Разделы: Математика
Цель урока: Научить учащихся решать уравнения с модулем, содержащих параметры, графическим способом.
Задачи:
- Развивать представление учащихся о разных видах уравнений, способах их решения.
- Развивать исследовательские навыки обучающихся, умение анализировать, рассматривать все возможные случаи при решении заданий.
- Развивать логическое мышление.
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран, шаблоны графиков функции у = |х|.
- Повторение.
- Графическое решение уравнений, содержащих модуль.
- Графическое решение уравнений с модулем, содержащих параметры.
- Итог урока.
- Домашнее задание.
Эпиграф к уроку
«Математика — это инструмент, специально приспособленный для работы с отвлеченными понятиями всех типов:». П.Дирак.
| Учитель | Ученик |
| — Великий французский физик Поль Дирак сказал: «Математика — это инструмент, специально приспособленный для работы с отвлеченными понятиями всех типов:» | |
| — Таким отвлеченным понятием для многих может послужить — понятие модуля и параметров. | |
| — Для успешного решения заданий мы вспомним, что такое модуль числа, каков график функции у = │х│? Рассмотрим решение уравнений с таким понятием, как параметр, с использованием специального математического приема — построение графиков функции. | |
| — Что значит решить уравнение? | Решить уравнение — это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное равенство. |
| — Какие способы решения уравнений вы знаете и используете при решении? | Аналитический, графический способы и способ подбора. |
| — Для решения уравнений графическим способом необходимо: |
1. Определить какие функции заданы в уравнении.
2. Построить графики этих функций.
3. Найти по графику точки пересечения, определить их абсциссы, это и будут корни уравнения, если таких точек нет, то уравнение не имеет решений.
0 и у = -х , при х 0, то х = а , х = —а
у = │х — 2│+ │х — 3│ и у = р.
Для построения графика функции
у = │х — 2│+ │х — 3│ найдем нули подмодульных выражений.
х- 2 = 0 и х -3 = 0
Рассмотрим, как поведет себя функция на промежутках: (- 
; 2); 
; (3; +).
На промежутке (- ; 2); функция принимает вид у = — 2х + 5,
на промежутке [2;3]: у = 1,
на промежутке (3; +) : у = 2х — 5
Ответ: при р 1.
│х — 1│ +│х — 2│ = ах + в.
у= │х — 1│ +│х — 2│ и у = ах + в.
По чертежу определим при каких значениях а и в график функции
у= │х — 1│ +│х — 2││ и у = ах + в совпадают.
Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
Графический метод в задачах с параметром
Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.
Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной (f(x)=0). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции (y=f(x)). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось (х)) и будут решениями нашего уравнения.
Или рассмотрим уравнение (f(x)=g(x)). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций (y=f(x)) и (y=g(x)), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.
Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.
Решить графическим методом уравнение (x^2+3x=5x+3).
Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций (y=x^2+3x) и (y=5x+3). См. рис.1.
(y=5x+3) – красный график; (y=x^2+3x) – синий график.
Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках ((-1;2)) и ((3;18)). Таким образом, решением нашего уравнения будут: (_=-1; _=3).
Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными (f(x,y)=0). Решением этого уравнения будет множество пар точек ((x,y)), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости ((xOy)). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую ((x,y=f(x))) или ((x=f(y),y)).
В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение (2x-5y=10). (1) Выражаем (x=frac) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):
Видео:Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Графический методСкачать
Графический метод решения задач с параметрами
Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.
Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.
Вот список тем, которые стоит повторить:
1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».
Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.
Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).
1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
В первом уравнении выделим полный квадрат:
Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.
Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.
Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.
Кроме того, точка не должна лежать на прямой , которая пересекает окружность в точках и Координаты этих точек легко найти, подставим в уравнение окружности.
Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.
2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.
Уравнение равносильно системе:
Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).
Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.
Приводим подобные слагаемые в уравнении.
Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:
Решим систему графически:
Уравнение задает окружность с центром в точке , где радиус
Неравенство задает полуплоскость, которая расположена выше прямой , вместе с самой этой прямой.
Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением
Пусть С — точка касания.
На координатной плоскости отметим точки и , в которых прямая пересекает оси Y и Х.
Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.
Решая это уравнение, получаем, что
3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.
График уравнения — окружность с центром и радиусом равным 2.
График уравнения — две симметричные окружности и радиуса 2 c центрами в точках и
Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.
Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.
Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности или только правой
Если a — радиус окружности , то это значит, что (только правая) или (только левая).
Пусть А — точка касания окружности и окружности
, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),
В — точка касания окружности и окружности
длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:
Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:
, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.
Аналогично, для точки D:
и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.
4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?
Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)
И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!
Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.
Сделаем замену Система примет вид:
Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах
Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и
Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.
Когда же система имеет ровно 4 решения?
1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.
Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит, 
Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то
При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда
Мы получили ответ:
2) Есть второй случай, и мы его найдем.
Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав , окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.
Пусть радиус окружности больше, чем , но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.
Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.
А что, если ? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!
Значит, Объединим случаи и запишем ответ:
Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.
📹 Видео
Как решать уравнение с параметром и модулем ★ Решите уравнение: x-|x|=aСкачать
Задачи с параметром. Урок 17. Линейное уравнение с модулем. Графический метод решения.Скачать
#9. КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ? ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД!Скачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Графическое решение уравнения с модулем и параметром. @vmestezno200Скачать
Задачи с параметром. Урок 18. Графическое решение линейного уравнения с модулями.Скачать
Сможешь решить уравнение с параметром? Что делать с модулем и при чем тут гипербола?Скачать
#12. Крутое уравнение с параметром и модулем из ЕГЭ!Скачать
Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать
✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive #041 | Борис ТрушинСкачать
Уравнение с параметром. Графический метод решения (пример)Скачать
Уравнение с параметром, графическое решениеСкачать
Задачи с параметрами - 1 | Подготовка к ЕГЭ | Графики с модулемСкачать
Задачи с параметром. Графические метод решения в системе xOa || ЕГЭ 2022 || Задание №17Скачать
#11. Как решать системы уравнений с параметром графически?Скачать
✓ Четыре способа решить параметр с модулем | ЕГЭ-2018. Задание 17. Математика | Борис ТрушинСкачать
ОГЭ Задание 23 Графический способ решения уравнения с параметромСкачать
