Как решать уравнения с параметром и двумя модулями (3 видео)

Как решать уравнения с параметром и двумя модулями

Содержание

§ 3. Решение систем с параметром и с модулями
Решение уравнений с модулями и параметрами
Презентация к уроку
Уравнения с параметром, содержащие модуль
📽️ Видео

§ 3. Решение систем с параметром и с модулями

В данном параграфе мы познакомимся со способами решения систем двух линейных уравнений с модулями.

Решите систему уравнений $$ left<beginleft|x-yright|=5,\ 3x+2y=10.endright.$$

Модуль в уравнении `|x-y|=5` можно «раскрыть», пользуясь определением модуля числа:

$$left|x-yright|=left<beginx-y,;mathrm;x-ygeq0,\y-x,;mathrm;x-y =0` записывается в виде `x-y=5`, а при `x-y =0`, система имеет вид:

Итак, `x=5`, `y=0`, условие `x-y>=0` выполняется. Значит, найденные пары чисел является решением исходной системы.

2 случай. Если `x-y =0`, `y>=0`;

4) `x =0`, `y>=0`, система имеет вид:

Оба полученные значения удовлетворяют заданным условиям: `1,5>=0`, `0>=0`.

2 случай. `x>=0`, `y =0`.

3 случай. `x =0` система имеет вид:

Первое уравнение не имеет решения, так как сводится к равенству `0=6`, значит система не имеет решений.

4 случай. `x -5/2`, то `|y+5/2|=y+5/2`; если `y то `|y+5/2|=-y-5/2`.

Выражение `y-1=0`, если `y=1`.

Если `y>1`, то `|y-1|=y-1`, а если `y =1`, то `|y-1|=y-1` и `|y+5/2|=y+5/2`, получаем уравнение:

Тогда `x=1/3(2*2+5)=3`. Число `2>1`, так что пара `(3;2)` является решением системы.

Пусть теперь `-5/2 хождения `y` получаем уравнение

Число `8/13` больше `(-5/2)`, но меньше, чем `1`, поэтому пара чисел `(27/13;8/13)` является решением системы.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Решение уравнений с модулями и параметрами

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (434 кБ)

Цель урока. Решение уравнений с параметрами и модулями, применяя свойства функций в неожиданных ситуациях и освоение геометрических приемов решения задач. Нестандарные уравнения.

Задачи:

Образовательные: научить решать некоторые виды уравнений уравнений модулями и параметрами;
Развивающие: развивать культуру мысли, культуру речи и умение работать с тетрадью и доской.
Воспитательные: воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.

Оборудование: наглядный материал для устного счёта и объяснения новой темы. Интерактивная доска, мультимедийное оборудование урока.

Структура урока:

Повторение изученного материала (устный счёт).
Изучение нового материала.
Закрепление изученного материала.
Итог урока.
Домашнее задание.

1. Повторение важнейшего теоретического материала по темам: «Уравнения, содержащие модуль», «Решение уравнений с параметрами»

1) «Уравнения, содержащие модуль»

Абсолютной величиной или модулем числа a называется число a, если a > 0, число – a, если a <a, если a > 00, если a = 0– a, если a 0 и | a | > a для всех a € R .
Неравенство | x | 0) равносильно двойному неравенству – a 0.
Неравенство | x | > a, (если a > 0) равносильно двум неравенствам
Неравенство | x | > a, (если a : | x + 3 | + | y – 2 | = 4;

Расcмотрим четыре случая

<	x + 3 > 0	<	x > – 3
	y – 2 > 0		y > 2
	x + 3 + y – 2 = 4		y = – x + 3

<	x + 3 > 0	<	x > – 3
	y – 2 <		x + 3 <	x 0	y > – 2
	– x – 3 – y – 2 = 4		y = x + 9

x + 3 <

x 2 – 1) х = а + 1.

Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

1) а = 1; тогда уравнение принимает вид ОX = 2 и не имеет решения

2) а = – 1; получаем ОX = О , и очевидно х – любое.

Ответ:
если а = – 1, то х – любое;
если а = 1, то нет решения;

3. Решения примеров (из вариантов С)

1. При каком значении параметра р уравнение | х 2 – 5х + 6 | + | х 2 – 5х + 4 | = р имеет четыре корня.

Рассмотрим функцию у = | х 2 – 5х + 6 | + | х 2 – 5х + 4 |

Так как х 2 – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3) и х 2 – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4), то y = | (х – 2)(х – 3) | + | (х – 1)(х – 4) |, корни квадратных трехчленов отметим на числовой прямой

1 2 3 4 х

Числовая прямая при этом разбивает на 5 промежутков

x <

x 2 – 5x + 6 + x 2 – 5x + 4

y = 2x 2 – 10x + 10

1 <

1 2 – 5x + 6 – x 2 + 5x – 4

y = 2

2 <

2 2 + 10x – 10

y = – x 2 + 5x – 6 – x 2 + 5x – 4

3 <

3 2 – 5x + 6 – x 2 + 5x – 4

<	x > 4	<	x > 4
	y = 2x 2 – 10x + 10		y= x 2 – 5x + 6 + x 2 –5x + 4

Для случая 3) х₀ = – b | 2a = 2, y₀ = 25 : 2 + 25 – 10 = 2,5

Итак, (2,5; 2,5) – координаты вершины параболы y = – 2x 2 + 10x – 10.

Построим график функции, заданной равенством

Как видно из рисунка, исходное уравнение имеет четыре корня, если 2 2 – | x | = 6
2. При каких целых значениях а имеет единственное решение уравнение ах 2 – (а + 1) + а 2 + а = 0?

1. Решить уравнение: | x – 5 | – | 2x + 3 | = 10
2. Найти все значениях параметра а, при которых уравнение (а –12) х 2 + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?

1. Решить уравнение | x – 5 | – | 2x + 3| = 10
2. Найти все значениях параметра а, при которых уравнение (а – 12) х 2 + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?

5. Итог урока

1. Определение модуля.
2. Что значит решить уравнение с параметром?

6. Задание на дом. C5 варианта №11 Ф.Ф. Лысенко. Математика, 2012

Видео:✓ Параметр с модулями | ЕГЭ-2021. Задание 17. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Уравнения с параметром, содержащие модуль

Решить в зависимости от значений параметра а.

По свойству модуля при всех левая часть уравнения неотрицательна, следовательно, при a 0 x – 3 = ± a, откуда x = 3 ± a.

Учтем, что x ≥ 5, т.е. Учтем, что x 1. Т.е. при a > 1 Получим a > – 1. Т.е. при a > –1

уравнение будет иметь уравнение будет иметь

единственное решение единственное решение

на промежутке x ≥ 5. на промежутке x 1 уравнение имеет два корня ; ;

При a 1, ; .

уравнение имеет два корня при a + 9 ≥ 0, т.е. a ≥ – 9

. уравнение имеет два корня

x ≥ – 3; a ≥ – 9

; a ≤ 9 x

Учтем, что x ≥ – 3 Учтем, что x 9,

неравенство имеет решение Т.е. при a > 0

a ≤ 9; уравнение имеет один корень

a ≥ 0; т.е. 0 ≤ a ≤ 9;

Т.е. при 0 ≤ a ≤ 9 уравнение

имеет два различных корня.

, при a = 3

уравнение имеет два равных

корня .

Ответим на поставленный вопрос.

2) y = – a – линейная функция, график прямая, параллельная оси OY.

Эскиз графиков. y

Как решать уравнения с параметром и двумя модулями

y = – a

Найдем нули модуля: 2x + 6 = 0; x = –3;

Раскроем модуль на двух промежутках: x ≥ –3 и x 3 /₄

1 /₄

При и уравнение имеет одно решение.

Ответ: — единственное решение.

При каких значениях a уравнение имеет единственное решение? Ответ:

При каких значениях параметра a уравнение имеет два различных корня?

Так как то сделав замену где получим новое квадратное уравнение

Для того чтобы исходное уравнение имело два различных корня, новое уравнение должно иметь только один положительный корень. Это будет в двух следующих случаях:

а) один из корней положителен, другой отрицателен. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был положительным, а произведение корней было отрицательным;

б) оба равных корня положительны. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был равен нулю, а сумма корней была положительной.

Таким образом, получим совокупность двух систем.

1) Д > 0, 2) Д = 0,

Так как

то системы будут иметь вид:

Откуда или

Ответ: ;

При каких значениях с уравнение x 2 – ( 3c – 2 ) ∙ | x | + 2c 2 – c = 0 имеет 4 различных корня?

Для того чтобы исходное уравнение могло иметь четыре различных корня новое уравнение должно иметь два положительных корня. Это будет в том случае, когда дискриминант, произведение и сумма корней будут положительны.

Таким образом, получим систему неравенств:

Д > 0;