Как решать уравнения с арктангенсом

Арктангенс и решение уравнения tg x=a
Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Как решать уравнения с арктангенсом

На этом уроке мы познакомимся с понятием арктангенса. В начале рассмотрим график функции у = tg t на наименьшем положительном периоде, вспомним ее свойства и сформулируем прямую и обратную задачу для нашей функции. Дадим определение арктангенса как решения обратной задачи. Далее рассмотрим нахождение арктангенса на числовой окружности с помощью линии тангенсов. Докажем важное свойство арктангенса: арктангенс от минус а равен минус арктангенсу а. В конце урока решим несколько задач вычислительного и сравнительного типа, иллюстрируя решение на графике и на круге.

Видео:Находим арктангенс. Алгебра 10 классСкачать

Находим арктангенс. Алгебра 10 класс

Алгебра

План урока:

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1 1 либо а n ,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1) n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите корни ур-ния

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

Наконец, решениями ур-ния

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

Далее рассмотрим ур-ние вида

Задание. Решите ур-ние

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

Видео:Алгебра 10 класс: Уравнения арктангенса, арккотангенсаСкачать

Алгебра 10 класс: Уравнения арктангенса, арккотангенса

Арктангенс и арккотангенс. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти арксинус и арккосинус от числа. Результат можно видеть как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.Скачать

Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.

Арктангенс и арккотангенс − теория, примеры и решения

Функция арктангенс и ее график

Функция тангенс определена в интервале [−∞;+∞] кроме точек Как решать уравнения с арктангенсом Как решать уравнения с арктангенсомКак решать уравнения с арктангенсом, . и не является монотонной функцией (т.е. не является возрастающей или убывающей во всей области определения функции (Рис.1) (подробнее о функции тангенс смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Как решать уравнения с арктангенсом

Однако, функцию тангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

Как решать уравнения с арктангенсом, Как решать уравнения с арктангенсом, Как решать уравнения с арктангенсом, Как решать уравнения с арктангенсоми т.д.

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция tg x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке Как решать уравнения с арктангенсом. Обратную функцию обозначают x=arctg y. Поменяв местами x и y, получим:

y=arctg x.(1)

Функция (1) − это функция, обратная к функции

Как решать уравнения с арктангенсом.

График функции арктангенс можно получить из графика функции Как решать уравнения с арктангенсомс помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).

Как решать уравнения с арктангенсом

Свойства функции арктангенс.

  1. Область определения функции: Как решать уравнения с арктангенсом.
  2. Область значений функции: Как решать уравнения с арктангенсом.
  3. Функция является нечетной: Как решать уравнения с арктангенсом.
  4. Функция возрастает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

В интервале Как решать уравнения с арктангенсомдля уравнения (2) существует одно t, для которого tg t=a. Это решение

Следовательно в интервале Как решать уравнения с арктангенсомуравнение (2) имеет один корень. Так как тангенс периодичная функция с основным периодом π, то все корни уравнения (2) отличаются на πn (n∈Z), т.е.

Как решать уравнения с арктангенсом.(3)

Решение уравнения (2) представлен на Рис.3:

Как решать уравнения с арктангенсом

Так как tg t − это ординат точки пересечения прямой OMt1 c прямым x=1, то для любого a на линии тангенса есть только одна точка T(1; a). Прямая OTt пересекается с окружностью с радиусом 1 в двух точках: Как решать уравнения с арктангенсом. Но только точка Как решать уравнения с арктангенсомсоответствует интервалу Как решать уравнения с арктангенсом, которое соответствует решению Как решать уравнения с арктангенсом.

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Как решать уравнения с арктангенсом.

Решение. Воспользуемся формулой (3):

Как решать уравнения с арктангенсом,
Как решать уравнения с арктангенсом.

Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:

Как решать уравнения с арктангенсом.

Решение. Воспользуемся формулой (3):

Как решать уравнения с арктангенсом.

Используя онлайн калькулятор получим:

Как решать уравнения с арктангенсом.

Функция арккотангенс и ее график

Как известно, функция котангенс определена в интервале [−∞;+∞] кроме точек -2π, —π 0, π, 2π. и не является монотонной функцией (Рис.4) (подробнее о функции котангенс смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Как решать уравнения с арктангенсом

Однако, функцию кокотангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

Как решать уравнения с арктангенсомКак решать уравнения с арктангенсом

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных интервалов функция ctg x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке Как решать уравнения с арктангенсом. Обратную функцию оброзначают x=arcctg y. Поменяв местами x и y, получим:

y=arcctg x.(4)

Функция (4) − это функция, обратная к функции

Как решать уравнения с арктангенсом.

График функции арккотангенс можно получить из графика функции Как решать уравнения с арктангенсомс помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).

Как решать уравнения с арктангенсом

Свойства функции арккотангенс.

  1. Область определения функции: Как решать уравнения с арктангенсом.
  2. Область значений функции: Как решать уравнения с арктангенсом.
  3. Функция не является ни четной ни нечетной (так как функция не симметрична ни относительно начала координит, ни относительно оси Y).
  4. Функция убывает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

В интервале (0; π) для уравнения (5) существует одно t, для которого сtg t=a. Это t=arcctg a. Следовательно в интервале (0; π) уравнение (5) имеет один корень. Так как котангенс периодичная функция с основным периодом π, то общее решение уравнения (5) имеет следующий вид:

Как решать уравнения с арктангенсом(6)

Решения уравнения (5) можно представить на единичной окружности (Рис.6):

Как решать уравнения с арктангенсом

ctg t − это абсцис точки пересечения прямой Как решать уравнения с арктангенсомс прямым y=1. Любому числу a на линии котангенс соответствует только одна точка Как решать уравнения с арктангенсом. Прямая Как решать уравнения с арктангенсомпересекется с единичной окружностью в двух точках Как решать уравнения с арктангенсом. Но только точка Как решать уравнения с арктангенсомсоответствует интервалу (0; π), которое соответствует решению Как решать уравнения с арктангенсом.

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Как решать уравнения с арктангенсом.

Решение. Воcпользуемся формулой (6):

Как решать уравнения с арктангенсом.

Так как в интервале (0; π)Как решать уравнения с арктангенсом, то

Как решать уравнения с арктангенсом.

Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Как решать уравнения с арктангенсом.

Решение. Используя формулу (6), имеем

Как решать уравнения с арктангенсом.

С помощью онлайн калькулятора вычисляем Как решать уравнения с арктангенсом. Тогда

🌟 Видео

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Вычисление аркфункцийСкачать

Вычисление аркфункций

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx=а, ctgx =a | Алгебра 10 класс #28 | ИнфоурокСкачать

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx=а, ctgx =a | Алгебра 10 класс #28 | Инфоурок

Обратные тригонометрические функции, y=arcsinx и y=arccosx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать

Обратные тригонометрические функции, y=arcsinx и y=arccosx, их свойства и графики. 10 класс.

Решение уравнений вида tg x = a и ctg x = aСкачать

Решение уравнений вида tg x = a и ctg x = a

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.

Алгебра 10 класс. 18 октября. Что такое arccos арккосинусСкачать

Алгебра 10 класс. 18 октября. Что такое arccos арккосинус

10 класс, 21 урок, Обратные тригонометрические функцииСкачать

10 класс, 21 урок, Обратные тригонометрические функции

Задание 13 с арксинусом и арккосинусом #48Скачать

Задание 13 с арксинусом и арккосинусом #48

Преобразование выражений, содержащих арккосинус, арксинус, арктангенс и арккотангенс. 1ч. 10 класс.Скачать

Преобразование выражений, содержащих арккосинус, арксинус, арктангенс и арккотангенс. 1ч. 10 класс.

Занятие 7. Арктангенс и арккотангенс. Основы тригонометрииСкачать

Занятие 7. Арктангенс и арккотангенс. Основы тригонометрии

Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020Скачать

Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020

Уравнение тангенс. Арктангенс. Видеоурок 30. Алгебра 10 классСкачать

Уравнение тангенс. Арктангенс. Видеоурок 30. Алгебра 10 класс

Отбор корней с аркфункциями в №12 | Это будет на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

Отбор корней с аркфункциями в №12 | Это будет на ЕГЭ 2023 по математике
Поделиться или сохранить к себе: