Финальная глава саги.
Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».
Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.
Краткое содержание прошлых частей:
- Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
- Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
- Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
- Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
- Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
- Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.
И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.
❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.
- Что такое матричное уравнение
- Шаг 1. Упрощаем уравнение
- Шаг 2. Вводим единичную матрицу
- Шаг 3. Находим обратную матрицу
- Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу
- Шаг 5. Проверяем уравнение
- Ну и что
- Решение матричных уравнений: теория и примеры
- Решение матричных уравнений: как это делается
- Решение матричных уравнений: примеры
- Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы
- Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы
- 🔍 Видео
Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать
Что такое матричное уравнение
Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.
Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать
Шаг 1. Упрощаем уравнение
Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.
Приводим матричное уравнение к упрощённому виду
Видео:Решение матричных уравненийСкачать
Шаг 2. Вводим единичную матрицу
В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.
Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1
И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1
При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.
Вот такое, только в мире матриц.
Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:
А -1 × А × Х = А -1 × В
Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:
А -1 × А = E — единичная матрица
E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем
Х = А -1 × В — новая запись уравнения
После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.
💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.
Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать
Шаг 3. Находим обратную матрицу
Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:
- Делим единицу на определитель матрицы A.
- Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
- Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.
Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.
Третье действие: получаем обратную матрицу
Видео:Система с тремя переменнымиСкачать
Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу
Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.
Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу
Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
Шаг 5. Проверяем уравнение
Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.
👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.
Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны
Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать
Ну и что
Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:
Видео:§28 Матричные уравненияСкачать
Решение матричных уравнений: теория и примеры
Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Решение матричных уравнений: как это делается
Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,
где x — неизвестное.
А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.
Итак, матричным уравнением называется уравнение вида
где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.
Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:
.
По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому
.
Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :
.
Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение
то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:
,
,
.
Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .
Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения
.
Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать
Решение матричных уравнений: примеры
Пример 1. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :
.
Наконец, находим неизвестную матрицу:
Пример 2. Решить матричное уравнение
.
Пример 3. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.
Пример 4. Решить матричное уравнение
.
Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 5. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 6. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Найдём матрицу, обратную матрице B .
Сначала найдём определитель матрицы B :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы B :
Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :
.
Находим матрицу, обратную матрице B :
.
Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать
Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы
В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.
Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.
Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Матричный вид записи: А × X = B
где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.
X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,
B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.
Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :
A — 1 × A × X = A — 1 × B .
Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .
Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .
В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.
Видео:Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать
Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы
Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:
2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2
- Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где
А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .
- Выражаем из этого уравнения X :
- Находим определитель матрицы А :
d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25
d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.
- Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :
А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,
А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,
А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,
А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,
А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,
А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,
А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,
А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,
А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .
- Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :
А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0
- Записываем обратную матрицу согласно формуле:
A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,
- Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:
X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1
Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1
🔍 Видео
Обратная матрицаСкачать
Матричное уравнениеСкачать
Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать
15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать
Матричные уравнения Полный разбор трех типов матричных уравненийСкачать
Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать
Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать