Как решать уравнения косинус равен косинусу

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Методы решения тригонометрических уравнений.

Видео:КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=A

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

Как решать уравнения косинус равен косинусу

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

Как решать уравнения косинус равен косинусу

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Видео:СЕКРЕТНЫЙ ЛАЙФХАК С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #тригонометрияСкачать

СЕКРЕТНЫЙ ЛАЙФХАК С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #тригонометрия

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos Как решать уравнения косинус равен косинусуи sin Как решать уравнения косинус равен косинусу( здесь Как решать уравнения косинус равен косинусу— так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Методы решения тригонометрических уравнений

Разделы: Математика

Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.

К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.

Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:

сos px = a;sin gx = b;tg kx = c;ctg tx = d.

Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:

1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

sin 2x = 2 sin x cos x;

tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;

ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;

tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);

ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);

2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:

sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;

tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);

ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);

3. Введение вспомогательного аргумента:

рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2 ), cos y = a/v(a 2 + b 2 ), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2 ) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.

4. Формулы сложения и вычитания:

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;

sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

tg (a + b) = ( tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);

tg (a – b) = ( tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);

5. Универсальная тригонометрическая подстановка:

cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + (tg 2 (a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. Некоторые важные соотношения:

sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);

tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).

А также формулы приведения.

В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.

Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.

Ознакомимся с методами решения уравнений:

1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0

2. Однородность уравнений.

3. Разложение на множители.

4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0

5. Замена переменных.

6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.

7. Оценка левой и правой части.

8. Метод пристального взгляда.

9. Введение вспомогательного угла.

10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.

1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.

Решение: Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x

4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0

sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),

т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z,

Ответ: (-1) к+1 Как решать уравнения косинус равен косинусу/6 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z.

2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

решим способом разложения на множители

2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х Как решать уравнения косинус равен косинусуКак решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z,

2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0

cos x = 1/2, tgx = 1,

т.е х = ± Как решать уравнения косинус равен косинусу/3 + 2Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z, х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/4 + Как решать уравнения косинус равен косинусуm, m€z.

Ответ: ± Как решать уравнения косинус равен косинусу/3 + 2Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z, Как решать уравнения косинус равен косинусу/4 + Как решать уравнения косинус равен косинусуm, m€z.

3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.

Решение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x

tg x = 1 и tg x = 2,

откуда х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/4 + Как решать уравнения косинус равен косинусуm, m€z,

х = arctg 2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z.

Ответ: Как решать уравнения косинус равен косинусу/4 + Как решать уравнения косинус равен косинусуm, m€z, arctg 2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z.

4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 4Как решать уравнения косинус равен косинусу2 sin (5x + 6) = 4.

Решение: Метод введения новой переменной

Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 4Как решать уравнения косинус равен косинусу2 sin у = 4

1 – 2 sin 2 у + 4Как решать уравнения косинус равен косинусу2 sin у – 4 = 0

sin у = t, где t€[-1;1]

2t 2 – 4Как решать уравнения косинус равен косинусу2t + 3 = 0

t = Как решать уравнения косинус равен косинусу2/2 и t = 3Как решать уравнения косинус равен косинусу2/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])

sin (5x + 6) = Как решать уравнения косинус равен косинусу2/2,

5x + 6 = (-1) к Как решать уравнения косинус равен косинусу/4 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z,

х = (-1) к Как решать уравнения косинус равен косинусу/20 – 6/5 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk/5, k€z.

Ответ: (-1) к ?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0

Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:

х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z, также возможна запись (0; Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk) k€z.

Ответ: (0; Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk) k€z.

6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0

Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”

(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;

(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если

(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:

sin х – 1 = 0, и cos х = 0,

sin х = 1, и cos х = 0, следовательно

х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z

Ответ: Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z.

7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.

Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.

– 1 Как решать уравнения косинус равен косинусуsin 5х Как решать уравнения косинус равен косинусу1, и -1 Как решать уравнения косинус равен косинусуsin х Как решать уравнения косинус равен косинусу1

0 Как решать уравнения косинус равен косинусуcos 2 х Как решать уравнения косинус равен косинусу1

0 + 2 Как решать уравнения косинус равен косинусу2 + cos 2 х Как решать уравнения косинус равен косинусу1 + 2

2 Как решать уравнения косинус равен косинусу2 + cos 2 х Как решать уравнения косинус равен косинусу3

sin 5х + sin х Как решать уравнения косинус равен косинусу2, и 2 + cos 2 х Как решать уравнения косинус равен косинусу2

-2 Как решать уравнения косинус равен косинусуsin 5х + sin х Как решать уравнения косинус равен косинусу2, т.е.

sin 5х + sin х Как решать уравнения косинус равен косинусу2,

имеем левая часть Как решать уравнения косинус равен косинусу2, а правая часть Как решать уравнения косинус равен косинусу2,

равенство возможно если, они оба равны 2.

cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно

х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z (обязательно проверить).

Ответ: Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z.

8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.

Решение: Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.

(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.

2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,

cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,

2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,

Возникают три случая:

  1. cos х/2 = 0, х/2 = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z, х = Как решать уравнения косинус равен косинусу+ 2Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z;
  2. cos 5/2х = 0, 5/2х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z, х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/5 + 2/5Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z;
  3. cos х = 0, х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z.

Ответ: Как решать уравнения косинус равен косинусу+ 2Как решать уравнения косинус равен косинусуk, Как решать уравнения косинус равен косинусу/5 + 2/5Как решать уравнения косинус равен косинусуk, Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z.

Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5Как решать уравнения косинус равен косинусу, то получим Как решать уравнения косинус равен косинусу+ 2Как решать уравнения косинус равен косинусуn). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х1 = Как решать уравнения косинус равен косинусу/5 + 2/5Как решать уравнения косинус равен косинусуk, х2 = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.

Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:

sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.

Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.

9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – Как решать уравнения косинус равен косинусу3) = 0.

Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:

2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,

(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.

Получаем два уравнения:

cos 3х + 1 = 0, х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/3 + 2/3Как решать уравнения косинус равен косинусуk.

Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2Как решать уравнения косинус равен косинусу. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 Как решать уравнения косинус равен косинусух 8 х – cos 5 х = 1.

Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 t убывает с ростом t.

Значит, sin 8 х Как решать уравнения косинус равен косинусуsin 2 х, – cos 5 х Как решать уравнения косинус равен косинусуcos 2 х;

Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:

sin 8 х – cos 5 х Как решать уравнения косинус равен косинусуsin 2 х + cos 2 х = 1.

Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,

т.е. sin х может принимать значения -1, 0

Ответ: Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, Как решать уравнения косинус равен косинусу+ 2Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z.

Для полноты картины рассмотрим ещё пример.

12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.

Решение: Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.

Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:

1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).

Из неравенства D Как решать уравнения косинус равен косинусу0 следует cos 2 3х Как решать уравнения косинус равен косинусу0 или cos 2 3х Как решать уравнения косинус равен косинусу1.

Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.

Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk.

Эти значения х удовлетворяют уравнению.

Если Как решать уравнения косинус равен косинусуcos 3х Как решать уравнения косинус равен косинусу= 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± Как решать уравнения косинус равен косинусу/3 + 2Как решать уравнения косинус равен косинусуk. Эти значения также удовлетворяют уравнению.

Ответ: Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, Как решать уравнения косинус равен косинусу/3 + 2Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z.

13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.

Решение: Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде

1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.

обозначив sin 2х = t, -1 Как решать уравнения косинус равен косинусуt Как решать уравнения косинус равен косинусу1,

получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,

решая которое, находим t1 = 1/2, t2 = – 4

уравнение sin 2х = 1/2

2х = (- 1) к Как решать уравнения косинус равен косинусу/6 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z, х = (- 1) к /Как решать уравнения косинус равен косинусу/12 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk /2, k€z .

уравнение sin 2х = – 4 решений не имеет.

Ответ: (- 1) к /Как решать уравнения косинус равен косинусу/12 + Как решать уравнения косинус равен косинусуk /2, k€z .

14. Решить уравнение: sin 9х + sin х = 2.

Решение: Решим уравнение методом оценки. Поскольку при всех значениях а выполнено неравенство sin аКак решать уравнения косинус равен косинусу1,то исходное уравнение равносильно sin х = 1 и sin 9х =1,откуда получаем х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + 2Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z и х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/18 + 2Как решать уравнения косинус равен косинусуn, n€z.

Решением будут те значения х, при которых выполнено и первое, и второе уравнение. Поэтому из полученных ответов следует отобрать только х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + 2Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z.

Ответ: Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + 2Как решать уравнения косинус равен косинусуk, k€z.

15. Решить уравнение: 2 cos x = 1 – 2 cos 2 x – v3 sin 2х.

Решение: воспользуемся формулой:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

и перепишем уравнение в виде

2 cos x = – cos 2х – Как решать уравнения косинус равен косинусу3 sin 2х.

Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим уравнение:

2 cos x = – 2 (1/2 cos 2х + Как решать уравнения косинус равен косинусу3/2 sin 2х),

которое можно записать в виде

2 cos x = – 2 (cos а cos 2х + sin а sin 2х),

где очевидно, а = Как решать уравнения косинус равен косинусу/3. Преобразуя правую часть полученного уравнения с помощью формулы:

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

приходим к уравнению

2 cos x = – 2 cos (2х – Как решать уравнения косинус равен косинусу/3),

cos x + cos (2х – Как решать уравнения косинус равен косинусу/3) = 0.

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле:

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2,

cos x + cos (2х – Как решать уравнения косинус равен косинусу/3) = 2 cos (3х/2 – Как решать уравнения косинус равен косинусу/6) cos (Как решать уравнения косинус равен косинусу/6 – х/2) = 0

Это уравнение расщепляется на два уравнения

cos (3х/2 – Как решать уравнения косинус равен косинусу/6) = 0, и

cos (Как решать уравнения косинус равен косинусу/6 – х/2) = 0,

решение которых уже не представляет сколь нибудь значительных трудностей.

Ответ: 2Как решать уравнения косинус равен косинусу/9(2 + 3n), 2Как решать уравнения косинус равен косинусу/3(2 + 3 k), n, k€z.

16. При каких значениях параметра а, уравнение а sin x – 4 cos x = 5, имеет решения?

Решение: преобразуем левую часть уравнения, используя формулу введения дополнительного аргумента:

а sin x – 4 cos x = Как решать уравнения косинус равен косинусу(а 2 + 16) sin (x – y), где y определяется из условий sin y = – 4/Как решать уравнения косинус равен косинусу(а 2 + 16), и cos y = а /Как решать уравнения косинус равен косинусу(а 2 + 16).

Но значение y нас не интересует. Поэтому данное уравнение перепишем в виде

Как решать уравнения косинус равен косинусу(а 2 + 16) sin (x – y) = 5,

sin (x – y) = 5/Как решать уравнения косинус равен косинусу(а 2 + 16), это уравнение имеет решение при условии Как решать уравнения косинус равен косинусу5/Как решать уравнения косинус равен косинусу(а 2 + 16) Как решать уравнения косинус равен косинусу Как решать уравнения косинус равен косинусу1.

Решим это неравенство:

5/Как решать уравнения косинус равен косинусу(а 2 + 16) Как решать уравнения косинус равен косинусу1, обе части умножим на Как решать уравнения косинус равен косинусу(а 2 + 16):

5 Как решать уравнения косинус равен косинусуКак решать уравнения косинус равен косинусу(а 2 + 16),

Как решать уравнения косинус равен косинусу(а 2 + 16) Как решать уравнения косинус равен косинусу5,

а 2 + 16 Как решать уравнения косинус равен косинусу25,

а 2 Как решать уравнения косинус равен косинусу9, или

Как решать уравнения косинус равен косинусуа Как решать уравнения косинус равен косинусу Как решать уравнения косинус равен косинусу3, следовательно

а € (-Как решать уравнения косинус равен косинусу;-3] U [3; Как решать уравнения косинус равен косинусу).

Ответ: (-Как решать уравнения косинус равен косинусу;-3] U [3; Как решать уравнения косинус равен косинусу).

17. При каких значениях параметра а, уравнение 2 sin 2 x + 3 cos (x +2 а) = 5, имеет решения?

Решение: поскольку 0 Как решать уравнения косинус равен косинусуsin 2 x Как решать уравнения косинус равен косинусу1, и -1 Как решать уравнения косинус равен косинусуcos (x +2а) Как решать уравнения косинус равен косинусу1 левая часть уравнения может равняться 5 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

Это означает, что исходное уравнение равносильно системе уравнений sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

sin x = – 1, sin x = 1, cos (x +2 а) = 1;

х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуn, n€z, и x +2 а = 2 Как решать уравнения косинус равен косинусук, к€z;

х = Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуn, и x = – 2 а + 2 Как решать уравнения косинус равен косинусук;

Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 + Как решать уравнения косинус равен косинусуn = – 2 а + 2 Как решать уравнения косинус равен косинусук;

2 а = 2 Как решать уравнения косинус равен косинусук – Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 – Как решать уравнения косинус равен косинусуn;

а = Как решать уравнения косинус равен косинусук – Как решать уравнения косинус равен косинусу/4 – Как решать уравнения косинус равен косинусуn/2;

а = – Как решать уравнения косинус равен косинусу/4 + Как решать уравнения косинус равен косинусу/2 (2к – n);

а = – Как решать уравнения косинус равен косинусу/4 + Как решать уравнения косинус равен косинусуm/2, m€z.

Ответ: – Как решать уравнения косинус равен косинусу/4 + Как решать уравнения косинус равен косинусуm/2, где m€z.

Рассмотренные выше примеры лишь иллюстрируют несколько общих рекомендаций, которые полезно учитывать при решении тригонометрических уравнений. Из приведённых примеров видно, что дать общий рецепт в каждом конкретном случае невозможно.

Ежегодно варианты экзаменационных материалов ЕГЭ содержат от 4-х до 6-ти различных задач по тригонометрии. Поэтому параллельно с повторением теоретического материала значительное время должно быть отведено решению конкретных задач, в том числе и тригонометрических уравнений. А умение можно выработать, только получив практические навыки в решении достаточного числа тригонометрических уравнений.

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Объяснение и обоснование

  1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Примеры решения задач

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Как решать уравнения косинус равен косинусу

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке Как решать уравнения косинус равен косинусуфункция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

Как решать уравнения косинус равен косинусу

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Как решать уравнения косинус равен косинусу

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Примеры решения задач

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Вопросы для контроля

  1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
  2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
  3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
  4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Как решать уравнения косинус равен косинусу

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

🔥 Видео

10 класс, 16 урок, Функции y=sinx, y=cosx, их свойства и графикиСкачать

10 класс, 16 урок, Функции y=sinx, y=cosx, их свойства и графики

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачи

Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать

Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэ

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по Математике

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor online

Как вывести формулу косинуса разности через скалярное произведение векторов #егэ2024Скачать

Как вывести формулу косинуса разности через скалярное произведение векторов  #егэ2024

Найдите значение тригонометрического выраженияСкачать

Найдите значение тригонометрического выражения
Поделиться или сохранить к себе: