Как решать уравнения с факториалами примеры

Факториал

Как решать уравнения с факториалами примеры

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Факториалы - быстрое вычисление | Профильная математикаСкачать

Факториалы - быстрое вычисление  | Профильная математика

Факториал: определение

Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал».

Факториал определен для целых неотрицательных чисел. Это значит, что вот так нельзя:

Число должно быть целое и положительное:

  • 3! 56! 12!
Формула факториала
n!=1⋅2⋅3⋅. ⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n

Вычисляется факториал по формуле: путем умножения всех чисел от одного до значения самого числа под факториалом. Факторизация — это разложение функции на множители.

Мы видим, что 4! — это 3!*4
5! — это 4!*5
6! — это 5!*6

Видео:Сокращение дробей с факториаламиСкачать

Сокращение дробей с факториалами

Формулы и свойства факториала

Чтобы узнать, как вычислять факториалы быстро — воспользуемся табличкой. Сохраняйте себе и решайте раньше остальных.

1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800
11! = 39916800
12! = 479001600
13! = 6227020800
14! = 87178291200
15! = 1307674368000
16! = 20922789888000
17! = 355687428096000
18! = 6402373705728000
19! = 121645100408832000
20! = 2432902008176640000
21! = 51090942171709440000
22! = 1124000727777607680000
23! = 25852016738884976640000
24! = 620448401733239439360000
25! = 15511210043330985984000000

Факториалов в математике 9 класса — полно. Чтобы всегда быть готовым решить пример, запомните основные формулы:

  • (n — 1)! = 1*2*3*4*5*. *(n — 2)(n — 1)
  • n! = 1*2*3*4*5*. *(n — 2)(n — 1)n
  • (n + 1)! = 1*2*3*4*5*. *(n — 2)(n — 1)n(n + 1)

С помощью формулы Стирлинга можно вычислить факториал многоразрядных чисел.

Такая формула дает результат с небольшой погрешностью.

Как решать уравнения с факториалами примеры

  • Как решать уравнения с факториалами примеры

Рекуррентная формула

Как решать уравнения с факториалами примеры
  • 5! = 5*(5 — 1)! = 5*4! = 5*24 = 120
  • 6! = 6*(6-1)! = 6*5! = 6*120 = 720

Для решения примеров обращайтесь к таблице.

Примеры умножения факториалов:

  1. Пользуйтесь готовой таблицей 5! * 7! = 120 * 5040 = 604800
  2. Или раскладывайте факториалы отдельно, если хотите потренироваться:
    5! = 1*2*3*4*5 = 4! * 5 =120
    7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 6! * 7 = 5040
    120 * 5040 = 604800

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Как решить уравнение с факториалами | Подходы и методы решенияСкачать

Как решить уравнение с факториалами | Подходы и методы решения

Примеры решений

Давайте поупражняемся и решим пару примеров.

1. Сократите дробь:

Как решать уравнения с факториалами примеры

Как решать уравнения с факториалами примеры

При сокращении факториалов, пользуйтесь свойством:
n! = (n — 1)! * n
100! = 99! * 100

Далее сокращаем по принципу сокращения обыкновенных дробей.

2. Вычислите значение выражения с факториалом: 8! + 5!

Можно для решения факториалов воспользоваться таблицей и вычислить быстрее.

А можно потренироваться и разложить их:

8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 7!*8 = 5040 * 8 = 40320
5! = 1*2*3*4*5 = 4!*5 = 120
40320 + 120 = 40440
8! + 5! = 40440

3. Вычислите значение выражения:

Как решать уравнения с факториалами примеры

Как решать уравнения с факториалами примеры

7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7

Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.

4. Вычислите значение выражение:

Как решать уравнения с факториалами примеры

Как решать уравнения с факториалами примеры

Вы уже знаете, как найти факториал — раскладываем 70 и 49:
70! = 1*2*3*. *69 = 69! * 70
49! = 1*2*3*. 49! * 48

Далее сокращаем все одинаковые множители.

5. Сократите дробь:

Как решать уравнения с факториалами примеры

Как решать уравнения с факториалами примеры

Проводим разложение на множители при помощи формул сокращенного умножения (x+1)x(x-1) и сокращаем все одинаковые множители (x-1)!.

Если вы все еще считаете, что факториал бесполезен и не может помочь вам в жизни, то это не так. Он помогает легко вычислять вероятности (а это бывает нужно чаще, чем кажется). К тому же, комбинаторика необходима тем, кто собирается работать в IT. Поэтому решайте побольше задачек на факториалы, в мире будущего без них — никуда.

Видео:Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

Что такое уравнение с факториалом

Математические выражения встречаются детям и взрослым. Распространенным выражением является факториал целого числа, который обозначается как n! и представляет собой произведение от единицы до n. Он применим только к неотрицательным значениям больше нуля, часто используется, чтобы решить задачу. Математиками было принято определение «0!», равное единице.

Понятие факториала появилось в XIX веке, с того времени были созданы таблицы, в которых описаны итоговые значения произведения чисел по каждому примеру «n!» вплоть до «25!». Данные можно использовать в готовом виде при работе, не тратя время на их повторное вычисление.

Как решать уравнения с факториалами примеры

Видео:Решите уравнение c факториаламиСкачать

Решите уравнение c факториалами

Формулы, упрощающие решение

Использование факториала нашло широкое применение в комбинаторике: сочетаниях, перестановке и размещениях. Проводя решение неравенств и уравнений, необходимо найти неизвестное значение. Для упрощения вычисления применяются следующие правила:

  • «2n!!» равно произведению всех четных чисел 2, 4, 6, 8 и других;
  • «(2n+1)!!» применяется для всех цифр вида 1, 3, 5 и подобных;
  • существует равенство “2n!!*(2n+1)!!=(2n+1)!” или “2n!!*(2n-1)!!=2n!”.

