Про уравнения - легко » Статьи

Как решать уравнения с производными

Обновлено
Найти производную: алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Как решать уравнения с производными.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Как решать уравнения с производными.

Пример 2. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Как решать уравнения с производными

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Содержание
  1. Таблица производных простых функций
  2. Правила дифференцирования
  3. Пошаговые примеры — как найти производную
  4. Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения
  5. Продолжаем искать производные вместе
  6. Примеры решения производных с ответами
  7. Алгоритм решения производных
  8. Примеры решений производных
  9. Производная
  10. Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профильной)
  11. Основные правила дифференцирования
  12. Физический смысл производной
  13. Геометрический смысл производной
  14. 📹 Видео

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200. ), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень частоКак решать уравнения с производными
2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса». Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолгоКак решать уравнения с производными
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.Как решать уравнения с производными
4. Производная переменной в степени -1Как решать уравнения с производными
5. Производная квадратного корняКак решать уравнения с производными
6. Производная синусаКак решать уравнения с производными
7. Производная косинусаКак решать уравнения с производными
8. Производная тангенсаКак решать уравнения с производными
9. Производная котангенсаКак решать уравнения с производными
10. Производная арксинусаКак решать уравнения с производными
11. Производная арккосинусаКак решать уравнения с производными
12. Производная арктангенсаКак решать уравнения с производными
13. Производная арккотангенсаКак решать уравнения с производными
14. Производная натурального логарифмаКак решать уравнения с производными
15. Производная логарифмической функцииКак решать уравнения с производными
16. Производная экспонентыКак решать уравнения с производными
17. Производная показательной функцииКак решать уравнения с производными

Видео:4. Вычисление производных примеры. Самое начало.Скачать

4. Вычисление производных примеры. Самое начало.

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разностиКак решать уравнения с производными
2. Производная произведенияКак решать уравнения с производными
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множительКак решать уравнения с производными
3. Производная частногоКак решать уравнения с производными
4. Производная сложной функцииКак решать уравнения с производными

Правило 1. Если функции

Как решать уравнения с производными

дифференцируемы в некоторой точке Как решать уравнения с производными, то в той же точке дифференцируемы и функции

Как решать уравнения с производными

Как решать уравнения с производными

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

Как решать уравнения с производными

Правило 2. Если функции

Как решать уравнения с производными

Как решать уравнения с производными

дифференцируемы в некоторой точке Как решать уравнения с производными, то в то же точке дифференцируемо и их произведение

Как решать уравнения с производными

Как решать уравнения с производными

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Как решать уравнения с производными

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Как решать уравнения с производными

Правило 3. Если функции

Как решать уравнения с производными

Как решать уравнения с производными

дифференцируемы в некоторой точке Как решать уравнения с производнымии Как решать уравнения с производными, то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

Как решать уравнения с производными

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций».

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u‘v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде Как решать уравнения с производными, то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же перед Вами задача вроде Как решать уравнения с производными, то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Как решать уравнения с производными

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Как решать уравнения с производными

Как решать уравнения с производными

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Как решать уравнения с производными

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 4. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Как решать уравнения с производными

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Как решать уравнения с производными

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, Как решать уравнения с производными, то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде Как решать уравнения с производными, то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций».

Пример 5. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Как решать уравнения с производными

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 6. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Как решать уравнения с производными

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на Как решать уравнения с производными:

Как решать уравнения с производными

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Видео:Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.schoolСкачать

Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.school

Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 7. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными.

Пример 8. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными.

Пример 9. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными, где a и b — константы.

Пример 10. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными.

Пример 11. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными.

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Видео:Вычисление производных. 10 класс.Скачать

Вычисление производных. 10 класс.

Продолжаем искать производные вместе

Пример 12. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных — под номером 3), получим

Как решать уравнения с производными.

Пример 13. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Как решать уравнения с производными

Пример 14. Найти производную функции

Как решать уравнения с производными

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Как решать уравнения с производными

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Как решать уравнения с производными

Пример 15.Найти производную функции

Как решать уравнения с производными

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Как решать уравнения с производными

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных — номер 5):

Как решать уравнения с производными

Шаг3. В частном знаменатель — также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

Как решать уравнения с производными

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя — это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Как решать уравнения с производными

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

Как решать уравнения с производными,

а производная, требуемая в условии задачи:

Как решать уравнения с производными

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного — в статьях «Производная произведения и частного функций» и «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

Примеры решения производных с ответами

Простое объяснение принципов решения производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Алгоритм решения производных

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

  1. Как решать уравнения с производными
  2. Как решать уравнения с производными
  3. Как решать уравнения с производными
  4. Как решать уравнения с производными
  5. Как решать уравнения с производными
  6. Как решать уравнения с производными
  7. Как решать уравнения с производными
  8. Как решать уравнения с производными
  9. Как решать уравнения с производными
  10. Как решать уравнения с производными0, c neq 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»219″ style=»vertical-align: -5px;» />
  11. Как решать уравнения с производными0, c neq 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»180″ style=»vertical-align: -5px;» />
  12. Как решать уравнения с производными
  13. Как решать уравнения с производными
  14. Как решать уравнения с производными
  15. Как решать уравнения с производными
  16. Как решать уравнения с производными
  17. Как решать уравнения с производными
  18. Как решать уравнения с производными
  19. Как решать уравнения с производными
  20. Как решать уравнения с производными
  21. Как решать уравнения с производными
  22. Как решать уравнения с производными
  23. Как решать уравнения с производными

Как решать уравнения с производными– производная суммы (разницы).

Как решать уравнения с производными– производная произведения.

Как решать уравнения с производными– производная частного.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Видео:Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.

Примеры решений производных

Задача

Найти производную функции Как решать уравнения с производными

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

Как решать уравнения с производными

Ответ

Как решать уравнения с производными

Задание

Найти производную функции Как решать уравнения с производными

Решение

Обозначим Как решать уравнения с производными, где Как решать уравнения с производными. Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:
Как решать уравнения с производными

Ответ

Как решать уравнения с производными

Задача

Найти производную функции Как решать уравнения с производнымипри Как решать уравнения с производными.

Решение

Как решать уравнения с производными.
Как решать уравнения с производными.

Ответ

Как решать уравнения с производными.

Задача

Найти производную функции Как решать уравнения с производными.

Решение

Как решать уравнения с производными.
После приведения подобных членов получаем:
Как решать уравнения с производными.

Ответ

Задача

Найти производную функции Как решать уравнения с производными.

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы Как решать уравнения с производными. Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
Как решать уравнения с производными.

Ответ

Как решать уравнения с производными.

Задача

Найти производную функции Как решать уравнения с производными.

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
Как решать уравнения с производными
Как решать уравнения с производными.
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
Как решать уравнения с производными.
Учитывая, что Как решать уравнения с производнымии Как решать уравнения с производными, после упрощения получим:
Как решать уравнения с производными.

Ответ

Как решать уравнения с производными.

Задача

Найти производную функции Как решать уравнения с производными.

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
Как решать уравнения с производными.

Ответ

Как решать уравнения с производными.

Задача

Найти производную функции Как решать уравнения с производными.

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
Как решать уравнения с производными.

Ответ

Как решать уравнения с производными.

Задача

Найти производную функции Как решать уравнения с производными.

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
Как решать уравнения с производными.

Ответ

Как решать уравнения с производными.

Задача

Найти производную функции Как решать уравнения с производными.

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием Как решать уравнения с производными, производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
Как решать уравнения с производными.

Ответ

Как решать уравнения с производными.

Видео:Решение уравнений и неравенств с производнойСкачать

Решение уравнений и неравенств с производной

Производная

Видео:Дифференциал функцииСкачать

Дифференциал функции

Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профильной)

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

ФункцияПроизводная
$c$$0$
$x$$1$
$x^n$$nx^$
$/$$-/$
$√x$$/$
$e^x$$e^x$
$lnx$$/$
$sinx$$cosx$
$cosx$$-sinx$
$tgx$$/$
$ctgx$$-/$

Видео:11. Производная неявной функции примерыСкачать

11. Производная неявной функции примеры

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+/$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

2. Производная произведения

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

3. Производная частного

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

Видео:Простейшие уравнения в частных производныхСкачать

Простейшие уравнения в частных производных

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

Видео:Геометрический смысл производной | КасательнаяСкачать

Геометрический смысл производной | Касательная

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

Следовательно, можем составить общее равенство:

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

📹 Видео

Уравнения в частных производных первого порядка| poporyadku.schoolСкачать

Уравнения в частных производных первого порядка| poporyadku.school

ЗАЧЕМ НУЖНЫ ЭТИ... производные! Математика на QWERTY.Скачать

ЗАЧЕМ НУЖНЫ ЭТИ... производные! Математика на QWERTY.

Урок 323. Применение производной в задачах физики - 1Скачать

Урок 323. Применение производной в задачах физики - 1

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производнойСкачать

ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производной
Поделиться или сохранить к себе: