Как решать уравнения методом параболы

Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3
Как решать уравнения методом параболы
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.
Как решать уравнения методом параболы
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x1=2
x2=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Видео:метод парабол для решения квадратных неравенствСкачать

метод парабол для решения квадратных неравенств

Метод Симпсона (парабол)

При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции. Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования. Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью. Метод Симпсона является таковым.

Для этого необходимо дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона. В заключении произведем сравнение трех методов: Симпсона, прямоугольников, трапеций.

Видео:Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.Скачать

Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.

Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации

Задана функция вида y = f ( x ) , имеющая непрерывность на интервале [ a ; b ] , необходимо произвести вычисление определенного интеграла ∫ a b f ( x ) d x

Необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на n отрезков вида x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n с длиной 2 h = b — a n и точками a = x 0 x 2 x 4 . . . x 2 π — 2 x 2 π = b . Тогда точки x 2 i — 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Видео:Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Решение квадратных неравенств | Математика

Суть метода парабол

Каждый интервал x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y = a i x 2 + b i x + c i , проходящей через точки с координатами x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) . Поэтому метод и имеет такое название.

Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл ∫ x 2 i — 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x взять в качестве приближенного значения ∫ x 2 i — 2 x 2 i f ( x ) d x . Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Это и есть суть метода парабол. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Как решать уравнения методом параболы

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

При помощи красной линии изображается график функции y = f ( x ) , синей – приближение графика y = f ( x ) при помощи квадратичных парабол.

Как решать уравнения методом параболы

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnline

Вывод формулы метода Симпсона (парабол)

Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем ∫ a b f ( x ) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x

Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:

∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x

Пусть x 2 i — 2 = 0 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Как решать уравнения методом параболы

Изобразим, что через точки с координатами x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) может проходить одна квадратичная парабола вида y = a i x 2 + b i x + c i . Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.

Имеем, что x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что

a i ( x 2 i — 2 ) 2 + b i · x 2 i — 2 + c i = f ( x 2 i — 2 ) a i ( x 2 i — 1 ) 2 + b i · x 2 i — 1 + c i = f ( x 2 i — 1 ) a i ( x 2 i ) 2 + b i · x 2 i + c i = f ( x 2 i )

Полученная система разрешается относительно a i , b i , c i , где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что

( x 2 i — 2 ) 2 x 2 i — 2 1 x 2 i — 1 ) 2 x 2 i — 1 1 ( x 2 i ) 2 x 2 i 1 , причем он считается отличным от нуля и не совпадает с точками x 2 i — 2 , x 2 i — 1 , x 2 i . Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты a i ; b i ; c i могут определяться только единственным образом, тогда через точки x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) может проходить только одна парабола.

Можно переходить к нахождению интеграла ∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x .

f ( x 2 i — 2 ) = f ( 0 ) = a i · 0 2 + b i · 0 + c i = c i f ( x 2 i — 1 ) = f ( h ) = a i · h 2 + b i · h + c i f ( x 2 i ) = f ( 0 ) = 4 a i · h 2 + 2 b i · h + c i

Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида

∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x = ∫ 0 2 h ( a i x 2 + b i x + c i ) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i — 2 + 4 f 2 2 i — 1 + f x 2 i

Значит, получаем формулу, используя метод парабол:

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 ( f ( x 2 i — 2 ) + 4 f ( x 2 i — 1 ) + f ( x 2 i ) ) = = h 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + f ( x 4 ) + . . . + + f ( x 2 n — 2 ) + 4 f ( x 2 n — 1 ) + f ( x 2 n ) = = h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n )

Формула метода Симпсона имеет вид ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) .

Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δ n ≤ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 .

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Решение неравенства методом интервалов

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол

Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:

  • при приближенном вычислении определенного интеграла;
  • при нахождении приближенного значения с точностью δ n .

На точность вычисления влияет значение n , чем выше n , тем точнее промежуточные значения.

Вычислить определенный интеграл ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.

По условию известно, что a = 0 ; b = 5 ; n = 5 , f ( x ) = x x 4 + 4 .

Тогда запишем формулу Симпсона в виде

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n )

Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать шаг по формуле h = b — a 2 n , определить точки x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n и найти значения подынтегральной функции f ( x i ) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим

h = b — a 2 n = 5 — 0 2 · 5 = 0 . 5

Найдем значение функции в точках

i = 0 : x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 0 ) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1 : x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f ( x 1 ) = f ( 0 . 5 ) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10 : x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f ( x 10 ) = f ( 5 ) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже

i012345
x i00 . 511 . 522 . 5
f x i00 . 123080 . 20 . 165520 . 10 . 05806
i678910
x i33 . 544 . 55
f x i0 . 035290 . 022720 . 015380 . 010870 . 00795

Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 · 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d ( x 2 ) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Ответ: Результаты совпадают до сотых.

Вычислить неопределенный интеграл ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x при помощи метода Симпсона с точностью до 0 , 001 .

По условию имеем, что а = 0 , b = π , f ( x ) = sin 3 x 2 + 1 2 , δ n ≤ 0 . 001 . Необходимо определить значение n . Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δ n ≤ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Когда найдем значение n , то неравенство m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0 . 001 . Последнее неравенство примет вид

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2 . 88

Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.

f ‘ ( x ) = sin 3 x 2 + 1 2 ‘ = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f » ( x ) = 3 2 cos 3 x 2 ‘ = — 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f ‘ ‘ ‘ ( x ) = — 9 4 sin 3 x 2 ‘ = — 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f ( 4 ) ( x ) = — 27 8 cos 3 x 2 ‘ = 81 16 sin 3 x 2

Область определения f ( 4 ) ( x ) = 81 16 sin 3 x 2 принадлежит интервалу — 81 16 ; 81 16 , а сам отрезок интегрирования [ 0 ; π ) имеет точку экстремума, из этого следует, что m a x [ 0 ; π ] f ( 4 ) ( x ) = 81 16 .

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π — 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n = 5 , 6 , 7 … для начала необходимо взять значение n = 5 .

Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого

h = b — a 2 n = π — 0 2 · 5 = π 10

Найдем узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид

i = 0 : x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 0 ) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1 : x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f ( x 1 ) = f ( π 10 ) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0 . 953990 . . . i = 10 : x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f ( x 10 ) = f ( π ) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ — 0 . 5

Для объединения результатов запишем данные в таблицу.

i01234
x i0π 10π 53 π 102 π 5
f ( x i )0 . 50 . 9539901 . 3090171 . 4876881 . 451056
i5678910
x iπ 23 π 57 π 104 π 59 π 10π
f ( x i )1 . 2071070 . 8090170 . 343566— 0 . 087785— 0 . 391007— 0 . 5

Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) = = π 30 · 0 , 5 + 4 · 0 . 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 — 0 . 391007 + 2 · 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 — 0 . 87785 — 0 . 5 = = 2 . 237650

Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 с точностью до 0 , 001 .

При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = — 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = — 3 2 cos 3 π 2 + π 2 — — 2 3 cos 0 + 1 2 · 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

Ответ: ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Видео:Неравенства №13 из ОГЭ. Квадратные неравенства. «Метод параболы»Скачать

Неравенства №13 из ОГЭ. Квадратные неравенства. «Метод параболы»

Замечание

В большинстве случаях нахождение m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n . Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.

Видео:Решение квадратных неравенств графическим методом. 8 класс.Скачать

Решение квадратных неравенств графическим методом. 8 класс.

Квадратичная функция. Построение параболы

Как решать уравнения методом параболы

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnline

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ: наглядно.
  • Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график Парабола

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

  • a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
  • b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
  • с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

  • Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
  • Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

  1. Если D 0,то график выглядит так:
  1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
  2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Как решать уравнения методом параболы

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ метод решения систем квадратных неравенствСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ метод решения систем квадратных неравенств

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Видео:Метод параболСкачать

Метод парабол

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

  1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
  2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x — 5 = 0 2 + 3x — 5 = 0″ png;base64,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»>

  1. Координаты вершины параболы:
  1. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
  2. Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
    2 + 3x — 5 = 0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC» width=»602″>

Видео:КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ПОНЯТНЫМ ЯЗЫКОМСкачать

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА  ПОНЯТНЫМ ЯЗЫКОМ

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

  1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:
  • построить y = x 2 ,
  • умножить ординаты всех точек графика на 2,
  • сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.
  1. Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>

Видео:Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnline

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Как решать уравнения методом параболы

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

📸 Видео

Построение параболыСкачать

Построение параболы

Алгебра 9. Урок 7 - Неравенства. Метод интервалов - основные фактыСкачать

Алгебра 9. Урок 7 - Неравенства. Метод интервалов - основные факты

Как решать параметры на ЕГЭ. Метод плавающей параболыСкачать

Как решать параметры на ЕГЭ. Метод плавающей параболы

Метод парабол в решении квадратных неравенств.Скачать

Метод парабол в решении квадратных неравенств.

ЧТО ТАКОЕ МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ? ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #методинтерваловСкачать

ЧТО ТАКОЕ МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ? ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #методинтервалов

НЕРАВЕНСТВА И ПАРАБОЛА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

НЕРАВЕНСТВА И ПАРАБОЛА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Как строить параболу? | TutorOnlineСкачать

Как строить параболу? | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: