Деление многочлена на многочлен столбиком
Для решения уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) — многочлен степени n>2, часто применяют метод понижения степени. Он основывается на таком факте: если число x=b является корнем многочлена P(x), то есть P(b)=0, то многочлен P(x) делится без остатка на двучлен x-b.
После того, как мы разделим многочлен P(x) степени n на двучлен x-b, то мы получим многочлен степени n-1, то есть на единицу меньшей исходного. И дальше процедуру можно повторить.
Если старший коэффициент многочлена P(x) равен 1, то корни многочлена P(x) мы ищем среди делителей свободного члена.
Решим уравнение 
Свободный член многочлена в левой части уравнения равен 10.
Делители числа 10: 1; 2; 5; 10.
Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем многочлена. Для этого последовательно подставим эти значения вместо х в многочлен.
является корнями многочлена 
, и он делится на двучлены 
и 
без остатка.
Разделим многочлен на двучлен x-2 столбиком:
Видео:Деление многочленов | Математика | TutorOnlineСкачать
«Решение уравнений высших степеней». 9-й класс
Разделы: Математика
Класс: 9
Учебная:
Развивающая:
- Развитие внимания учащихся.
- Развитие умения добиваться результатов труда.
- Развитие интереса к изучению алгебры и навыков самостоятельной работы.
Воспитывающая:
Оборудование: компьютер, проектор.
1 этап работы. Организационный момент.
2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы
Уравнение 
одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры.
В школьном курсе изучения математики очень много внимания уделяется решению различного вида уравнений. До девятого класса мы умели решать только линейные и квадратные уравнения. Уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней называются уравнениями высших степеней. В девятом классе мы познакомились с двумя основными приёмами решения некоторых уравнений третьей и четвёртой степеней: разложение многочлена на множители и использование замены переменной.
А можно ли решить уравнения более высоких степеней? На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.
3 этап работы. Повторить ранее изученный материал. Ввести понятие уравнения высших степеней.
1) Решение линейного уравнения.
Линейным называется уравнение вида 
, где 
по определению. Такое уравнение имеет единственный корень 
.
2) Решение квадратного уравнения.
Квадратным называется уравнение вида 
, где 
. Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения 
. Для 
уравнение корней не имеет, для 
имеет один корень (два одинаковых корня)
, для 
имеет два различных корня 
.
Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений видим, что количество корней уравнения не более его степени. В курсе высшей алгебры доказывается, что уравнение 
-й степени 
имеет не более n корней. Что касается самих корней, то тут ситуация намного сложнее. Для уравнений третьей и четвёртой степеней известны формулы для нахождения корней. Однако эти формулы очень сложны и громоздки и практического применения не имеют. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существует и существовать не может (как было доказано в XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа).
Будем называть уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней уравнениями высших степеней. Некоторые уравнения высоких степеней удаётся решить с помощью двух основных приёмов: разложением многочлена 
на множители или с использованием замены переменной.
3) Решение кубического уравнения.
Решим кубическое уравнение 
Сгруппируем члены многочлена, стоящего в левой части уравнения, и разложим на множители. Получим:
Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три линейных уравнения:
Итак, данное кубическое уравнение имеет три корня: 
; 
;
.
4) Решение биквадратного уравнения.
Очень распространены биквадратные уравнения, которые имеют вид 
(т.е. уравнения, квадратные относительно 
). Для их решения вводят новую переменную 
.
Решим биквадратное уравнение 
.
Введём новую переменную и получим квадратное уравнение 
, корнями которого являются числа 
и 4.
Вернёмся к старой переменной 
и получим два простейших квадратных уравнения:
(корни и 
)
(корни 
и 
)
Итак, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:
; ;
.
Попробуем решить уравнение 
используя выше изложенные приёмы.
4 этап работы. Привести некоторые утверждения о корнях многочлена вида 
, где 
многочлен n-й степени
Приведём некоторые утверждения о корнях многочлена вида :
1) Многочлен -й степени имеет не более корней (с учётом их кратностей). Например, многочлен третьей степени не может иметь четыре корня.
2) Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень. Например, многочлены первой, третьей, пятой и т.д. степени имеют хотя бы один корень. Многочлены чётной степени корней могут и не иметь.
3) Если на концах отрезка 
значения многочлена имеют разные знаки (т.е. ,
), то на интервале 
находится хотя бы один корень. Это утверждение широко используется для приближенного вычисления корней многочлена.
4) Если число 
является корнем многочлена вида , то этот многочлен можно представить в виде произведения 
, где 
многочлен (
-й степени. Другими словами, многочлена вида можно разделить без остатка на двучлен 
. Это позволяет уравнение -й степени сводить к уравнению (-й степени (понижать степень уравнения).
5) Если уравнение 
со всеми целыми коэффициентами (причём свободный член 
) имеет целый корень , то этот корень является делителем свободного члена 
. Такое утверждение позволяет подобрать целый корень многочлена (если он есть).
5 этап работы. Показать как применяется теория делимости для решения уравнений высших степеней. Рассмотреть примеры решения уравнений высших степеней , в которых для разложения левой части на множители используется способ деления многочлена на многочлен “уголком”.
Пример 1. Решим уравнение 
.
Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (-1), т.е. равняется одному из чисел: 
. Проверка показывает, что корнем уравнения является число -1. Значит, многочлен 
можно представить в виде произведения 
, т.е. многочлен 
можно без остатка разделить на двучлен 
. Выполним такое деление “уголком”:
Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители:
Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
Итак, данное уравнение имеет три корня:
Пример 2. Решим уравнение 
.
Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9),т.е. равняется одному из чисел: ;
. Проверим:
Значит, многочлен 
можно представить в виде произведения 
, т.е. многочлен 
можно без остатка разделить на двучлен . Выполним такое деление “уголком”:
Таким образом, мы разложили левую часть уравнения на множители:
Аналогичным образом поступим и с многочленом 
.
Если это уравнение 
имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9), т.е. равняется одному из чисел: ;. Проверим:
Значит, многочлен можно представить в виде
произведения 
, т.е. многочлен можно без остатка разделить на двучлен 
. Выполним такое деление “уголком”:
Таким образом, мы разложили левую часть исходного уравнения на множители:
Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:
Итак, данное уравнение имеет четыре корня:
6 этап работы. Закрепление изученного материала.
Решите уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.
7 этап работы. Вывод урока.
Решить уравнения высших степеней можно следующим образом:
- используя формулы для нахождения корней (если они известны);
- используя замену переменной;
- раскладывая многочлен в левой части уравнения на множители, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.
8 этап работы. Домашнее задание.
Дома решить уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком” (раздать листы с заданиями).
Видео:Деление многочлена на многочлен. 10 класс.Скачать
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Видео:Математика без Ху!ни. Деление многочлена на многочлен.Скачать
Калькулятор онлайн.
Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)
С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком.
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены, то для этого у нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена
Видео:Деление многочлена на многочленСкачать
Немного теории.
Видео:Деление многочлена на многочлен уголком, в столбикСкачать
Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)
В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).
Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.
Для любых многочленов ( f(x) ) и ( g(x) ), ( g(x) neq 0 ), существуют единственные полиномы ( q(x) ) и ( r(x) ), такие что
$$ frac = q(x)+frac $$
причем ( r(x) ) имеет более низкую степень, чем ( g(x) ).
Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного ( q(x) ) и остатка ( r(x) ) для заданных делимого ( f(x) ) и ненулевого делителя ( g(x) )
Видео:✓ Теорема Безу. Рациональные нули многочленов | Ботай со мной #119 | Борис ТрушинСкачать
Пример
Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
$$ frac $$
Частное и остаток от деления данных многочленов могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой ( (x^3/x = x^2) )
|
|
2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого ( (x^2 cdot (x-3) = x^3-3x^2) )
|
|
3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой ( (x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-42) )
|
|
4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.
|
|
5. Повторяем шаг 4.
|
|
6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен ( q(x)=x^2-9x-27 ) — частное деления многочленов, а ( r(x)=-123 ) — остаток от деления многочленов.
Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
( x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 )
или
$$ frac = x^2-9x-27 + frac $$
🎦 Видео
СХЕМА ГОРНЕРА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
ЕГЭ по математике. Деление многочлена на двучленСкачать
Теорема Безу. 10 класс.Скачать
Схема Горнера. Объяснение на пальцах. Деление многочленовСкачать
Схема Горнера. 10 класс.Скачать
7 класс, 23 урок, Умножение многочлена на многочленСкачать
Деление многочленов. Теорема Безу. Объяснение на пальцахСкачать
Урок 73 Умножение и деление многочлена на одночлен (7 класс)Скачать
Кубические уравнения. Деление столбиком. Схема Горнера.Скачать
Деление многочлена на многочлен. Практическая часть. 10 класс.Скачать
Умножение многочлена на многочлен. Алгебра, 7 классСкачать
Раскрытие скобок. 6 класс.Скачать
Деление многочленов столбиком и схема ГорнераСкачать
7 класс// АЛГЕБРА // Умножение одночлена на многочлен, решение уравненийСкачать