Если в примере с несколькими членами уравнения имеются факториалы, то меньший из них выделяется и выносится за скобки. Это упрощает вычисление, поскольку требуется выполнить более простое произведение оставшихся параметров и общего значения. При наличии дробей, в числителе и знаменателе которых приведены факториалы, возможно их изменить с помощью нахождения одинаковой части. Она выносится за скобки, а затем сокращается.

Существует метод вычисления функций по предыдущему значению. Подсчёт показан на примере: 4! = 4 * 3! или 4 * (3*2*1). В математике старших классов школы и начальных курсов высших учебных заведений применяется Гамма-функция и бином Ньютона.

Для вычисления больших значений и решения сложных уравнений с факториалом возможно применение программного обеспечения, поскольку ручная работа с ними будет слишком трудоемкой, а онлайн-калькуляторы дают погрешность. Существуют специальные приложения и сценарии, которые вычисляют итоговое значение по заданным параметрам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Видео:ФакториалСкачать

Факториал

Факториал — формула, свойства и примеры решений

Факториал числа n – это произведение чисел от 1 до n. Определён только для целых неотрицательных чисел. Формула факториала:

Математическая формула представлена восклицательным знаком «!». Термин был введен в 1800 году, а обозначение появилось только в 1808. В формуле нужно умножить все целые числа от 1 до значения самого числа, стоящего под знаком факториала.

Это очень просто, вот пример:

7! = 1 * … * 7 = 5040.

Факторизация — разложение функции на множители.

Видео:ФакториалСкачать

Факториал

Таблица факториалов

Как решать уравнения с факториалами примеры

Видео:Комбинаторика: перестановка, размещение и сочетание | Математика | TutorOnlineСкачать

Комбинаторика: перестановка, размещение и сочетание | Математика | TutorOnline

Свойства факториалов

Рекуррентная формула

Как решать уравнения с факториалами примеры

Комбинаторная интерпретация

Функция n может интерпретироваться как количество перестановок. К примеру, для 3-х элементов есть 3! = 6 перестановки.

Формула Стирлинга

Позволяет не перемножать большие числа. Обычно необходим только главный член:

Как решать уравнения с факториалами примеры

Можно ли вычислить 0,5 или -3,217? Нет, нельзя. Но можно использовать нечто под названием «Гамма-функция», что намного сложнее.

Расчет по предыдущему значению

Функцию легко вычислить из предыдущего значения:

А как вычислить факториал нуля? Если вернуться к определению, то видно, что применять его в случае «0» нет смысла. Положительных чисел до 0 нет, поэтому 0 x 0 = 0.

Однако было решено, что в случае 0 результат будет равен 1.

Как решать уравнения с факториалами примеры

Некоторые очень большие значения

Онлайн калькулятор поможет сделать вычисление – всего лишь надо найти знак, похожий на «x!» или «n!». Нужно обратить внимание, что браузеры могут испытывать затруднения при попытке отобразить более крупные числа и может произойти сбой.

Некоторые браузеры могут не позволять копировать, поэтому необходимо будет загрузить большие результаты в виде текстового файла.

Примеры вычисления факториалов больших чисел:

70! приблизительно 1 19785716669969869891796072783721 x 10100, что немного больше, чем «гуголь» (1 и 100 нулей);

100! это примерно 9 33262154444944152681699238856 x 101576 x 10157;

200! это примерно 7 88657867867364479050355236321393 x 103743.

Как найти функцию в Паскаль? Вычисление легко реализуется на разных языках программирования. Можно выбрать два метода: итеративный, то есть он создает цикл, в котором временная переменная умножается на каждое натуральное число от 1 до n, или рекурсивный, в котором функция вызывает себя до достижения базового варианта 0! = 1.

Программа на языке Паскаль:

Как решать уравнения с факториалами примеры

На языке Си вычисления делаются с помощью рекурсивной функции. Следует заметить, что если начать вычислять факториал отрицательного числа в неаккуратно написанной функции, то это приведет к зацикливанию.

Факториал дроби (½) — это половина квадратного корня pi = (½)√π.

🔥 Видео

Сможешь сократить дробь с факториалами?Скачать

Сможешь сократить дробь с факториалами?

Решите уравнение ➜ ДВИ до ЕГЭСкачать

Решите уравнение ➜ ДВИ до ЕГЭ

Старая вступительная задача в ОксфордСкачать

Старая вступительная задача в Оксфорд

ЗАГАДКИ НА ЛОГИКУ. 4 из 5 НЕ ПРОЙДУТСкачать

ЗАГАДКИ НА ЛОГИКУ. 4 из 5 НЕ ПРОЙДУТ

Что такое факториал | МатематикаСкачать

Что такое факториал | Математика

9 класс, 26 урок, Комбинаторные задачиСкачать

9 класс, 26 урок, Комбинаторные задачи

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Как решают уравнения в России и США

14. Вычисление пределов последовательностей ( предел с факториалом ), примеры 7, 8.Скачать

14. Вычисление пределов последовательностей ( предел с факториалом ), примеры 7, 8.

Комбинаторика. Основные формулы (перестановки, сочетания, размещения) и примеры решения задач.Скачать

Комбинаторика. Основные формулы (перестановки, сочетания, размещения) и примеры решения задач.

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.Скачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.

Комбинаторное уравнениеСкачать

Комбинаторное уравнение

Комбинаторика. Сочетание. 10 класс.Скачать

Комбинаторика. Сочетание. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: