Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

Видео:Математика | Кубические уравнения по методу СталлонеСкачать

Математика | Кубические уравнения по методу Сталлоне

Об уравнениях высших степеней

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.

Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате
В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.

Видео:ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3+4x^2-9x-36=0 Группировка Деление многочлена столбикомСкачать

ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3+4x^2-9x-36=0 Группировка Деление многочлена столбиком

Кубические уравнения

Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать

КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примере

Возвратные кубические уравнения

Возвратные кубические уравнения имеют вид:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Видео:Как решить квадратное уравнение (Положительный дискриминант)Скачать

Как решить квадратное уравнение (Положительный дискриминант)

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если получается число отличное от 0, значит надо избрать другой подход. Пример для кубического уравнения:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

Видео:Метод выделения полного квадрата. 8 класс.Скачать

Метод выделения полного квадрата. 8 класс.

Возвратные биквадратные уравнения

Выше мы так же рассматривали возвратные кубические уравнения, а теперь разберём биквадратные. Их общий вид:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

В отличие от кубического возвратного уравнения, в биквадратном пары, относительно коэффициентов, есть не у всех, однако в остальном они очень схожи. Вот алгоритм решения таких уравнений:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

Как видно, решать такие уравнения совсем не просто. Но я всё равно разберу и этот случай. Начинается решение с деления всего уравнения на x^2. Далее мы группируем, здесь я специально ввёл дополнительную строку для ясности. После этого мы совершаем хитрость, и вводим в первую скобку 2, которую мы сначала прибавляем, а после вычитаем, сумма всё равно не изменится, зато теперь мы можем свернуть эту скобку в квадрат суммы.

Уберём -2 из скобки, предварительно домножив его на a, после чего вводим новую переменную, t и получаем квадратное уравнение.

А теперь перейдём к примеру:

Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

Основная часть так же как и в обобщённом алгоритме, делим на x^2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Область применения

В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.

Видео:Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетитор

«Решение уравнений высших степеней». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Учебная:

  • Углубить знания учащихся по теме “ Решение уравнений высших степеней” и обобщить учебный материал.
  • Познакомить учащихся с приёмами решения уравнений высших степеней.
  • Научить учащихся применять теорию делимости при решения уравнений высших степеней.
  • Научить учащихся выполнять деление “уголком” многочлена на многочлен.
  • Развивать умения и навыки работы с уравнениями высших степеней.
  • Развивающая:

    1. Развитие внимания учащихся.
    2. Развитие умения добиваться результатов труда.
    3. Развитие интереса к изучению алгебры и навыков самостоятельной работы.

    Воспитывающая:

  • Воспитание чувства коллективизма.
  • Формирование чувства ответственности за результат работы.
  • Формирование у учащихся адекватной самооценки при выборе отметки за работу на уроке.
  • Оборудование: компьютер, проектор.

    1 этап работы. Организационный момент.

    2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы

    Уравнение Как решать уравнения с х в кубе и квадратеодно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры.

    В школьном курсе изучения математики очень много внимания уделяется решению различного вида уравнений. До девятого класса мы умели решать только линейные и квадратные уравнения. Уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней называются уравнениями высших степеней. В девятом классе мы познакомились с двумя основными приёмами решения некоторых уравнений третьей и четвёртой степеней: разложение многочлена на множители и использование замены переменной.

    А можно ли решить уравнения более высоких степеней? На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.

    3 этап работы. Повторить ранее изученный материал. Ввести понятие уравнения высших степеней.

    1) Решение линейного уравнения.

    Линейным называется уравнение вида Как решать уравнения с х в кубе и квадрате, где Как решать уравнения с х в кубе и квадратепо определению. Такое уравнение имеет единственный корень Как решать уравнения с х в кубе и квадрате.

    2) Решение квадратного уравнения.

    Квадратным называется уравнение вида Как решать уравнения с х в кубе и квадрате, где Как решать уравнения с х в кубе и квадрате. Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения Как решать уравнения с х в кубе и квадрате. Для Как решать уравнения с х в кубе и квадратеуравнение корней не имеет, для Как решать уравнения с х в кубе и квадратеимеет один корень (два одинаковых корня)

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате, для Как решать уравнения с х в кубе и квадратеимеет два различных корня Как решать уравнения с х в кубе и квадрате.

    Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений видим, что количество корней уравнения не более его степени. В курсе высшей алгебры доказывается, что уравнение Как решать уравнения с х в кубе и квадрате-й степени Как решать уравнения с х в кубе и квадратеимеет не более n корней. Что касается самих корней, то тут ситуация намного сложнее. Для уравнений третьей и четвёртой степеней известны формулы для нахождения корней. Однако эти формулы очень сложны и громоздки и практического применения не имеют. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существует и существовать не может (как было доказано в XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа).

    Будем называть уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней уравнениями высших степеней. Некоторые уравнения высоких степеней удаётся решить с помощью двух основных приёмов: разложением многочлена Как решать уравнения с х в кубе и квадратена множители или с использованием замены переменной.

    3) Решение кубического уравнения.

    Решим кубическое уравнение Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Сгруппируем члены многочлена, стоящего в левой части уравнения, и разложим на множители. Получим:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три линейных уравнения:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Итак, данное кубическое уравнение имеет три корня: Как решать уравнения с х в кубе и квадрате; Как решать уравнения с х в кубе и квадрате;Как решать уравнения с х в кубе и квадрате.

    4) Решение биквадратного уравнения.

    Очень распространены биквадратные уравнения, которые имеют вид Как решать уравнения с х в кубе и квадрате(т.е. уравнения, квадратные относительно Как решать уравнения с х в кубе и квадрате). Для их решения вводят новую переменную Как решать уравнения с х в кубе и квадрате.

    Решим биквадратное уравнение Как решать уравнения с х в кубе и квадрате.

    Введём новую переменную Как решать уравнения с х в кубе и квадратеи получим квадратное уравнение Как решать уравнения с х в кубе и квадрате, корнями которого являются числа Как решать уравнения с х в кубе и квадратеи 4.

    Вернёмся к старой переменной Как решать уравнения с х в кубе и квадратеи получим два простейших квадратных уравнения:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате(корни Как решать уравнения с х в кубе и квадратеи Как решать уравнения с х в кубе и квадрате)

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате(корни Как решать уравнения с х в кубе и квадратеи Как решать уравнения с х в кубе и квадрате)

    Итак, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате; Как решать уравнения с х в кубе и квадрате;Как решать уравнения с х в кубе и квадрате.

    Попробуем решить уравнение Как решать уравнения с х в кубе и квадратеиспользуя выше изложенные приёмы.

    4 этап работы. Привести некоторые утверждения о корнях многочлена вида Как решать уравнения с х в кубе и квадрате, где Как решать уравнения с х в кубе и квадратемногочлен n-й степени

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Приведём некоторые утверждения о корнях многочлена вида Как решать уравнения с х в кубе и квадрате:

    1) Многочлен Как решать уравнения с х в кубе и квадрате-й степени Как решать уравнения с х в кубе и квадратеимеет не более Как решать уравнения с х в кубе и квадратекорней (с учётом их кратностей). Например, многочлен третьей степени не может иметь четыре корня.

    2) Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень. Например, многочлены первой, третьей, пятой и т.д. степени имеют хотя бы один корень. Многочлены чётной степени корней могут и не иметь.

    3) Если на концах отрезка Как решать уравнения с х в кубе и квадратезначения многочлена имеют разные знаки (т.е. ,Как решать уравнения с х в кубе и квадрате), то на интервале Как решать уравнения с х в кубе и квадратенаходится хотя бы один корень. Это утверждение широко используется для приближенного вычисления корней многочлена.

    4) Если число Как решать уравнения с х в кубе и квадратеявляется корнем многочлена вида Как решать уравнения с х в кубе и квадрате, то этот многочлен можно представить в виде произведения Как решать уравнения с х в кубе и квадрате, где Как решать уравнения с х в кубе и квадратемногочлен (Как решать уравнения с х в кубе и квадрате-й степени. Другими словами, многочлена вида Как решать уравнения с х в кубе и квадратеможно разделить без остатка на двучлен Как решать уравнения с х в кубе и квадрате. Это позволяет уравнение Как решать уравнения с х в кубе и квадрате-й степени сводить к уравнению (Как решать уравнения с х в кубе и квадрате-й степени (понижать степень уравнения).

    5) Если уравнение Как решать уравнения с х в кубе и квадратесо всеми целыми коэффициентами (причём свободный член Как решать уравнения с х в кубе и квадрате) имеет целый корень Как решать уравнения с х в кубе и квадрате, то этот корень является делителем свободного члена Как решать уравнения с х в кубе и квадрате. Такое утверждение позволяет подобрать целый корень многочлена (если он есть).

    5 этап работы. Показать как применяется теория делимости для решения уравнений высших степеней. Рассмотреть примеры решения уравнений высших степеней , в которых для разложения левой части на множители используется способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

    Пример 1. Решим уравнение Как решать уравнения с х в кубе и квадрате.

    Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (-1), т.е. равняется одному из чисел: Как решать уравнения с х в кубе и квадрате. Проверка показывает, что корнем уравнения является число -1. Значит, многочлен Как решать уравнения с х в кубе и квадратеможно представить в виде произведения Как решать уравнения с х в кубе и квадрате, т.е. многочлен Как решать уравнения с х в кубе и квадратеможно без остатка разделить на двучлен Как решать уравнения с х в кубе и квадрате. Выполним такое деление “уголком”:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Итак, данное уравнение имеет три корня:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Пример 2. Решим уравнение Как решать уравнения с х в кубе и квадрате.

    Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9),т.е. равняется одному из чисел: Как решать уравнения с х в кубе и квадрате;Как решать уравнения с х в кубе и квадрате. Проверим:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Значит, многочлен Как решать уравнения с х в кубе и квадратеможно представить в виде произведения Как решать уравнения с х в кубе и квадрате, т.е. многочлен Как решать уравнения с х в кубе и квадратеможно без остатка разделить на двучлен Как решать уравнения с х в кубе и квадрате. Выполним такое деление “уголком”:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Таким образом, мы разложили левую часть уравнения на множители:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Аналогичным образом поступим и с многочленом Как решать уравнения с х в кубе и квадрате.

    Если это уравнение Как решать уравнения с х в кубе и квадратеимеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9), т.е. равняется одному из чисел: Как решать уравнения с х в кубе и квадрате;Как решать уравнения с х в кубе и квадрате. Проверим:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Значит, многочлен Как решать уравнения с х в кубе и квадратеможно представить в виде

    произведения Как решать уравнения с х в кубе и квадрате, т.е. многочлен Как решать уравнения с х в кубе и квадратеможно без остатка разделить на двучлен Как решать уравнения с х в кубе и квадрате. Выполним такое деление “уголком”:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Таким образом, мы разложили левую часть исходного уравнения на множители:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    6 этап работы. Закрепление изученного материала.

    Решите уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

    Как решать уравнения с х в кубе и квадрате

    7 этап работы. Вывод урока.

    Решить уравнения высших степеней можно следующим образом:

    • используя формулы для нахождения корней (если они известны);
    • используя замену переменной;
    • раскладывая многочлен в левой части уравнения на множители, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

    8 этап работы. Домашнее задание.

    Дома решить уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком” (раздать листы с заданиями).

    Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

    Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

    Решение кубических уравнений

    Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

    Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

    Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0

    Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

    Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

    x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

    Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

    Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

    Решение

    Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

    2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

    Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

    x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

    Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

    Ответ: x = 3 3 2 6 .

    Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

    Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

    Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

    Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

    A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

    Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

    Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

    Решение

    Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

    5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

    Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

    5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

    Ответ:

    x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

    Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

    Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

    Решение кубических уравнений с рациональными корнями

    Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

    Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

    Решение

    3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

    Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

    D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

    Ответ: х = 0 .

    Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

    A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

    Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

    Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

    Решение

    Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

    2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

    Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

    ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

    Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

    1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

    Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

    Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

    x iКоэффициенты многочлена
    2— 11129
    — 0 . 52— 11 + 2 · ( — 0 . 5 ) = — 1212 — 12 · ( — 0 . 5 ) = 189 + 18 · ( — 0 . 5 ) = 0

    2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

    После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

    Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

    Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

    Видео:Решить уравнения, используя формулы сокращенного умножения.Сумма и квадрат разности. Алгебра 7 классСкачать

    Решить уравнения, используя формулы сокращенного умножения.Сумма и квадрат разности. Алгебра 7 класс

    Решение кубических уравнений по формуле Кардано

    Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

    После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

    Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

    y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

    Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

    Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

    Решение

    Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

    Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

    Отсюда следует, что

    p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

    Производим подстановку в формулу Кордано и получим

    y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

    — 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

    — 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

    Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

    Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

    Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

    Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

    Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

    Преобразуем при помощи формулы Кордано:

    y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

    x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

    Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

    При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

    💥 Видео

    Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

    Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

    Функция у=х² и у=х³ и их графики. Алгебра, 7 классСкачать

    Функция у=х² и у=х³ и их графики. Алгебра, 7 класс

    Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

    Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)

    Решите уравнение ➜ x²-x³=12Скачать

    Решите уравнение ➜ x²-x³=12

    273 алгебра 9 класс. Решите уравнение х в кубе минус икс в квадрате..Скачать

    273 алгебра 9 класс. Решите уравнение х в кубе минус  икс в квадрате..

    Куб суммы и куб разности двух выражений. 7 класс.Скачать

    Куб суммы и куб разности двух выражений. 7 класс.

    Как решать кубические уравнения Решите уравнение 3 степени 9 класс Разложить на множители ДелениеСкачать

    Как решать кубические уравнения Решите уравнение 3 степени 9 класс Разложить на множители Деление

    Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

    Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика
    Поделиться или сохранить к себе: