обобщение, углубление, систематизация знаний, умений, навыков учащихся, развитие творческих способностей учащихся.

I ) Актуализация опорных знаний обучаемых.

С помощью таблицы повторить основные теоретические сведения по данной теме. При этом учащиеся составляют опорный конспект (или используют “Приложение 1”, где уже напечатаны основные теоретические сведения, тексты задач и незаполненные таблицы к задачам).

Пусть m г некоторого вещества растворяется в М г воды, тогда

— доля вещества в растворе;

— доля воды в растворе;

· 100 % — концентрация раствора, или процентное содержание вещества в растворе;

· 100% — процентное содержание воды в растворе;

При этом · 100 % + · 100% = 100%.

Примечание 1. Вместо воды можно брать любую жидкость – основание, в которой можно растворить то или иное вещество.

Примечание 2. С математической точки зрения растворы, смеси, сплавы не отличаются друг от друга. Поэтому доля или процентное содержание одного вещества в растворе, смеси, сплаве определяются по одному правилу.

Примечание 3. Вместо весовых мер веществ и воды можно брать доли или части (m_ч и М_ч ).

II) Знакомство учащихся с текстом задач и выделение основных компонентов в них.

Таблица для решения задач имеет следующий вид:

III) Решение задач.

Рассмотрим решения задач с применением таблицы.

Задача 1. В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

(кг)Масса вещества (кг)Исходный раствор80 % = 0,820,8·2Вода—3—Новый растворх % = 0,01х50,01х·5

Масса уксусной кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение:

Ответ:концентрация получившегося раствора уксусной кислоты равна 32 %.

Очень часто в жизни приходится решать следующую задачу.

Задача 2.Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г 70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?

(г)Масса вещества (г)Исходный раствор70 % = 0,72000,7·200Вода—х—Новый раствор8 % = 0,08200 + х0,08(200 + х)

Анализируя таблицу, составляем уравнение :

0,08(200 + х) = 0,7·200

Ответ :1,55 кг воды.

Задача 3. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.

(кг)Масса вещества (кг)I раствор12 % = 0,12у0,12уII раствор20 % = 0,2у0,2уСмесьх % = 0,01х2у0,01х·2у

Анализируя таблицу, составляем уравнение :

0,12у + 0,2у = 0,01х·2у

Получили уравнение с двумя переменными, учитывая, что , имеем

Ответ :концентрация раствора 16 %.

Задача 4. Смешали 8кг 18 % раствора некоторого вещества с 12 кг 8 % раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

(кг)Масса вещества (кг)I раствор18 % = 0,1880,18·8II раствор8 % = 0,08120,08·12Смесьх % = 0,01х200,01х·20

Уравнение для решения задачи имеет вид:

0,01х·20 = 0,18·8 + 0,08·12

Ответ:концентрация раствора 12 %.

Задача 5 Смешав 40 % и 15 % растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20 % раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80 % раствора той же кислоты, то получили бы 50 %-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40 % -го и 15 % растворов кислоты было смешано?

(кг)Масса вещества (кг)I раствор40 % = 0,4х0,4хII раствор15 % = 0,15у0,15уВода—3—Смесь I20 % = 0,2х + у +30,2(х + у +3)

Получаем уравнение:0,4х + 0,15у = 0,2(х + у +3)

Выполним вторую операцию:

Итак, 0,4х + 0,15у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3).

Для решения задачи получаем систему уравнений:

Решаем систему уравнений:

Ответ:3,4 кг 40 % кислоты и 1,6 кг 15 % кислоты.

Задача 6. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.

(кг)Масса вещества (кг)I сосуд70 % = 0,740,7·4=2,8II сосуд40 % = 0,460,4·6 = 2,4III сосуду % = 0,01ух0,01хуI и III сосуды55 % = 0,554+х0,55(4+х)

2,8+0,01хуII и III сосуды35 % = 0,356+х0,35(6+х)

2,4+0,01ху

Итак, получаем систему уравнений :

Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.

Задача 7. Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8 :3, а во втором — 12 :5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?

(кг)Масса вещества (кг)золотомедьвсегоЗолото

М_змедь

М_мI сплав8311121·121·121

121- М_зII сплав12517255·255255- М_зIII сплав———376Сумма I и II сплавовСумма I и II сплавов

·121 = 88 (кг) – масса золота в I сплаве

·255 = 180 (кг) масса золота в II сплаве

121+255=376 (кг) – масса III сплава

88+180=268 (кг) -масса золота в III сплаве

376-268=108 (кг) масса меди в III сплаве

Ответ :268 кг золота и 108 кг меди.

Задача 8. Одна смесь содержит вещества А и В в отношении 4 :5, а другая смесь содержит те же вещества, но в отношении 6 :7. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 5 :6.

(кг)Масса вещества (кг)АВвсегоАВI смесь459хххII смесь6713уууIII смесь56х+ ух + ух + у

По условию задачи А :В = 5 :6, тогда

В данном случае получилось одно уравнение с двумя переменными.

Решаем уравнение относительно . Получим =.

Ответ : 9 частей первой смеси и 13 частей второй смеси.

Задача 9.Из полного бака, содержащего 256 кг кислоты, отлили п кг и долили бак водой. После тщательного перемешивания отлили п кг раствора и снова долили бак водой. После того как такая процедура была проделана 8 раз, раствор в баке стал содержать 1 кг кислоты. Найдите величину п.

В этой задаче важно правильно определить и сохранить вид отдельных выражений – количество кислоты и долю кислоты в растворах, чтобы выявить закономерность.

Кроме того это должно тренировать и закреплять соответствующие модели отдельных бытовых действий.

(кг)Масса кислоты (кг)Вначале1256256После 1-го раза256256- nПосле 2-го раза256256- n-=После 3-го раза256— ·n=После 8-го раза256Аналогично, .

По условию остался 1 кг.

Составляем уравнение для решения задачи :

=1

= 1

IV) Домашнее задание: составить и решить не менее двух задач на “растворы, смеси и сплавы”.

Решение задач на “растворы, смеси и сплавы” являются хорошим накоплением опыта решения задач. В заключении очень полезно дать учащимся составить свои задачи. При этом получаются задачи и не имеющие решения, это позволяет им моделировать реальные ситуации и процессы в жизни. Такой вид работы делает мышление учащихся оперативным, воспитывает творческое отношение к тем задачам, которые ставит жизнь, учит учащихся прогнозированию.

В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений (анализ, синтез, аналогия, обобщение. конкретизация и т.д.).

Опыт показал, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к решению этих задач, в конце успешно решали и составляли сами задачи.

Крамор В.С., Лунгу К.Н. “Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры”, часть I. – М.:Аркти, 2001.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Урок математики 8 класс «Решение задач на смеси и сплавы»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Ильинская средняя общеобразовательная школа

Кологривского района Костромской области.

на смеси и сплавы»

Математика 8 класс

Тест подготовлен учителем математики Власовой Л.С.

ТЕМА урока по алгебре в 8 классе «Решение задач на смеси и сплавы»

Методическая разработка урока по математике ( алгебра — 8 класс)

Автор: Власова Людмила Сергеевна, учитель математики МОУ Ильинская средняя общеобразовательная школа.

Описание работы: Урок — практикум с использованием компьютерных технологий.

Этот материал будет полезен для учителей математики, работающих в 8-11 классах .

Вид урока: Урок — практикум с использованием компьютерных технологий.

Тип урока: урок практического применения знаний.

Цель урока: формировать умения и навыки применения полученных знаний в ходе изучения алгебры по теме «Решение задач с помощью рациональных уравнений

1. Обучение способам решения задач на вычисление концентрации растворов(сплавов).

2. Практическое применение знаний при решении задач.

3. Создание условий для развития творческих способностей и познавательной активности обучающихся.

1.Развитие навыков коммуникативного общения.

2.Воспитание чувства ответственности, трудолюбия.

3.Формирование мотивации к изучению химии и математики.

4.Формирование чувства бережного отношения к своему здоровью. На примерах показать, чем вреден алкоголь и каковы последствия его применения.

Развитие практических способностей обучающихся.

Развитие интереса к профессиям, основанным на знаниях математики.

Оборудование: мультимедиапроектор, экран, компьютер.

Словарь: пропорция, концентрация, процентное содержание, алкоголь. Учитель: «Тема нашего сегодняшнего урока – «Решение задач с помощью рациональных уравнений(систем уравнений)». В ходе урока мы с вами должны научиться составлять уравнения по условию задачи, а для решения уравнений вы будете применять известные вам способы и приемы. На этом уроке мы рассмотрим задачи на вычисление процентного содержания веществ: так называемые в математике задачи на «смеси и сплавы». Именно такие задачи вам часто приходится решать на уроках химии», а так же в Кимах по математике 9 и 11 классах в подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

С целью повторения обратимся к таким простым задачам. Условие задач приведено на экране.

