Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

  • значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
  • нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

Здесь также присутствует ОДЗ: х Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс-2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в комментариях.

Видео:Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Решить уравнение с дробями - Математика - 6 класс

Решение уравнений с дробями

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:дробное уравнение как решать для 6 классаСкачать

дробное уравнение как решать для 6 класса

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Уравнения с дробями 6 класс (задания, примеры) - как решать?Скачать

Уравнения с дробями 6 класс (задания, примеры) - как решать?

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Уравнение с дробямиСкачать

Уравнение с дробями

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать

Как решать уравнения с дробью? #shorts

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБЯМИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБЯМИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Решение уравнений с дробными числами в 6 классеСкачать

Решение уравнений с дробными числами в 6 классе

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравненияКак решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

Переведем новый множитель в числитель..

Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение: Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

    Решение уравнений, 6 класс

    Уравнения с дробями

    Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак. Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами.

    Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    1 способ: Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Приводим к общему знаменателю дроби в каждой части уравнения:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Это — простейшее линейное уравнение . Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. По правилу деления дробей :

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    После сокращения имеем:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    (В данном случае ответ можно записать и в виде десятичной дроби: х=-0,8).

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Обе части уравнения умножим почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей, в данном случае он равен 24:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    При умножении на знаменатель дроби сокращаются, в знаменателе остается единица, которую не пишем. От линейного уравнения с дробями перешли к линейному уравнению с целыми числами:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Как видите, второй способ существенно упрощает решение линейного уравнения с дробями.

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей. Здесь он равен 60:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Вместо линейного уравнения с дробями получили линейное уравнение с целыми числами. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Сокращаем дробь на 3:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    В результате линейное уравнение с дробями заменили на линейное уравнение с целыми числами:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    Как решать уравнения с дробями и буквами 6 класс

    В следующий раз рассмотрим линейные уравнения с смешанными дробями.

    🎬 Видео

    Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.Скачать

    Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.

    Решение уравнений. Видеоурок 28. Математика 6 классСкачать

    Решение уравнений. Видеоурок 28. Математика 6 класс

    540 Математика 6 класс. Как решить уравнение с дробями.Скачать

    540 Математика 6 класс. Как решить уравнение с дробями.

    Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 2 часть. 6 класс.Скачать

    Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 2 часть. 6 класс.

    Виленкин. 6 класс за 100 минут. Математика: теория чисел, дроби, уравненияСкачать

    Виленкин. 6 класс за 100 минут. Математика: теория чисел, дроби, уравнения

    Дробные уравнения, 6 классСкачать

    Дробные уравнения, 6 класс

    Математика 6 класс (Урок№1 - Повторение материала по темам «Обыкновенные дроби» и «Смешанные дроби»)Скачать

    Математика 6 класс (Урок№1 - Повторение материала по темам «Обыкновенные дроби» и «Смешанные дроби»)

    Решение уравнений. Часть 2. 6 класс.Скачать

    Решение уравнений. Часть 2. 6 класс.

    6 класс, 42 урок, Решение уравненийСкачать

    6 класс, 42 урок, Решение уравнений

    Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .Скачать

    Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .

    Решение уравнений - математика 6 классСкачать

    Решение уравнений - математика 6 класс

    Уравнение на дроби и скобки № 72 Математика 6 классСкачать

    Уравнение на дроби и скобки № 72 Математика 6 класс
    Поделиться или сохранить к себе: