Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули.
2.Понятия и определения………………………………………….4
4.Способы решение уравнений, содержащих модуль…………. 6
4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12
4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14
4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины…………………………………………………………..15
4.4.Решение нестандартных уравнений, ………….16
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.
В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.
В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и. т.п.
Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.
2. Понятия и определения
Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:
Уравнение-это равенство, содержащее переменные.
Уравнение с модулем — это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).Например: |x|=1
Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:
Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.
3. Доказательство теорем
Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна — a, если a меньше нуля:
Из определения следует, что для любого действительного числа a, 
Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа 
равна большему из двух чисел a или –a
1. Если число a положительно, то — a отрицательно, т. е. — a 0 уравнение имеет 2 различных корня.
Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6
Ответ: x1=6, x2=11/3
Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2= ( x – 1)2.
Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)):
2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1
2х – х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3
Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)
Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9|
Пользуясь соотношением (1), получим:
х – 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2 – 5х + 9)
-х2 + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6=-x2 + 5x — 9
x2 — 6x + 15=0 x2 – 4x + 3=0
D=36 – 4 * 15=36 – 60= -24 0
Проверка: |1 – 6|=|12 – 5 * 1 + 9| |3 – 6|=|32 – 5 * 3 + 9|
5 = 5(И) 3 = |9 – 15 + 9|
4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.
Геометрический смысл модуля разности величин — это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a | — длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.
Пример 7. Решим уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка — нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].
Пример8. Решим уравнение |x – 1| — |x – 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно, решением данного уравнения будет являться не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.
Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:
|x – a| + |x – b|=b – a, где b >a Û a a Û x
Видео:Уравнения с модулемСкачать
Решение уравнений с модулем, содержащих параметр
Разделы: Математика
Цель урока: Научить учащихся решать уравнения с модулем, содержащих параметры, графическим способом.
Задачи:
- Развивать представление учащихся о разных видах уравнений, способах их решения.
- Развивать исследовательские навыки обучающихся, умение анализировать, рассматривать все возможные случаи при решении заданий.
- Развивать логическое мышление.
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран, шаблоны графиков функции у = |х|.
- Повторение.
- Графическое решение уравнений, содержащих модуль.
- Графическое решение уравнений с модулем, содержащих параметры.
- Итог урока.
- Домашнее задание.
Эпиграф к уроку
«Математика — это инструмент, специально приспособленный для работы с отвлеченными понятиями всех типов:». П.Дирак.
| Учитель | Ученик |
| — Великий французский физик Поль Дирак сказал: «Математика — это инструмент, специально приспособленный для работы с отвлеченными понятиями всех типов:» | |
| — Таким отвлеченным понятием для многих может послужить — понятие модуля и параметров. | |
| — Для успешного решения заданий мы вспомним, что такое модуль числа, каков график функции у = │х│? Рассмотрим решение уравнений с таким понятием, как параметр, с использованием специального математического приема — построение графиков функции. | |
| — Что значит решить уравнение? | Решить уравнение — это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное равенство. |
| — Какие способы решения уравнений вы знаете и используете при решении? | Аналитический, графический способы и способ подбора. |
| — Для решения уравнений графическим способом необходимо: |
1. Определить какие функции заданы в уравнении.
2. Построить графики этих функций.
3. Найти по графику точки пересечения, определить их абсциссы, это и будут корни уравнения, если таких точек нет, то уравнение не имеет решений.
0 и у = -х , при х 0, то х = а , х = —а
у = │х — 2│+ │х — 3│ и у = р.
Для построения графика функции
у = │х — 2│+ │х — 3│ найдем нули подмодульных выражений.
х- 2 = 0 и х -3 = 0
Рассмотрим, как поведет себя функция на промежутках: (- 
; 2); 
; (3; +).
На промежутке (- ; 2); функция принимает вид у = — 2х + 5,
на промежутке [2;3]: у = 1,
на промежутке (3; +) : у = 2х — 5
Ответ: при р 1.
│х — 1│ +│х — 2│ = ах + в.
у= │х — 1│ +│х — 2│ и у = ах + в.
По чертежу определим при каких значениях а и в график функции
у= │х — 1│ +│х — 2││ и у = ах + в совпадают.
Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
Как решать уравнения с модулем графически и аналитически
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Контакты
 |
