Мы подошли к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2022. Оно связано с различными системами счисления. Что такое различные системы счисления, мы рассматривали в этой статье. Так же будет полезно посмотреть эту статью.
Переходим к первому тренировочному 14-ому заданию из ЕГЭ по информатике. Раньше это задание было под номером 16.
Задача (ЕГЭ по информатике, 2019, Москва)
Значение выражения 5 36 + 5 24 — 25 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр «4» содержится в этой записи?
Первый способ. (С помощью Питона)
В переменную f записываем функцию. Две звёздочки подряд обозначают возведение в степень. Заводим строчку s, где и будет сформировано число в пятеричной системе.
Сам перевод числа f в пятеричную систему происходит в цикле WHILE.
Записываем остатки от деления на 5 в строку s. Делаем так же, как если бы переводили в ручную. И так же производим само целочисленное деление. Это мы тоже делаем, когда переводим на листке бумаги.
В строке s получается число в пятеричной системе, но в цифры в этой записи стоят в обратном порядке. Ведь, когда мы переводим в ручную, остатки должны записать задом наперёд.
Здесь и не важен порядок цифр, важно количество четвёрок!
С помощью функции count находим количество четвёрок в строке s.
В ответе напишем 4.
Второй способ. (Классический)
Сформулируем главное правило, на которое будем опираться при решении подобного типа задач.
Примеры:
5 4 (в десятичной системе) — это 100005 (в пятеричной системе)
7 2 (в десятичной системе) — это 1007 (в семеричной системе)
2 9 (в десятичной системе) — это 10000000002 (в двоичной системе)
Перепишем наше выражение, чтобы все числа были в виде степени представлены.
5 36 + 5 24 — 5 2
Посчитаем 5 36 + 5 24 в пятеричной системе столбиком, используя основное правило.
Здесь всё просто: ноль прибавить ноль, будет ноль. Единица плюс ноль, будет один.
Теперь от получившегося числа нужно отнять 5 2 (1005).
Первые два разряда посчитать легко. Ноль минус ноль, будет ноль.
Третий разряд: из нуля отнять единицу мы не можем, поэтому занимаем у более старших разрядов.
В более старших разрядах тоже нули, поэтому идём до единицы, у которой можно занять. Получается 22 четвёрки.
Вот как было бы, если бы считали в нашей родной десятичной системе счисления в аналогичной ситуации.
Здесь мы считаем в десятичной системе, поэтому получаются девятки. В нашей задаче считали в пятеричной системе, поэтому получаются четвёрки.
В ответе напишем 22 четвёрки.
Задача (ЕГЭ по информатике, 2020, Москва)
Значение выражения 16 8 × 4 20 — 4 5 — 64 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?
Первый способ. (С помощью Питона)
Второй способ. (Классический)
Преобразуем наше выражение. Приведём всё к 4-ам.
16 8 × 4 20 — 4 5 — 64 =
= (4 2 ) 8 × 4 20 — 4 5 — 4 3 =
= 4 16 × 4 20 — 4 5 — 4 3 =
= 4 36 — 4 5 — 4 3
Здесь не можем применить технику устного счёта, потому что стоят два минуса. Значит, будем решать с помощью столбиков.
Сначала посчитаем 4 36 — 4 5 .
Теперь от этого числа нужно отнять 4 3 (10004)
Получается 32 тройки.
В последнем вычислении нет ничего сложно. В десятичной системе вы бы легко вычислили в аналогичной ситуации.
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры.
1) Переведём число 17 в троичную систему.
2) Теперь выпишем все числа, которые не превосходят 1223 (Т.е. 1223 тоже подходит!), запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры. В троичной системе могут применяться цифры 0, 1, 2.
Теперь переведём эти числа в десятичную систему.
Ещё один интересный тип задания номер 14, который вполне может быть на реальном ЕГЭ по информатике 2022.
Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа.
Переведём каждое из чисел 225x и 405y в десятичную систему счисления и приравняем, т.к. эти числа равны.
5 × x 0 + 2 × x 1 + 2 × x 2 = 5 × y 0 + 0 × y 1 + 4 × y 2
Любое число в нулевой степени — это 1. Значит, 5 × x 0 = 5 × y 0 = 5. Эти два выражения равны одному и тому же значению, следовательно, их можно убрать и слева, и справа.
2x + 2x 2 = 4y 2
x + x 2 = 2y 2
x(1 + x) = 2y 2
Получили уравнение в целых числах. Слева умножение двух последовательных чисел. Нужно начать подбирать целые числа.
x (1 + x) = 2 × 6 2 = 72 ; Произведение двух последовательных чисел 8 * 9 = 72. Значит, x = 8.
Мы начали проверку с числа 6, потому что у нас в уравнении присутствуют цифра 5. Значит, система счисления может быть минимум с основанием 6.
Получается, что наименьшее значение x равно 8.
В подобных задач нужно знать, что числа обязательно найдутся, нужно их просто хорошо поискать.
Для качественной проработки 14 задания из ЕГЭ по информатике 2022 разберём ещё некоторые задачи.
Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?
В этой задаче применим формулу:
Примером для данной формулы можно взять два разряда в двоичной системе. Максимальное число в двоичной системе равно 112. А в десятичной системе это число равно 310. Т.е. 2 2 — 1.
338 число будет точно больше, чем двухзначное число с основанием N.
338 > N 2 — 1 N 2
N — положительное целое число. Тогда:
Сказано, что число в системе с основанием N оканчивается на 2. Поэтому первый остаток должен быть равен 2!
Будем идти вниз от числа 18 и проверять, на что делится 336.
Число 336 должно делится на N.
Подошло число 16 (16 * 21 = 336!)
Продолжаем подготовку к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2022
Запись числа в девятеричной системе счисления заканчивается цифрой 4. Какой будет последняя цифра в записи этого числа в троичной системе счисления?
Подберём такие числа в десятичной системе, которые в остатке при первом делении на 9 дадут 4!
Посмотрим, какой остаток будет при делении этого же числа на 3 при первом делении. Получается 1. Это и будет ответ.
Ответ: 1
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.
Нужно перебрать все числа от 3 до 23 и определить, какие из них при делении числа 23 дадут остаток 2.
23 : 3 = 7 (ост. 2) +
23 : 4 = 5 (ост. 3) —
23 : 5 = 4 (ост. 3) —
23 : 6 = 3 (ост. 5) —
23 : 7 = 3 (ост. 2) +
23 : 8 = 2 (ост. 7) —
23 : 9 = 2 (ост. 5) —
23 : 10 = 2 (ост. 3) —
23 : 11 = 2 (ост. 1) —
23 : 12 = 1 (ост. 11) —
23 : 13 = 1 (ост. 10) —
23 : 14 = 1 (ост. 9) —
23 : 15 = 1 (ост. 8) —
23 : 16 = 1 (ост. 7) —
23 : 17 = 1 (ост. 6) —
23 : 18 = 1 (ост. 5) —
23 : 19 = 1 (ост. 4) —
23 : 20 = 1 (ост. 3) —
23 : 21 = 1 (ост. 2) +
23 : 22 = 1 (ост. 1) —
23 : 23 = 1 (ост. 0) —
Подходят числа 3, 7, 21.
Здесь можно и написать программу:
Задача (Добьём 14 задание из ЕГЭ по информатике 2022)
В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 66 и 40 заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.
Нужно найти такое число, чтобы числа 66 и 40 при делении на это число давали остаток 1.
Т.е. искомое число должно быть делителем чисел 65 (66-1) и 39 (40-1). У числа 39 не так много делителей: 1, 3, 13, 39
Видим, что число 65 делится на 13 (65 : 13 = 5). Поэтому искомое число равно 13.
В какой системе счисления выполняется равенство 12 · 13 = 222?
В ответе укажите число – основание системы счисления.
Если бы мы находились в десятичной системе, то последней цифрой была бы 6 (2 * 3). Но у нас 2! Т.е. Система счисления меньше или равна 6, т.к. если бы система счисления была больше 6, то у нас была бы 6 последняя цифра.
Шестёрка не «поместилась» в младший разряд, от неё осталось только 2. Остальные 4 единицы ушли в более старший разряд. Если 4 единицы составляют единицу более старшего разряда, то значит, мы находимся в четверичной системе.
На этом всё! Вы прошли чемпионскую тренировку по подготовке 14 задания из ЕГЭ по информатике 2022. Успехов на экзамене!
Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать
Как решать уравнения пятиричной системы
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 18 записывается в виде 30. Укажите это основание.
Составим уравнение: 
где n — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, 
Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).
Основание системы счисления равно 610 = 203.
Корни квадратного уравнения: 8 и −10. Следовательно, основание системы счисления равно 8.
Переведём все числа в десятичную систему счисления:
Составим новое уравнение и решим уже его:
Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225x = 405y?
Ответ записать в виде целого числа.
Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с 
Для каждого x вычисляем значение 
и решаем уравнение 
, причем нас интересуют только натуральные 
Для 
и 
нужных решений нет, а для 
получаем 
так что 
Ответ: 
Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Сложение, умножение и деление чисел в различных системах счисления
Калькулятор чисел в различных системах счисления.
Сложение, вычитание, умножение и деление чисел столбиком. Причём числа могут быть введены в различных системах счисления.
- Калькулятор
- Инструкция
- Теория
- История
- Сообщить о проблеме
Вы ввели числа в различных системах счисления. Однако в расчете могут участвовать числа только в одинаковых системах счисления. Мы переведём первое число 258 в 10-ричную систему счисления вот так:
Выполним перевод в десятичную систему счисления вот так:
| x | 2 | 1 | |
| 2 | 5 | ||
| + | 1 | 0 | 5 |
| 4 | 2 | ||
| 5 | 2 | 5 |
Этот калькулятор умеет осуществлять простейшие арифметические операции над числами. Причем числа могут быть введены в разных системах счисления.
После проведения расчета нажмите на кнопочку ‘Расчет не верен’ если Вы обнаружили ошибку. Или нажмите ‘расчет верный’ если ошибок нет.
🌟 Видео
Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать
Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать
Решение системы линейных уравнений. Подстановка. С дробными выражениями.Скачать
Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
Решение систем уравнений методом сложенияСкачать
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать
Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать
Как решают уравнения в России и США!?Скачать
Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать
Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YСкачать
Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений через подстановку.Скачать
Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать
ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать
Матричный метод решения систем уравненийСкачать
Информатика 8 класс. Системы счисления. Решение уравненийСкачать
