Как решать уравнения с тангенсом в квадрате

п.1. Решение простейших тригонометрических уравнений

Про аркфункции (обратные тригонометрические функции) и их свойства – см. §9-11 данного справочника.
Обобщим результаты решения простейших уравнений, полученные в этих параграфах.

Частные случаи, для которых запись результата отличается от общей формулы:

begin sinx=frac<sqrt>\ x=(-1)^k arcsinfrac<sqrt>+pi k=(-1)^kfracpi4+pi kLeftrightarrow left[ begin x_1=fracpi4+2pi k\ x_2=frac+2pi k end right. end

begin ctgx=3\ x=arcctg3+pi kLeftrightarrow x=arctgfrac13+pi k end

п.2. Решение уравнений с квадратом тригонометрической функции

К простейшим также можно отнести уравнения вида:

begin cos^x=frac14\ x=pm arccosfrac12+pi k=pmfracpi3+pi k end

begin tg^2x=1\ x=pm arctg1+pi k=pmfracpi4+pi k end

п.3. Различные формы записи решений

Как известно, в тригонометрии все функции связаны между собой базовыми отношениями (см. §12 данного справочника). Если нам известна одна из функций, мы можем без труда найти все остальные. Преобразования в уравнениях приводят к тому, что решение может быть записано через любую из этих функций.
Кроме того, понижение степени или универсальная подстановка (см. §15 данного справочника) приводят к увеличению или уменьшению исходного угла в 2 раза, и ответ может оказаться очень непохожим на решения, полученные другими способами для того же уравнения.

Решим уравнение (sin^2x=0,64) Для квадрата синуса решение имеет вид: begin x=pm arcsinsqrt+pi k=\ =pm arcsin0,8+pi k end На числовой окружности этому решению соответствуют 4 базовых точки, которые можно представить по-разному: begin x=pm arcsin0,8+pi k=\ =pm arccos0,6+pi k=\ =pm arctgfrac43+pi k end

Если решать уравнение с помощью формулы понижения степени, получаем: begin sin^2x=frac=0,64Rightarrow 1-cos2x=1,28Rightarrow cos2x=-0,28Rightarrow\ Rightarrow 2x=pm arccos(-0,28)+2pi kRightarrow x=pmfrac12 arccos(-0,28)+pi k end Если же решать уравнение с помощью универсальной подстановки: begin sin^2x=left(frac<2tgfrac><1+tg^2frac>right)^2=0,64Rightarrowfrac<2tgfrac><1+tg^2frac>=pm 0,8Rightarrow 1+tg^2frac=pm 2,5tgfracRightarrow\ left[ begin tg^2frac+2,5tgfrac+1=0\ tg^2frac-2,5tgfrac+1=0 end right. Rightarrow left[ begin left(tgfrac+2right)left(tgfrac+frac12right)=0\ left(tgfrac-2right)left(tgfrac-frac12right)=0 end right. Rightarrow left[ begin tgfrac=pm 2\ tgfrac=pmfrac12 end right. Rightarrow\ Rightarrow left[ begin x=pm arctg2+2pi k\ x=pm 2arctgfrac12+2pi k end right. end Таким образом, решая одно и то же уравнение, мы получаем очень разные по виду ответы. Однако, при проверке, все полученные множества решений совпадают.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнение обычным способом и с помощью универсальной подстановки. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) (sin x=frac<sqrt>)

Обычный способ: begin x=(-1)^k arcsinfrac<sqrt>+pi k=(-1)^kfracpi3 +pi k Leftrightarrow\ Leftrightarrow left[ begin x=fracpi3+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end 2 базовых точки на числовой окружности.

Универсальная подстановка: begin sinx=frac<2tgfrac><1+tg^2frac>Rightarrow 1+tg^2frac=frac<2tgfrac><sqrt/2>Rightarrow tg^2frac-frac<sqrt>tgfrac+1=0\ D=left(-frac<sqrt>right)^2-4=frac-4=frac43, tgfrac=frac<frac<sqrt>pmfrac<sqrt>>Rightarrow left[ begin tgfrac=frac<sqrt>\ tgfrac=sqrt end right. \ left[ begin frac=fracpi6+pi k\ frac=fracpi3+pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi3+2pi k\ x=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^kfracpi3+pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: ((-1)^kfracpi3+pi k)

Обычный способ: begin 2x=pm arccosfrac12+2pi kRightarrow\ x=pmfrac12left(arccosfrac12+2pi kright)=\ =pmfrac12cdotfracpi3+pi k=pmfracpi6+pi k end 4 базовых точки на числовой окружности.

Универсальная подстановка: begin cos2x=frac=frac12Rightarrow 2(1-tg^2x)=1+tg^2xRightarrow 3tg^2x=1Rightarrow tgx=pmfrac<sqrt>\ x=pmfracpi6+pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (pmfracpi6+pi k)

в) (sinleft(frac+fracpi3right)=1)
Обычный способ: begin frac+fracpi3=fracpi2+2pi kRightarrow frac=fracpi2-fracpi3+2pi k=fracpi6+2pi kRightarrow x=fracpi 3+4pi k end Одна базовая точка на числовой окружности с периодом (4pi).
Универсальная подстановка: begin sinleft(frac+fracpi3right)=frac<2tgfrac<frac+fracpi3>><1+tg^2frac<frac+fracpi3>>=1Rightarrow tg^2left(frac+fracpi6right)-2tgleft(frac+fracpi6right)-2tgleft(frac+fracpi6right)+1=0Rightarrow\ left(tgleft(frac+fracpi6right)-1right)^2=0Rightarrow tgleft(frac+fracpi6right)=1Rightarrow frac+fracpi6=frac+pi kRightarrow\ Rightarrow frac=fracpi4-fracpi6+pi kRightarrow frac=frac+pi kRightarrow x=fracpi3+4pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (fracpi3+4pi k)

г*) (tgleft(3x+fracpi3right)=0)
Обычный способ: begin 3x+fracpi3=arctg0+pi k=pi kRightarrow 3x=-fracpi3+pi kRightarrow x=-fracpi9+frac end Универсальная подстановка: begin tgleft(3x+fracpi3right)=frac<2tgfrac><1-tg^2frac>=0Rightarrow tgfrac=0Rightarrowfrac=pi kRightarrow\ Rightarrow 3x+fracpi3=2pi k=3x=-fracpi3+2pi kRightarrow=-fracpi9+frac end При использовании универсальной подстановки потеряна половина корней (период увеличился в 2 раза). Это связано с тем, что мы отбросили еще одно решение: (tgfracrightarrowinfty) — значение тангенса у асимптот. Действительно, в этом случае дробь стремится к 0, что удовлетворяет уравнению. Получаем: begin frac=fracpi2+pi kRightarrow 3x+fracpi3=pi+2pi kRightarrow 3x=frac+2pi kRightarrow x=frac+frac end Таким образом, мы получили два семейства решений: begin left[ begin x=-fracpi9+frac\ x=frac+frac end right. end Представим последовательности решений в градусах, подставляя возрастающие значения (k): begin left[ begin x=-20^+120^k=left<. -20^,100^,220^. right>\ x=40^+120^k=left<. 40^,160^,280^. right> end right. end Теперь представим полученное обычным способом решение в градусах: $$ x=-fracpi9+frac=-20^+60^k=left<. -20^,40^,100^,160^,220^,280^. right> $$ Получаем, что: begin left[ begin x=-fracpi9+frac\ x=frac+frac end right. Leftrightarrow x=-fracpi9+frac end Ответы и множества решений после учета значений у асимптот совпадают.
Ответ: (-fracpi9+frac)

Вывод: при использовании универсальной подстановки нужно быть аккуратным и помнить о возможности потерять корни. Семейство бесконечных решений для тангенса (frac=fracpi2+pi k), т.е. (x=pi+2pi k) нужно проверять как возможное решение для исходного уравнения отдельно.

При использовании универсальной подстановки можно потерять часть корней исходного тригонометрического уравнения.
Поэтому вместе с универсальной подстановкой проверяется также дополнительное возможное решение для бесконечного тангенса половинного угла: (x=pi+2pi k). begin f(sin(x), cos(x). )=0Leftrightarrow\ left[ begin fleft(tgleft(fracright)right)=0\ (?) x=pi+2pi k end right. end где слева – исходное уравнение, а справа – универсальная подстановка и дополнительное возможное (не обязательное) семейство решений.