Задача 1. В домашней аптечке всегда есть 3% раствор зеленки. Сколько красителя бриллиантовой зелени надо растворить в спирте, чтобы получить 10г раствора зеленки?

Понятно, 10 г раствора- это спирт и бриллиантовая зелень вместе. Для решения задачи составим соотношение. За Х г обозначим массу красителя бриллиантовой зелени.

Х г − 3%, составим и решим пропорцию

=, х=; х=0,3. Значит, в 10г 3% раствора зеленки содержится 0,3г бриллиантовой зелени. А сколько спирта в этом растворе? 10-0,3=9,7(г)

Задача 2. В 200г раствора для лечения фурункулов содержится 80 г спирта. Найдите процентное содержание спирта в этом растворе. Обозначим за Х % процентное содержание спирта.

80г − Х%; Х= (80 ∙ 100) : 200=40%. Ответ : 40%

Задача 3 .Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3, в другом отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находилось бы в отношении 5:11?

З : С = 2 : 3

По этой схеме учащиеся сразу видят уравнение х+у= 1, которое показывает массу нового сплава. Затем определяют массу золота в каждом сплаве и получают уравнение

+ у= х 1

Аналогично рассуждают о массе серебра и получают уравнение

+ у= х1

В связи с этим учащиеся записывают одну из систем:

х+у=1 х+у=1 + у= ; х 80

+ у= ; ; х 80

Решая её получаем

Х=0,125, у=0, 875 Ответ : 125 г. золота и 875г серебра

Задача4. В водный раствор спирта добавили 100 граммов воды. В результате концентрация спирта понизилась на один процент. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нем содержалось 30 г спирта.

Обозначим первоначальную массу раствора Х г. Определим концентрацию этого раствора.

30 г- А%. А% = 30∙100: Х.

После того, как добавили 100 г воды, масса раствора стала (х+100)г, спирта в этом растворе по прежнему 30г, найдем концентрацию нового раствора

30г — В%; В%= 3000 : (Х+100), зная, что В на 1% меньше, чем А, составим и решим уравнение:

. Вот у нас и получилось рациональное уравнение, решив которое, мы узнаем ответ на вопрос задачи. Учащиеся решают уравнение самостоятельно. Один из учеников решает уравнение за доской. Затем решение уравнения проверяется.

Задача 5. Два раствора, из которых первый содержал 800 г спирта, а второй 600 г спирта, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора спирта.. Определите массу первого и второго растворов, входящих в смесь, если известно, что процент содержания спирта в первом растворе на 10 больше, чем процент содержания спирта во втором растворе. 1. Выражаем массу в одних единицах. Данные внесем в таблицу

Зная, что концентрация первого раствора на 10% больше составим и решим уравнение Решив уравнение, получим 2 корня, х=20 и х=4, по условию Х

Краткое описание документа:

Этот материал будет полезен для учителей математики, работающих в 8-11 классах . Вид урока: Урок — практикум с использованием компьютерных технологий. Тип урока: урок практического применения знаний. Цель урока: формировать умения и навыки применения полученных знаний в ходе изучения алгебры по теме «Решение задач с помощью рациональных уравнений (систем уравнений)». На этом уроке мы рассмотрим задачи на вычисление процентного содержания веществ: так называемые в математике задачи на «смеси и сплавы». Именно такие задачи вам часто приходится решать на уроках химии», а так же в Кимах по математике 9 и 11 классах в подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

🌟 Видео

Решение задач с помощью рациональных уравнений. Видеоурок 20. Алгебра 8 классСкачать

Алгебра 8 класс (Урок№32 - Решение задач с помощью рациональных уравнений.)Скачать

№22 из ОГЭ. Задачи на смеси и сплавы | Математика | TutorOnlineСкачать

Алгебра 8. Урок 13 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 2)Скачать

Решение задач с помощью рациональных уравненийСкачать

Алгебра 8. Урок 14 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 3)Скачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

✓ Лайфхак: задачи на растворы/сплавы за 5-10 секунд | ЕГЭ. Задание 9. Математика | Борис ТрушинСкачать

Рациональные уравнения. ОГЭ номер 21 | ЕГЭ номер 13 | Математика | TutorOnlineСкачать

Дробно рациональное уравнение. ОГЭ математика задача 4 (тип 4) 🔴Скачать

Решение задач с помощью рациональных уравнений (урок 1))Скачать

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧАСТЬ I #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Текстовые задачи с дробно-рациональными уравнениями. Как составить уравнение по условию задачи.Скачать

Алгебра 8. Урок 15 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 4)Скачать

Решение дробных рациональных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - алгебра 8 классСкачать