Как решать уравнения в натуральных числах с двумя переменными

Видео:Математика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Уравнения в целых числах

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

и исходное уравнение примет вид

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится даже на 4. Значит,

и мы получаем уравнение

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)

Разделы: Математика

Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.

Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.

В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.

Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.

Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.

Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.

Цель урока:

повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
• воспитание познавательного интереса к учебному предмету
• формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию

Урок 1.

Ход урока.

1) Орг. момент.

2) Актуализация опорных знаний.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.

Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1

x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4

Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).

Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

3) Историческая справка

Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.

В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.

Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.

4) Изучение нового материала.

Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0

Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.

Пример: 34x – 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.

Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.

Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.

Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:

где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z

Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)

m, n, x, y Z

Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид

5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:

9x – 18y = 5

x + y= xy

Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.

Урок 2.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания

5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.

Методом подбора можно найти решение

3) Составим уравнение:

Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174

Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.

Ответ: мальчиков 4, девочек 6.

3) Изучение нового материала

Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.

I. Метод рассмотрения остатков от деления.

Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.

Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.

1. Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
2. Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
3. Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.

Ответ: где m Z.

Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.

Пример: Решить уравнения в целых числах.

Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.

y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.

y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.

y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.

Следовательно, y = 4n, тогда

4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Ответ: , где n Z.

II. Неопределенные уравнения 2-ой степени

Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.

И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Пример: Решить уравнение в целых числах.

13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Рассмотрим эти случаи

а) =>

б) =>

в) =>

г) =>

4) Домашнее задание.

Примеры. Решить уравнение в целых числах:

а)

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	не подходит	не подходит
2x = -4	не подходит	не подходит
x = -2
y = 0

б)

в)

Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?

Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?

Упражнения для тренировки.

1) Решите в целых числах.

а) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:

3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям

а) x + y = xy	(0;0), (2;2)
б)	(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2)

Число 3 можно разложить на множители:

a)

б)

в)

г)

в)	(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)	(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)	(48;0), (24;1), (24;-1)
е)	x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1	x = m: y = 2m – 1, m Z
з)	x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)	решений нет

4) Решить уравнения в целых числах

	(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5	(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3	(0;-4), (1;-2), (1;2)
	(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
	(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
	(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23)

5) Решить уравнения в целых числах.

а)	(-1;0)
б)	(5;0)
в)	(2;-1)
г)	(2; -1)

Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Неопределённые уравнения в натуральных числах

Неопределённые уравнения в натуральных числах.

ГУО”Речицкий Районный Лицей”

1.Решение уравнений методом разложения на множители…………4

2.Решение уравнений с двумя переменными (дискриминантный метод)…………………………………………………………………….11

3.Метод остатков. 13

4.Метод «бесконечного спуска». 15

Я — Слава учусь в Речицком Районном Лицее, учащийся 10 класса.

Всё начинается с идеи! Мне предложили решить уравнение с тремя неизвестными 29х+30у+31 z =366. Теперь я это уравнение расцениваю как задачу – шутку, а в первый раз поломала голову. Для меня это уравнение стало своего рода неопределенным, как его решать, каким способом.

Под неопределёнными уравнениями мы должны понимаем, что это уравнения, содержащие более одного неизвестного. Обычно, люди, которые решают эти уравнения, ищут решения в целых числах.

Решение неопределённых уравнений – это очень увлекательное и познавательное занятие, способствующее формированию у учащихся сообразительности, наблюдательности, внимательности, так же развитию памяти и ориентации, умению логически мыслить, анализировать, сопоставлять и обобщать. Общей методики я пока не нашла, но об некоторых приёмах решения таких уравнений в натуральных числах сейчас я вам расскажу.

Данная тема недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи предлагаются на олимпиадах и на централизованном тестировании. Это меня заинтересовало и увлекло настолько, что решая разные уравнения и задачи, у меня собралась целая коллекция собственных решений, которые с учителем мы разбили по методам и способам решения. И так какая же моя цель работы?

Моя цель разобрать решения уравнений с несколькими переменными на множестве натуральных чисел.

Для начала мы рассмотрим практические задачи, а после перейдем к решению уравнений.

Какова длина сторон прямоугольника, если его периметр численно равен площади?

S = ху, х€ N и у€ N

2х+2у=ху, + =

+ =

Найти способы уплаты 47 рублей, если для этого можно использовать только трёх и пятирублевые купюры.

х=1 – 3К, у= 14+5К, К€ Z

Натуральные значения х и у соответствуют К= 0, -1, -2;

Докажите, что существует решение уравнения 29х+30у+31 z =336 в натуральных числах.

В високосном году 366 дней и один месяц – 29 дней, четыре месяца — 30 дней,

7 месяцев – 31 день.

Решением является тройка (1:4:7). Это означает, что существует решение уравнения в натуральных числах.

1. Решение уравнений методом разложения на множители

1) Решите уравнение х2-у2=91 в натуральных числах

Решение 8 систем

х-у=1

х-у=91

х-у=13

х-у =7

х-у= -1

х-у = -91

х-у = -13

х-у = -7

2) Решите уравнение х3+91 =у3 в натуральных числах

Решение 8 систем

у-х=1

у-х= 91

не имеет решений в целых числах

у-х=13

не имеет решений в целых числах

Остальные 4 системы не имеют решений в целых числах. Условию удовлетворяет одно решение.

3) Решить уравнение ху=х+у в натуральных числах

Решение 2 системы

у-1= -1

у-1=1

4) Решить уравнение 2х2+5ху-12у2=28 в натуральных числах

х;у – натуральные числа; (х+4у)€ N

2х-3у=1

2х-3у =4

нет решений в натуральных числах

нет решений в натуральных числах

5) Решить уравнение 2ху= х2+2у в натуральных числах

х-2у+1= -1

(2:2)

нет решений в натуральных числах

ху( z -3)-2 x ( z -3)+ y ( z -3)-2 z +4=0

ху( z -3)-2 x ( z -3)+ y ( z -3)-2 z +6-2=0

ху( z -3)-2 x ( z -3)+ y ( z -3)-2( z -3)=2

Решение 6 систем

z -3= 1

z-3= -1

z-3= 1

z-3=2

z-3= -1

z -3=2

Рассмотрим более сложное для меня уравнение.

7) Решить уравнение х2-4ху-5у2=1996 в натуральных числах

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

х€ N , у€ N ; (х+у)€ N ; (х+у)>1

х-5у=1

х-5у=499

х-5у=4

нет решений

х-5у=988

Сделаем вывод: при решении уравнений методом разложения на множители применяются формулы сокращенного умножения, способ группировки, метод выделения полного квадрата.

2. Решение уравнений с двумя переменными (дискриминантный метод)

1)Решить уравнение 5х2+5у2+8ху+2у-2х+2=0 в натуральных числах

Д= (8у – 2)2 – 4*5*(5у2+2у+2)= 4((4у – 1)2 –5*(5у2+2у+2))

х1,2= =

Д=0, =0

Ответ: решений нет.

2) Решить уравнение 3(х2+ху+у2)=х+8у в натуральных числах

≤у≤

у€ N , у=1, 2, 3.Перебирая эти значения, имеем (1:1).

3)Решите уравнение х4-у4-20х2+28у2=107 в натуральных числах

Вводим замену : х2=а, у2=а;

а1,2=-10± +96

а1,2=10± = 10± = 10±(а-14)

Уравнение имеет вид:

х2-у2+4=1

нет решений в натуральных числах;

х2 — у2+4= -1

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

х2+у2 – 24= -1 нет решений в натуральных и целых числах Ответ: (4:3),(2:3).

При решении уравнений методом остатков очень часто используют задачи:

А) Какие остатки могут давать при делении на 3и 4?

Всё очень просто, при делении на 3 или 4 точные квадраты могут давать два возможных остатка: 0 или 1.

Б) Какие остатки могут давать точные кубы при делении на 7 и 9?

При делении на 7 могут давать остатки: 0, 1, 6; а при делении на 9: 0, 1, 8.

1) Решить уравнение х2+у2=4 z -1 в натуральных числах

Рассмотрим, какие остатки могут давать при делении на 4 левая и правая части этого уравнения. При делении на 4 точные квадраты могут давать только два различных остатка 0 и 1. Тогда х2+у2+1 при делении на 4 дают остатки 1, 2, 3, а 4 z делится без остатка.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

2) Решите уравнение 1!+2!+3!+ …+х!= у2в натуральных числах

a) Х=1, 1!=1, тогда у2=1, у=±1 (1:1)

b) х=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, то есть у2= 9, у=±3 (3:3)

c) х=2, 1!+2!= 1+2= 3, у2=3, то есть у=±

d) х=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, х=4 (нет), у2=33

e) х≥5, 5!+6!+…+х!, представим 10 n , n € N

Число, оканчивающееся цифрой 3, означает, что оно не может быть квадратом целого числа. Следовательно, х≥5, не имеет решений в натуральных числах.

3) Доказать, что нет решений в натуральных числах

Предположим, что система разрешима z 2 =2у2+1, z 2 – нечётное число

y 2 +2 m 2 +2 m , у2 – чётное число, у = 2 n , n € N

х2=8 n 3 +7, то есть х2 – нечётное число и х нечётное, х = 2 r +1, n € N

Подставим х и у в первое уравнение,

2( r 2 + r -2 n 3 )=3

Не возможно, так как левая часть уравнения делится на два, а правая не делится, значит, наше предположение не верно, то есть система не имеет решений в натуральных числах.

4. Метод бесконечного спуска

Решаем по следующей схеме:

Предположим, что уравнение имеет решение, мы строим некий бесконечный процесс, в то время как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чётном шаге закончиться.

1) Докажите, что уравнение 8х4+4у4+2 z 4 = t 4 не имеет решений в натуральных числах

Допустим, что уравнение имеет решение в целых числах, тогда следует, что

t 4 – чётное число, тогда t – тоже чётное

8х4+4у4+2 z 4 = 16t14

4х4+2у4+ z 4 = 8t14

z 4 =8t14 — 4х4 — 2у4

z 4 – чётное, тогда z =2 z 1 , z 1 € Z

4х4+2у4+16 z 4 =8t14

у4= 4t14 – 2х4 — 8 z 1 4

х – чётное, то есть х=2х, х1€ Z , тогда

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8х14+4у14+2 z 1 4 = t 1 4

И так х, у, z , t – чётные числа, тогда х1, у1, z 1 , t 1 – чётные. Тогда х, у, z , t и х1, у1, z 1 , t 1 делятся на 2, то есть , , , и , , , .

Итак, оказалось, что число, удовлетворяет уравнение; кратны 2, и сколько раз мы не делили бы их на 2, всегда будем получать числа, кратные 2. Единственное число, удовлетворяет этому условию – нуль. Но нуль не принадлежит множеству натуральных чисел.

1) Найти решения уравнения + =

=

Решение 6 систем

у-р= р

у=2р, х=2р

у=0, х=0

у=1+р, х=1+р

у-р= р2

у-р= — р2

Обычно решения неопределённых уравнений ищут в целых числах. Уравнения, в которых ищут только целочисленные решения, называют диафантовыми.

Я разобрал решения уравнений с числом неизвестных больше одного, на множестве натуральных чисел. Такие уравнения настолько разнообразны, что вряд ли существует какой-либо способ, алгоритм их решения. Решение таких уравнений требует изобретательность и способствует приобретению навыков самостоятельной работы в математики.

Я решал примеры простейшими приёмами. Простейшим приём решений таких уравнений в том, чтобы выразить одну переменную через остальные, и получится выражение, которое мы будем исследовать, с целью нахождения этих переменных, при которых оно является натуральным (целым).

При этом, используется понятия и факты, связанные делимостью, — такие, как простые и составные числа, признаки делимости, взаимно простые числа и др.

Особенно часто применяются:

1) Если произведение делится на простое число р, то хотя бы один из его сомножителей делится на р.

2) Если произведение делится на некоторое число с и один из сомножителей взаимно простое с числом с, то второй множитель делится на с.

📽️ Видео

Уравнение в натуральных числах. Задача для любителей диофантовых уравнений и олимпиадСкачать

Как решать уравнения с двумя переменными в целых числах! Лёгкий способ!Скачать

Классический способ решения Диофантовых уравнений ➜ Решите уравнение в целых числах ➜ 13x-7y=6Скачать

Решить уравнение в натуральных числах. Олимпиадная задачаСкачать

ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Уравнение с двумя неизвестными. Решить в целых числах. ЗадачаСкачать

УРАВНЕНИЕ В НАТУРАЛЬНЫХ! УСТНОЕ РЕШЕНИЕ 5-КЛАССНИКА!Скачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Алгебра 7 Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать

Как решать квадратные уравнения с двумя переменными в целых числах! Лёгкий способСкачать

9 класс, 8 урок, Уравнения с двумя переменнымиСкачать

Решить уравнение в натуральных числах. Диофантовы уравненияСкачать

Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать

Решите уравнение в натуральных числах ➜ a+b+c=abcСкачать