Пример 2. Решите уравнение обычным способом и с помощью формул понижения степени. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) (sin^2x=frac34)

Обычный способ: begin x=pm arcsinsqrt+pi k=pm arcsinfrac<sqrt>+pi k=pmfracpi3+pi k end

Формулы понижения степени: begin sin^2x=frac=frac34Rightarrow 1-cos2x=frac32Rightarrow cos2x=-frac12Rightarrow\ Rightarrow 2x=pm arccosleft(-frac12right)+2pi k=pmfrac+2pi kRightarrow x=pmfracpi3+pi k end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (pmfracpi3+pi k)

Обычный способ: begin 2x=pm arccossqrt+pi k=pm 0+pi k=pi kRightarrow x=frac end Формулы понижения степени: begin cos^2 2x=frac=1Rightarrow 1+cos4x=2Rightarrow\ cos4x=1Rightarrow 4x=0+2pi k=2pi kRightarrow x=frac end

Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (frac)

Обычный способ: begin frac+fracpi3=pm arcsinsqrt+pi k=pm arcsinfrac12+pi=pmfracpi6+pi k\ frac=-fracpi3pmfracpi6+pi k= left[ begin fracpi2+pi k\ -fracpi6+pi k end right. Rightarrow x= left[ begin -pi+2pi k\ -fracpi3+2pi k end right. end

Формулы понижения степени: begin sin^2left(frac+fracpi3right)=frac<1-cosleft(2left(frac+fracpi3right)right)>=frac14Rightarrow 1-cosleft(x+fracright)=frac12Rightarrow\ Rightarrow cosleft(x+fracright)=frac12Rightarrow x+frac=pm arccosleft(frac12right)+2pi kRightarrow\ Rightarrow x=-fracpmfracpi3+2pi k= left[ begin -pi+2pi k\ -fracpi3+2pi k end right. end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: (-pi+2pi k, -fracpi3+2pi k)

Обычный способ: begin x+fracpi4=pm arctgsqrt+pi k=pmfracpi4+pi kRightarrow\ Rightarrow x=-fracpi4pmfracpi4+pi k= left[ begin -fracpi2+pi k\ pi k end right. end

Формулы понижения степени: begin cos^2left(x+fracpi4right)=frac<1+underbrace_>=frac12\ cos^2left(x+fracpi4right)=frac=frac12 Rightarrow cosleft(2x+fracpi2right)=0Rightarrow\ Rightarrow -sin2x=0Rightarrow sin2x=0 Rightarrow 2x=pi kRightarrow x=frac end Из чертежа видно, что begin left[ begin -fracpi2+pi k\ pi k end right. Leftrightarrow x=frac end Оба решения соответствуют 4 базовым точкам на числовой окружности через каждые 90°. Множества решений совпадают. Ответы не совпадают, но являются равнозначными.
Ответ: (frac)
Вывод: формулы понижения степени не расширяют и не урезают множество корней исходного уравнения. Полученные ответы либо совпадают, либо нет, но всегда являются равнозначными.

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Как решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным — примеры

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Основные понятия по теме

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения с неизвестной, которая расположена строго под знаком тригонометрической функции.

Квадратные тригонометрические уравнения являются такими уравнениями, которые имеют вид:

a sin 2 x + b sin x + c = 0

Здесь a отлично от нуля.

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, обладают следующими признаками:

1. Наличие в уравнении тригонометрических функций от одного аргумента, либо таких, которые можно просто свести к одному аргументу.
2. Присутствие в уравнении единственной тригонометрической функции, либо все функции можно свести к одной.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Правила решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным

Рассмотрим случай, когда преобразованное уравнение записано таким образом:

a f 2 ( x ) + b f ( x ) + c = 0

При этом а отлично от нуля, f ( x ) является одной из функций sin x , cos x , tg x , ctg x .

Тогда данное уравнение путем замены f ( x ) = t сводится к квадратному уравнению.

Существует ряд правил, позволяющих решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Данная информация будет полезна при выполнении самостоятельных работ и практических заданий в десятом классе.

sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α · ctg α = 1 tg α = sin α cos α ctg α = cos α sin α 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α ▸

Формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α sin α cos α = 1 2 sin 2 α cos 2 α = 2 cos 2 α — 1 cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α tg 2 α = 2 tg α 1 — tg 2 α ctg 2 α = ctg 2 α — 1 2 ctg α ▸

Последовательность действий при решении тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:

• выражение одной тригонометрической функции с помощью другой путем применения основных тождеств;
• выполнение подстановки;
• преобразование уравнения;
• введение обозначения, к примеру, sin x = y;
• решение квадратного уравнения;
• обратная замена;
• решение тригонометрического уравнения.

Рассмотрим решение тригонометрического уравнения:

6 cos 2 x — 13 sin x — 13 = 0

cos 2 α = 1 — sin 2 α

В результате уравнение преобразуется таким образом:

6 sin 2 x + 13 sin x + 7 = 0

Заменим sin x на t. Зная, что ОДЗ синуса sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , запишем, t ∈ [ — 1 ; 1 ] . Тогда:

6 t 2 + 13 t + 7 = 0

Заметим, что t 1 не соответствует условиям. Выполним обратную замену и получим решение уравнения:

sin x = — 1 ⇒ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ .

Разберем другой пример:

5 sin 2 x = cos 4 x — 3

Воспользуемся уравнением двойного угла для косинуса:

cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α

cos 4 x = 1 — 2 sin 2 2 x

Подставим значения и преобразуем уравнение:

2 sin 2 2 x + 5 sin 2 x + 2 = 0

Заменим sin 2 x на t. Зная, что ОДЗ для синуса sin 2 x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно записать:

2 t 2 + 5 t + 2 = 0

Заметим, что t 1 является посторонним, так как не соответствует условию. Путем обратной замены получим:

sin 2 x = — 1 2 ⇒ x 1 = — π 12 + π n , x 2 = — 5 π 12 + π n , n ∈ ℤ .

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

Примеры решения задач с пояснениями

Найти корни уравнения:

tg x + 3 ctg x + 4 = 0

При tg x · ctg x = 1 имеем, что:

Заменим tg x на t. Зная, что ОДЗ тангенса tg x ∈ ℝ , запишем:

t + 3 t + 4 = 0 ⇒ t 2 + 4 t + 3 t = 0

Вспомним, что дробь может обладать нулевым значением при нулевом числителе и знаменателе, отличном от нуля. В результате:

Путем обратной замены получим:

Ответ: x = — arctg 3 + π n , x = — π 4 + π n , n ∈ ℤ .

Решить тригонометрическое уравнение на интервале ( — π ; π ) :

2 sin 2 x + 2 sin x — 2 = 0

Заменим sin x на t. В результате уравнение преобразуется:

2 t 2 + 2 t — 2 = 0

Определим дискриминант уравнения:

Таким образом, корни равны:

Исходя из того, что t = sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно сделать вывод о лишнем корне t 2 . В результате:

sin x = 2 2 ⇔ x = π 4 + 2 π n

x = 3 π 4 + 2 π m , n , m ∈ ℤ .

Выполним проверку корней на соответствие условиям задания:

— π π 4 + 2 π n π ⇔ — 5 8 n 3 8 ⇒ n = 0 ⇒ x = π 4 .

— π 3 π 4 + 2 π m π ⇔ — 7 8 m 1 8 ⇒ m = 0 ⇒ x = 3 π 4 .

Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π n ; 3 π 4 + 2 π m ; n , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу π 4 ; 3 π 4 .

Дано тригонометрическое уравнение, которое нужно решить на отрезке ( 0 ; π ) :

2 sin 2 x + 2 = 5 sin x

Заметим, что область допустимых значений определяет х как произвольное число. Перенесем члены в левую часть:

2 sin 2 x + 2 — 5 sin x = 0

Данное уравнение является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. Тогда уравнение будет преобразовано таким образом:

2 t 2 — 5 t + 2 = 0

Исходя из того, что sin x ≤ 1 , sin x = 2 является лишним корнем. Таким образом:

Решениями sin x = a являются:

x = arcsin a + 2 π k

x = π — arcsin a + 2 π k

Здесь k ∈ ℤ . В результате, корнями уравнения sin x = 0 , 5 являются:

x = 5 π 6 + 2 π k

Определим, какие корни соответствуют интервалу:

0 π 6 + 2 π k π ⇔ — π 6 2 π k 5 π 6 ⇔ — 1 12 k 5 12

Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае из этих корней подходящими являются лишь те, что соответствуют условию k = 0:

Рассмотрим другие решения:

0 5 π 6 + 2 π k π ⇔ — 5 π 6 2 π k π 6 ⇔ — 5 12 k 1 12

Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае выберем решение при k = 0:

Ответ: корни уравнения π 6 + 2 π k , 5 π 6 + 2 π k , при k ∈ ℤ ; решения, соответствующие интервалу π 6 , 5 π 6 .

Решить уравнение на промежутке [ π ; 3 π ) :

ctg 2 x + 1 cos x — 11 π 2 — 1 = 0

Вспомним формулу приведения:

cos x — 11 π 2 = — sin x

Также пригодится формула:

ctg 2 x + 1 = 1 sin 2 x

1 sin 2 x — 1 — 1 sin x — 1 = 0 ⇔ 1 sin 2 x — 1 sin x — 2 = 0

Заменим 1 sin x на t. В результате:

Путем обратной замены получим:

sin x = — 1 ⇔ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ sin x = 1 2 ⇔ x = π 6 + 2 π k ; x = 5 π 6 + 2 π m , k , m ∈ ℤ .

Определим подходящие решения:

Ответ: корни уравнения — π 2 + 2 π n ; π 6 + 2 π k ; 5 π 6 + 2 π m ; n , k , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу 3 π 2 ; 13 π 6 ; 17 π 6 .

Определить корни уравнения на отрезке ( π ; 2 π ) :

cos ( 2 x ) + 3 2 sin x = 3

Область допустимых значений предусматривает произвольные значения для х. На первом этапе следует преобразовать уравнение с помощью формулы косинуса двойного угла и перенести члены уравнения в левую сторону:

1 — 2 sin 2 x + 3 2 sin x — 3 = 0 ⇔ 2 sin 2 x — 3 2 sin x + 2 = 0

Заметим, что в результате получено уравнение, которое является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. В результате:

2 t 2 — 3 2 t + 2 = 0

t 1 , 2 = 3 2 ± 2 4

Исходя из того, что sin x ≤ 1 , делаем вывод о лишнем корне sin x = 2 . В результате:

Решения для уравнения sin x = a следующие:

x = arcsin a + 2 π k

x = π — arcsin a + 2 π k

Здесь k ∈ ℤ . В результате получим следующие решения для sin x = 2 2 :

x = 3 π 4 + 2 π k

Определим подходящие корни:

π π 4 + 2 π k 2 π ⇔ 3 π 4 2 π k 7 π 4 ⇔ 3 8 k 7 8

Заметим, что k ∈ ℤ . Тогда указанные корни не соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .

Определим корни, которые подходят к задаче:

π 3 π 4 + 2 π k 2 π ⇔ π 4 2 π k 5 π 4 ⇔ 1 8 k 5 8

Зная, что k ∈ ℤ , можно сделать вывод об отсутствии корней, которые соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .

Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π k , 3 π 4 + 2 π k , где k ∈ ℤ , решения, соответствующие интервалу, отсутствуют.

Требуется найти решения тригонометрического уравнения:

3 tg 4 2 x — 10 tg 2 2 x + 3 = 0

Корни нужно записать в соответствии с интервалом — π 4 ; π 4

Область допустимых значений в данном случае:

Заменим tg 2 2 x на t, при t ⩾ 0 . Уравнение будет преобразовано таким образом:

3 t 2 — 10 t + 3 = 0

Путем обратной замены получим:

Можно сделать вывод о выполнении условия относительно области допустимых значений при найденных значениях х . Тогда остается отобрать нужные корни:

— π 4 π 6 + π 2 n 1 π 4 ⇒ — 5 6 n 1 1 6 ⇒ n 1 = 0 ⇒ x = π 6

Вычислим еще три решения, которые включены в заданный интервал:

x = — π 12 ; — π 6 ; π 12 .

Ответ: корнями уравнения являются ± π 6 + π 2 n , ± π 12 + π 2 m , n , m ∈ ℤ , из них соответствуют промежутку — π 6 ; — π 12 ; π 12 ; π 6 .

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсом и котангенсом

Чтобы уверенно решать простейшие уравнения с тангенсом или котангенсом нужно знать значения стандартных точек на круге и стандартные значения на осях тангенсов и котангенсов (если в этом материале есть пробелы, читайте « Как запомнить тригонометрический круг »).

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Алгоритм решения простейших уравнений с тангенсом

Давайте с вами рассмотрим типичное уравнение, например, (tg⁡x=sqrt).

Пример. Решить уравнение (tg⁡x=sqrt).

Чего от нас здесь хотят? Чтобы мы написали все такие значения угла в Пи, для которых тангенс равен корню из трех. Причем написать надо именно все такие углы. Давайте нарисуем тригонометрический круг и ось тангенсов…

…и обозначим то место на оси, куда мы должны попасть в итоге.

Теперь найдем через какие точки на окружности мы должны идти, чтобы попасть в этот самый корень из трех –проведем прямую через начало координат и найденную точку на оси тангенсов.

Точки найдены. Давайте подпишем значение одной из них…

…и запишем окончательный ответ – все возможные варианты значений в Пи, находящиеся в отмеченных точках: (x=frac+πn), (n∈Z).

Замечание. Вы, наверно, обратили внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом , здесь записывается только одна серия корней, причем в формуле добавляется (πn), а не (2πn). Дело в том, что в любом уравнении с тангенсом решением получаются две точки на окружности, которые находятся друг от друга на расстоянии (π). Благодаря этому значение обеих точек можно записать одной формулой в виде (x=t_0+πn), (n∈Z).

Пример. Решить уравнение (tg⁡x=-1).

Итак, окончательный алгоритм решения подобных задач выглядит следующим образом:

Шаг 1. Построить окружность, оси синусов и косинусов, а также ось тангенсов.

Шаг 2. Отметить на оси тангенсов значение, которому тангенс должен быть равен.

Шаг 3. Соединить прямой линией центр окружности и отмеченную точку на оси тангенсов.

Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.

Шаг 5. Записать ответ используя формулу (x=t_0+πn), (n∈Z) (подробнее о формуле в видео), где (t_0) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4.

Специально для вас мы сделали удобную табличку со всеми шагами алгоритма и разными примерами к нему. Пользуйтесь на здоровье! Можете даже распечатать и повесить на стенку, чтоб больше никогда не ошибаться в этих уравнениях.

Видео:Решение уравнений вида tg x = a и ctg x = aСкачать

Алгоритм решения простейших уравнений с котангенсом

Сразу скажу, что алгоритм решения уравнений с котангенсом почти такой же, как и с тангенсом.

Шаг 1. Вопрос у нас практически тот же – из каких точек круга можно попасть в (frac<sqrt>) на оси котангенсов?
Строим круг, проводим нужные оси.

Теперь отмечаем на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен…

…и соединяем центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.

По сути точки найдены. Осталось записать их все. Вновь определяем значение в одной из них…

…и записываем окончательный ответ по формуле (x=t_0+πn), (n∈Z), потому что у котангенса период такой же как у тангенса: (πn).

Кстати, вы обратили внимание, что ответы в задачах совпали? Здесь нет ошибки, ведь для любой точки круга, тангенс которой равен (sqrt), котангенс будет (frac<sqrt>).

Разберем еще пример, а потом подведем итог.

Пример. Решить уравнение (ctg⁡x=-1). Здесь подробно расписывать не буду, так как логика полностью аналогична вышеизложенной.

Итак, алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений с котангенсом:

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов, а также ось котангенсов.

Шаг 2. Отметить на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен.

Шаг 3. Соединить центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.

Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.

Шаг 5. Записать ответ используя формулу (x=t_0+πn), (n∈Z), где (t_0) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4. И табличка в награду всем дочитавшим до этого места.

Примечание. Возможно, вы обратили внимание, что при решении примеров 2 и 3 в обеих табличках мы использовали функции (arctg) и (arcctg). Если вы не знаете, что это – читайте эту статью.

💥 Видео

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

Тангенс равен -1? / Тригонометрические уравнения / ПРОФИЛЬ ЕГЭ #77376Скачать

Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Тригонометрические функции, y=tgx и y=ctgx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Тригонометрия | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

СИНУС КОСИНУС ТАНГЕНС угла 10 класс РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВСкачать

Как решать тригонометрическое уравнение tgx=ctgx Уравнение с тангенсом и котангенсом ОДЗ в уравненииСкачать