Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .

Пример 1. Найти все корни уравнения

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксомКак решать уравнения с комплексными числами и иксом
Подставим найденные значения в формулу:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Пример 2. Найти все корни уравнения

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Найдем дискриминант уравнения:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Найдем корни уравнения:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом
Ответ:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Пример 3. Найти все корни уравнения

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Подставим найденные значения в формулу:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Пример 4. Найти корни уравнения

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом
Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом
Подставим найденные значения в формулу:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Видео:Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Видео:Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Комплексные корни квадратного уравнения

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i 0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть Как решать уравнения с комплексными числами и иксом .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а yмнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и Как решать уравнения с комплексными числами и иксом называются комплексно сопряженными.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора Как решать уравнения с комплексными числами и иксом . Длина вектора Как решать уравнения с комплексными числами и иксом , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Как решать уравнения с комплексными числами и иксом называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа Как решать уравнения с комплексными числами и иксом – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого k ( k =0;1;1;2;2…): Как решать уравнения с комплексными числами и иксом , где arg zглавное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора Как решать уравнения с комплексными числами и иксом , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.

Используя формулу Эйлера

комплексное число Как решать уравнения с комплексными числами и иксом можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол Как решать уравнения с комплексными числами и иксом ( k =0;1;1;2;2…).

Функция e i φ – периодическая с основным пери­одом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .

Пример 7.1. Записать комплексные числа Как решать уравнения с комплексными числами и иксом в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Для z 1 имеем Как решать уравнения с комплексными числами и иксом . Поэтому Как решать уравнения с комплексными числами и иксом .

Для действительного числа Как решать уравнения с комплексными числами и иксом . Поэтому

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z 1 z 2 изображается вектором, соединяющим концы векторов Как решать уравнения с комплексными числами и иксом , и исходящим из конца вычитаемого Как решать уравнения с комплексными числами и иксом в конец уменьшаемого Как решать уравнения с комплексными числами и иксом (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Найдем произведение комплексных чисел Как решать уравнения с комплексными числами и иксом и Как решать уравнения с комплексными числами и иксом . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

4. Частным двух комплексных чисел z 1 и Как решать уравнения с комплексными числами и иксом называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z 2, дает число z 1, то есть Как решать уравнения с комплексными числами и иксом , если Как решать уравнения с комплексными числами и иксом .

Пусть Как решать уравнения с комплексными числами и иксом , тогда с использованием этого определения получаем:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби Как решать уравнения с комплексными числами и иксом на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел Как решать уравнения с комплексными числами и иксом .

Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна Как решать уравнения с комплексными числами и иксом .

Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна Как решать уравнения с комплексными числами и иксом .

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел Как решать уравнения с комплексными числами и иксом , представив их в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть Как решать уравнения с комплексными числами и иксом , если ω n = z .

Пусть Как решать уравнения с комплексными числами и иксом , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: Как решать уравнения с комплексными числами и иксом . Сравнивания части этого равенства, получим: Как решать уравнения с комплексными числами и иксом . Отсюда Как решать уравнения с комплексными числами и иксом (корень арифметический). Окончательно получаем:

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Видно, что для любого Как решать уравнения с комплексными числами и иксом корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Теорема 7.2. Если многочлен Pn ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a ib Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

В разложение многочлена Как решать уравнения с комплексными числами и иксом комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения Как решать уравнения с комплексными числами и иксом , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,

Как решать уравнения с комплексными числами и иксом

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

📹 Видео

Комплексные числа в уравненияхСкачать

Комплексные числа в уравнениях

Уравнение с комплексными числамиСкачать

Уравнение с комплексными числами

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

Биквадратное уравнение. Комплексные корни.Скачать

Биквадратное уравнение. Комплексные корни.

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравнения

Комплексные числа и "золотое" уравнениеСкачать

Комплексные числа и "золотое" уравнение

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 2. Простейшие действия.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 2. Простейшие действия.

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чиселСкачать

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел

✓ Задача про комплексное число | Ботай со мной #101 | Борис ТрушинСкачать

✓ Задача про комплексное число | Ботай со мной #101 | Борис Трушин

Решение уравнений с комплексными числамиСкачать

Решение уравнений с комплексными числами

✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис Трушин

10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над нимиСкачать

10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над ними

Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Изобразить область на комплексной плоскости

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.

Высшая математика. Комплексные числаСкачать

Высшая математика. Комплексные числа

Тригонометрическое уравнение: cos(z)=2, а при чём тут формула Эйлера?Скачать

Тригонометрическое уравнение: cos(z)=2, а при чём тут формула Эйлера?
Поделиться или сохранить к себе: