Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)
Разделы: Математика
Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.
Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.
В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.
Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.
Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.
Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.
Цель урока:
повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
воспитание познавательного интереса к учебному предмету
формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания 5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет. Методом подбора можно найти решение 3) Составим уравнение: Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174 Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить. Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них. I. Метод рассмотрения остатков от деления. Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1. Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2. Ответ: где m Z. Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители. Пример: Решить уравнения в целых числах. Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4. y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4. y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4. y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4. Следовательно, y = 4n, тогда 4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n Ответ: , где n Z. II. Неопределенные уравнения 2-ой степени Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка. И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители. Пример: Решить уравнение в целых числах. 13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1) Рассмотрим эти случаи а) => б) => в) => г) =>
4) Домашнее задание. Примеры. Решить уравнение в целых числах: а)
2x = 4
2x = 5
2x = 5
x = 2
x = 5/2
x = 5/2
y = 0
не подходит
не подходит 2x = -4
не подходит
не подходит
x = -2
y = 0 б) в) Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах? Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете? Упражнения для тренировки. 1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32
x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29
x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75
x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1
x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36
x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29
x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119
x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60
x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z 2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81
x = 2, y = 1
б) 17x + 23y = 183
x = 4, y = 5 3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy
(0;0), (2;2)
б)
(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2) Число 3 можно разложить на множители:
a)
б)
в)
г)
в)
(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)
(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)
(48;0), (24;1), (24;-1)
е)
x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1
x = m: y = 2m – 1, m Z
з)
x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)
решений нет 4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5
(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3
(0;-4), (1;-2), (1;2)
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23) 5) Решить уравнения в целых числах.
а)
(-1;0)
б)
(5;0)
в)
(2;-1)
г)
(2; -1) Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”. Решение уравнений с двумя неизвестными В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.
Определение Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:
a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные. Ниже приведены несколько примеров: Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.
Решение задач Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора. Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6. При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5). Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y. У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9 Приведем исходное равенство к следующему виду: В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней. При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному. Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть. Оба равенства равносильны. Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны. Оба уравнения также равносильны. Система уравнений с двумя неизвестными Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными. Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие. Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.
Метод подстановки
Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.
Метод сложения
Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.
Графический метод
Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств. При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно. В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов. Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!
Видео Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными. Уравнение с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными и его решение Уравнение вида ax+by = c , где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y. Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $frac$ x-8y = 7 Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y. Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$ Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество. О тождествах – см. §3 данного справочника Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Свойства уравнения с двумя переменными Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными. Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:
если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 iff y = -0,4x+1,2$
Примеры Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y: Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10 1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10 2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x). Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 iff 3x = -4y+10 iff x = -1 frac y+3 frac$
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки? Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания 5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет. Методом подбора можно найти решение 3) Составим уравнение: Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174 Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить. Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них. I. Метод рассмотрения остатков от деления. Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1. Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2. Ответ: где m Z. Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители. Пример: Решить уравнения в целых числах. Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4. y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4. y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4. y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4. Следовательно, y = 4n, тогда 4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n Ответ: , где n Z. II. Неопределенные уравнения 2-ой степени Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка. И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители. Пример: Решить уравнение в целых числах. 13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1) Рассмотрим эти случаи а) => б) => в) => г) =>
4) Домашнее задание. Примеры. Решить уравнение в целых числах: а)
2x = 4
2x = 5
2x = 5
x = 2
x = 5/2
x = 5/2
y = 0
не подходит
не подходит 2x = -4
не подходит
не подходит
x = -2
y = 0 б) в) Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах? Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете? Упражнения для тренировки. 1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32
x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29
x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75
x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1
x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36
x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29
x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119
x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60
x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z 2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81
x = 2, y = 1
б) 17x + 23y = 183
x = 4, y = 5 3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy
(0;0), (2;2)
б)
(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2) Число 3 можно разложить на множители:
a)
б)
в)
г)
в)
(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)
(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)
(48;0), (24;1), (24;-1)
е)
x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1
x = m: y = 2m – 1, m Z
з)
x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)
решений нет 4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5
(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3
(0;-4), (1;-2), (1;2)
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23) 5) Решить уравнения в целых числах.
а)
(-1;0)
б)
(5;0)
в)
(2;-1)
г)
(2; -1) Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”. Решение уравнений с двумя неизвестными В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.
Определение Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:
a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные. Ниже приведены несколько примеров: Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.
Решение задач Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора. Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6. При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5). Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y. У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9 Приведем исходное равенство к следующему виду: В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней. При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному. Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть. Оба равенства равносильны. Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны. Оба уравнения также равносильны. Система уравнений с двумя неизвестными Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными. Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие. Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.
Метод подстановки
Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.
Метод сложения
Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.
Графический метод
Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств. При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно. В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов. Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!
Видео Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными. Уравнение с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными и его решение Уравнение вида ax+by = c , где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y. Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $frac$ x-8y = 7 Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y. Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$ Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество. О тождествах – см. §3 данного справочника Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Свойства уравнения с двумя переменными Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными. Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:
если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 iff y = -0,4x+1,2$
Примеры Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y: Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10 1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10 2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x). Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 iff 3x = -4y+10 iff x = -1 frac y+3 frac$
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.
Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
Методом подбора можно найти решение
3) Составим уравнение:
Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174
Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.
Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала
Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.
Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.
Ответ: где m Z.
Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.
Пример: Решить уравнения в целых числах.
Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.
y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.
y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.
y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.
Следовательно, y = 4n, тогда
4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Ответ: , где n Z.
II. Неопределенные уравнения 2-ой степени
Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.
И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.
Пример: Решить уравнение в целых числах.
13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Рассмотрим эти случаи
а) =>
б) =>
в) =>
г) =>
4) Домашнее задание.
Примеры. Решить уравнение в целых числах:
а)
2x = 4
2x = 5
2x = 5
x = 2
x = 5/2
x = 5/2
y = 0
не подходит
не подходит
2x = -4
не подходит
не подходит
x = -2
y = 0
б)
в)
Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?
Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?
Упражнения для тренировки.
1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32
x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29
x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75
x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1
x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36
x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29
x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119
x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60
x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z
2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81
x = 2, y = 1
б) 17x + 23y = 183
x = 4, y = 5
3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy
(0;0), (2;2)
б)
(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2)
Число 3 можно разложить на множители:
a)
б)
в)
г)
в)
(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)
(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)
(48;0), (24;1), (24;-1)
е)
x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1
x = m: y = 2m – 1, m Z
з)
x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)
решений нет
4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5
(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3
(0;-4), (1;-2), (1;2)
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23)
5) Решить уравнения в целых числах.
а)
(-1;0)
б)
(5;0)
в)
(2;-1)
г)
(2; -1)
Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”.
Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать
Решение уравнений с двумя неизвестными
В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.
Видео:ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать
Определение
Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:
a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.
Ниже приведены несколько примеров:
Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.
Видео:9 класс, 8 урок, Уравнения с двумя переменнымиСкачать
Решение задач
Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.
Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.
При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).
Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.
У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9
Приведем исходное равенство к следующему виду:
В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.
При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.
Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.
Оба равенства равносильны.
Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.
Оба уравнения также равносильны.
Видео:Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать
Система уравнений с двумя неизвестными
Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.
Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.
Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.
Метод подстановки
Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.
Метод сложения
Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.
Графический метод
Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.
При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.
В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.
Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!
Видео:7 класс, 8 урок, Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать
Видео
Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.
Видео:Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.Скачать
Уравнение с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными и его решение
Уравнение вида ax+by = c , где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y.
Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $frac$ x-8y = 7
Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y.
Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$
Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.
О тождествах – см. §3 данного справочника
Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары
x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.
Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Свойства уравнения с двумя переменными
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.
Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:
если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
(2)y = -2.5x+6
Z k
0
где (
; 
) – какое-либо решение уравнения (1), t 
Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
где m 
, где n 
=> 
=> 
=> 
=> 
