Как решать уравнения деление рациональных чисел (3 видео)

Умножение и деление рациональных чисел

В данном уроке рассматривается умножение и деление рациональных чисел.

Содержание

Умножение рациональных чисел
Деление рациональных чисел
Многоэтажные дроби
Использование переменных
Решение целых и дробно рациональных уравнений
Рациональное уравнение: определение и примеры
Решение целых уравнений
Решение дробно рациональных уравнений
Деление рациональных чисел примеры и правила.
🎦 Видео

Видео:Деление рациональных чисел. Практическая часть. 6 класс.Скачать

Умножение рациональных чисел

Правила умножения целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Иными словами, чтобы умножать рациональные числа, нужно уметь умножать целые числа.

Необходимо также знать основные законы умножения такие как переместительный закон умножения, сочетательный закон умножения, распределительный закон умножения и закон умножения на ноль.

Пример 1. Найти значение выражения

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы перемножить рациональные числа с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Чтобы хорошо увидеть, что мы имеем дело с числами, у которых разные знаки, заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками

Модуль числа равен , а модуль числа равен . Перемножив полученные модули, как положительные дроби, мы получили ответ , но перед ответом поставили минус, как от нас требовало правило. Чтобы обеспечить перед ответом этот минус, умножение модулей выполнялось в скобках, перед которыми и поставлен минус.

Таким образом, значение выражения равно

Короткое решение выглядит следующим образом:

Пример 2. Найти значение выражения

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Решение для данного примера можно записать покороче:

Пример 3. Найти значение выражения

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Чтобы перемножить отрицательные рациональные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

Решение для данного примера можно записать покороче:

Пример 4. Найти значение выражения

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс

Решение для данного примера можно записать покороче:

Пример 5. Найти значение выражения

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Короткое решение будет выглядеть значительно проще:

Пример 6. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальное перепишем, как есть

Получили умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Решение для данного примера можно записать покороче

Пример 7. Найти значение выражения

Сначала в ответе получилась неправильная дробь , но мы выделили в ней цéлую часть. Обратите внимание, что целая часть была выделена от модуля дроби . Получившееся смешанное число было заключено в скобки, перед которыми поставлен минус. Это сделано для того, чтобы выполнялось требование правила. А правило требовало, чтобы перед полученным ответом стоял минус.

Решение для данного примера можно записать покороче:

Пример 8. Найти значение выражения

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий. Это позволяет нам вычислить данное выражение в любом порядке.

Сначала перемножим и и полученное число перемножим с оставшимся числом 5. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение.

Первое действие:

Второе действие:

Ответ: значение выражения равно −2.

Пример 9. Найти значение выражения:

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Пример 10. Найти значение выражения

Не будем изобретать велосипед, а вычислим данное выражение слева направо в порядке следования сомножителей. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

Второе действие:

Третье действие:

Четвёртое действие:

Ответ: значение выражения равно

Пример 11. Найти значение выражения

Вспоминаем закон умножения на ноль. Этот закон гласит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В нашем примере один из сомножителей равен нулю, поэтому не теряя времени отвечаем, что значение выражения равно нулю:

Пример 12. Найти значение выражения

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Пример 13. Найти значение выражения

Можно воспользоваться порядком действий и сначала вычислить выражение в скобках и полученный ответ перемножить с дробью .

Ещё можно воспользоваться распределительным законом умножения — умножить каждое слагаемое суммы на дробь и полученные результаты сложить. Этим способом и воспользуемся.

Согласно порядку действий, если в выражении присутствует сложение и умножение, то в первую очередь нужно выполнять умножение. Поэтому в получившемся новом выражении возьмём в скобки те дроби, которые должны быть перемножены. Так мы хорошо увидим, какие действия выполнить раньше, а какие позже:

Далее вычисляем выражение по действиям. Сначала вычислим выражения в скобках, и полученные результаты сложим

Первое действие:

Второе действие:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

Видно, что данный пример можно было решить даже в уме. Поэтому следует развивать в себе навык анализа выражения до начала его решения. Вполне вероятно, что его можно решить в уме и сэкономить много времени и нервов. А на контрольных и экзаменах, как известно время очень дорого стоит.

Пример 14. Найти значение выражения −4,2 × 3,2

Обратите внимание, как перемножались модули рациональных чисел. В данном случае, чтобы перемножить модули рациональных чисел, потребовалось суметь перемножить десятичные дроби.

Пример 15. Найти значение выражения −0,15 × 4

Обратите внимание, как перемножались модули рациональных чисел. В данном случае, чтобы перемножить модули рациональных чисел, потребовалось суметь перемножить десятичную дробь и целое число.

Пример 16. Найти значение выражения −4,2 × (−7,5)

Видео:6 класс, 15 урок, Деление рациональных чиселСкачать

Деление рациональных чисел

Деление рациональных чисел свóдится к умножению этих же чисел. Для этого первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Затем применяются правила умножения рациональных чисел.

Пример 1. Выполнить деление:

Умнóжим первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь . На неё и умножим первую дробь:

Получили умножение рациональных чисел с разными знаками. А как вычислять такие выражения мы уже знаем. Для этого нужно перемножить модули данных рациональных чисел и перед полученным ответом поставить минус.

Дорешаем данный пример до конца. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Таким образом, значение выражения равно

Подробное решение выглядит следующим образом:

Короткое решение можно записать так:

Пример 2. Выполнить деление

Короткое решение можно записать так:

Пример 3. Выполнить деление

Умнóжим первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь

Получили умножение отрицательных рациональных чисел. Выполним данное умножение. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

Пример 4. Выполнить деление

В данном случае нужно первое число −3 умножить на дробь, обратную дроби .

Обратная для дроби это дробь . Затем следует применить правило умножения рациональных чисел с разными знаками:

Пример 6. Выполнить деление

Умнóжим первую дробь на число, обратное числу 4 .

Обратное числу 4 это дробь . На неё и умножим первую дробь

Пример 5. Выполнить деление

Умнóжим первую дробь на число, обратное числу −3

Обратное числу −3 это дробь

Пример 6. Найти значение выражение −14,4 : 1,8

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить данное выражение, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным ответом поставить минус

Обратите внимание, как модуль делимого был разделён на модуль делителя. В данном случае потребовалось суметь разделить десятичную дробь на другую десятичную дробь.

Если нет желания работать с десятичными дробями (а это бывает часто), то эти десятичные дроби можно перевести в смешанные числа, затем перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, а затем заняться непосредственно делением.

Вычислим предыдущее выражение −14,4 : 1,8 этим способом. Переведём десятичные дроби в смешанные числа:

Теперь переведём полученные смешанные числа в неправильные дроби:

Теперь можно заняться непосредственно делением, а именно разделить дробь на дробь . Для этого нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

Пример 7. Найти значение выражения

Переведём десятичную дробь −2,06 в неправильную дробь, и умножим эту дробь на дробь, обратную второй:0

Пример 8. Найти значение выражения −7,2 : (−0,6)

Это деление отрицательных рациональных чисел. Чтобы выполнить данное деление, нужно первую дробь умножить на дробь обратную второй.

Перенесём в обеих дробях запятую на одну цифру вправо, получим деление −72:(−6)

Видео:Деление рациональных чисел. 6 класс.Скачать

Многоэтажные дроби

Часто можно встретить выражение, в котором деление дробей записано с помощью дробной черты. Например, выражение может быть записано следующим образом:

В чём же разница между выражениями и ? На самом деле разницы никакой. Эти два выражения несут одно и то же значение и между ними можно поставить знак равенства:

В первом случае знак деления представляет собой двоеточие и выражение записано в одну строку. Во втором случае деление дробей записано с помощью дробной черты. В результате получается дробь, которую в народе договорились называть многоэтажной.

При встрече с такими многоэтажными выражениями, нужно применять те же правила деления обыкновенных дробей. Первую дробь необходимо умножать на дробь, обратную второй.

Использовать в решении подобные дроби крайне неудобно, поэтому можно записать их в понятном виде, используя в качестве знака деления не дробную черту, а двоеточие.

Например, запишем многоэтажную дробь в понятном виде. Для этого сначала нужно разобраться, где первая дробь и где вторая, потому что сделать это правильно удаётся не всегда. В многоэтажных дробях имеется несколько дробных черт, которые могут запутать. Главная дробная черта, которая отделяет первую дробь от второй, обычно бывает длиннее остальных.

После определения главной дробной черты можно без труда понять, где первая дробь и где вторая:

И далее можно воспользоваться методом деления дробей — умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Пример 2. Запишем в понятном виде многоэтажную дробь

Находим главную дробную черту (она самая длинная) и видим, что осуществляется деление целого числа −3 на обыкновенную дробь

А если бы мы по ошибке приняли вторую дробную черту за главную (ту, что короче), то получилось бы, что мы делим дробь на целое число 5В этом случае, даже если это выражение вычислить верно, задача будет решена неправильно, поскольку делимым в данном случае является число −3, а делителем — дробь .

Пример 3. Запишем в понятном виде многоэтажную дробь

Находим главную дробную черту (она самая длинная) и видим, что осуществляется деление дроби на целое число 2

А если бы мы по ошибке приняли первую дробную черту за главную (ту, что короче), то получилось бы, что мы делим целое число −5 на дробь В этом случае, даже если это выражение вычислить верно, задача будет решена неправильно, поскольку делимым в данном случае является дробь , а делителем — целое число 2.

Несмотря на то, что многоэтажные дроби неудобны в работе, сталкиваться мы с ними будем очень часто, особенно при изучении высшей математики.

Естественно, на перевод многоэтажной дроби в понятный вид уходит дополнительное время и место. Поэтому можно воспользоваться более быстрым методом. Данный метод удобен и на выходе позволяет получить готовое выражение, в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратную второй.

Реализуется этот метод следующим образом:

Если дробь четырехэтажная, например как , то цифру находящуюся на первом этаже поднимают на самый верхний этаж. А цифру, находящуюся на втором этаже поднимают на третий этаж. Полученные цифры нужно соединить значками умножения ( × )

В результате, минуя промежуточную запись мы получаем новое выражение , в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратную второй. Удобство да и только!

Чтобы не допускать ошибок при использовании данного метода, можно руководствоваться следующим правилом:

С первого на четвёртый. Со второго на третий.

В правиле речь идет об этажах. Цифру с первого этажа нужно поднимать на четвертый этаж. А цифру со второго этажа нужно поднимать на третий этаж.

Попробуем вычислить многоэтажную дробь пользуясь вышеприведённым правилом.

Итак, цифру находящуюся на первом этаже поднимаем на четвёртый этаж, а цифру находящуюся на втором этаже поднимаем на третий этаж

В результате, минуя промежуточную запись мы получаем новое выражение , в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратной второй. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Попробуем вычислить многоэтажную дробь пользуясь новой схемой.

Здесь имеется только первый, второй и четвёртый этажи. Третий этаж отсутствует. Но мы не отходим от основной схемы: цифру с первого этажа поднимаем на четвёртый этаж. А поскольку третий этаж отсутствует, то цифру находящуюся на втором этаже оставляем, как есть

В результате, минуя промежуточную запись мы получили новое выражение , в котором первое число −3 уже умножено на дробь, обратную второй. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Попробуем вычислить многоэтажную дробь , пользуясь новой схемой.

Здесь имеется только второй, третий и четвёртый этажи. Первый этаж отсутствует. Поскольку первый этаж отсутствует, подниматься на четвёртый этаж нечему, но зато мы можем поднять цифру со второго этажа на третий:

В результате, минуя промежуточную запись мы получили новое выражение , в котором первая дробь уже умножена на число, обратное делителю. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Видео:Деление рациональных чисел, 6 классСкачать

Использование переменных

Если выражение сложное и вам кажется, что оно запутает вас в процессе решения задачи, то часть выражения можно занести в переменную и далее работать с этой переменной.

Математики часто так и делают. Сложную задачу разбивают на более лёгкие подзадачи и решают их. Затем собирают решённые подзадачи в одно единое целое. Это творческий процесс и этому учатся годами, упорно тренируясь.

Использование переменных оправдано, при работе с многоэтажными дробями. Например:

Найти значение выражения

Итак, имеется дробное выражение в числителе и в знаменателе котором дробные выражения. Другими словами, перед нами снова многоэтажная дробь, которую мы так не любим.

Выражение, находящееся в числителе можно занести в переменную с любым названием, например:

Но в математике в подобном случае переменным принято давать название из больших латинских букв. Давайте не будем нарушать эту традицию, и обозначим первое выражение через большую латинскую букву A

А выражение, находящееся в знаменателе можно обозначить через большую латинскую букву B

Теперь наше изначальное выражение принимает вид . То есть мы сделали замену числового выражения на буквенное, предварительно занеся числитель и знаменатель в переменные A и B.

Теперь мы можем отдельно вычислить значения переменной A и значение переменной B. Готовые значения мы вставим в выражение .

Найдём значение переменной A

Найдём значение переменной B

Теперь подставим в главное выражения вместо переменных A и B их значения:

Мы получили многоэтажную дробь в которой можно воспользоваться схемой «с первого на четвёртый, со второго на третий», то есть цифру находящуюся на первом этаже поднять на четвёртый этаж, а цифру находящуюся на втором этаже поднять на третий этаж. Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Таким образом, значение выражения равно −1.

Конечно, мы рассмотрели простейший пример, но нашей целью было узнать, как можно использовать переменные для облегчения себе задачи, чтобы свести к минимуму допущение ошибок.

Отметим также, что решение для данного примера можно записать не применяя переменные. Выглядеть оно будет как

Это решение более быстрое и короткое и в данном случае его целесообразнее так и записать, но если выражение окажется сложным, состоящим из нескольких параметров, скобок, корней и степеней, то желательно вычислять его в несколько этапов, занося часть его выражений в переменные.

Видео:Умножение рациональных чисел. 6 класс.Скачать

Решение целых и дробно рациональных уравнений

Давайте познакомимся с рациональными и дробными рациональными уравнениями, дадим их определение, приведем примеры, а также разберем наиболее распространенные типы задач.

Видео:Вычитание рациональных чисел . Решение уравнений . 6 класс .Скачать

Рациональное уравнение: определение и примеры

Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.

В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.

Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же. Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P = Q и P − Q = 0 будут равносильными выражениями.

А теперь обратимся к примерам.

x = 1 , 2 · x − 12 · x 2 · y · z 3 = 0 , x x 2 + 3 · x — 1 = 2 + 2 7 · x — a · ( x + 2 ) , 1 2 + 3 4 — 12 x — 1 = 3 .

Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.

Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.

Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

Рациональное уравнение будет являться дробным в том случае, если одна или обе его части содержат дробь.

Дробно рациональные уравнения в обязательном порядке содержат деление на переменную или же переменная имеется в знаменателе. В записи целых уравнений такого деления нет.

3 · x + 2 = 0 и ( x + y ) · ( 3 · x 2 − 1 ) + x = − y + 0 , 5 – целые рациональные уравнения. Здесь обе части уравнения представлены целыми выражениями.

1 x — 1 = x 3 и x : ( 5 · x 3 + y 2 ) = 3 : ( x − 1 ) : 5 – это дробно рациональные уравнения.

К числу целых рациональных уравнений можно отнести линейные и квадратные уравнения.

Видео:Деление рациональных чисел . 6 классСкачать

Решение целых уравнений

Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени n .

Необходимо найти корни целого уравнения 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) = x · ( 2 · x − 1 ) − 3 .

Решение

Проведем преобразование исходного выражения с целью получить равносильное ему алгебраическое уравнение. Для этого произведем перенос выражения, содержащегося в правой части уравнения, в левую часть и заменим знак на противоположный. В итоге получим: 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = 0 .

Теперь проведем преобразование выражения, которое находится в левой части в многочлен стандартного вида и произведем необходимые действия с этим многочленом:

3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = ( 3 · x + 3 ) · ( x − 3 ) − 2 · x 2 + x + 3 = = 3 · x 2 − 9 · x + 3 · x − 9 − 2 · x 2 + x + 3 = x 2 − 5 · x − 6

У нас получилось свести решение исходного уравнения к решению квадратного уравнения вида x 2 − 5 · x − 6 = 0 . Дискриминант этого уравнения положительный: D = ( − 5 ) 2 − 4 · 1 · ( − 6 ) = 25 + 24 = 49 . Это значит, действительных корней будет два. Найдем их, воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения:

x = — — 5 ± 49 2 · 1 ,

x 1 = 5 + 7 2 или x 2 = 5 — 7 2 ,

x 1 = 6 или x 2 = — 1

Проверим верность корней уравнения, которые мы нашли в ходе решения. Для этого числа, которые мы получили, подставим в исходное уравнение: 3 · ( 6 + 1 ) · ( 6 − 3 ) = 6 · ( 2 · 6 − 1 ) − 3 и 3 · ( − 1 + 1 ) · ( − 1 − 3 ) = ( − 1 ) · ( 2 · ( − 1 ) − 1 ) − 3 . В первом случае 63 = 63 , во втором 0 = 0 . Корни x = 6 и x = − 1 действительно являются корнями уравнения, данного в условии примера.

Ответ: 6 , − 1 .

Давайте разберем, что значит «степень целого уравнения». С этим термином мы будем часто встречаться в тех случаях, когда нам надо будет представить целое уравнение в виде алгебраического. Дадим определение понятию.

Степень целого уравнения – это степень алгебраического уравнения, равносильного исходному целому уравнению.

Если посмотреть на уравнения из примера, приведенного выше, можно установить: степень данного целого уравнения вторая.

Если бы наш курс ограничивался решением уравнений второй степени, то рассмотрение темы на этом можно было бы закончить. Но все не так просто. Решение уравнений третьей степени сопряжено с трудностями. А для уравнений выше четвертой степени и вовсе не существует общих формул корней. В связи с этим решение целых уравнений третьей, четвертой и других степеней требует от нас применения целого ряда других приемов и методов.

Чаще прочих используется подход к решению целых рациональных уравнений, который основан на методе разложения на множители. Алгоритм действий в этом случае следующий:

переносим выражение из правой части в левую с тем, чтобы в правой части записи остался нуль;
представляем выражение в левой части как произведение множителей, а затем переходим к совокупности нескольких более простых уравнений.

Пример 4

Найдите решение уравнения ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) .

Решение

Переносим выражение из правой части записи в левую с противоположным знаком: ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) − 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 0 . Преобразование левой части в многочлен стандартного вида нецелесообразно в связи с тем, что это даст нам алгебраическое уравнение четвертой степени: x 4 − 12 · x 3 + 32 · x 2 − 16 · x − 13 = 0 . Легкость преобразования не оправдывает всех сложностей с решением такого уравнения.

Намного проще пойти другим путем: вынесем за скобки общий множитель x 2 − 10 · x + 13 . Так мы придем к уравнению вида ( x 2 − 10 · x + 13 ) · ( x 2 − 2 · x − 1 ) = 0 . Теперь заменим полученное уравнение совокупностью двух квадратных уравнений x 2 − 10 · x + 13 = 0 и x 2 − 2 · x − 1 = 0 и найдем их корни через дискриминант: 5 + 2 · 3 , 5 — 2 · 3 , 1 + 2 , 1 — 2 .

Ответ: 5 + 2 · 3 , 5 — 2 · 3 , 1 + 2 , 1 — 2 .

Точно также мы можем использовать метод введения новой переменной. Этот метод позволяет нам переходить к равносильным уравнениям со степенями ниже, чем были степени в исходном целом уравнении.

Есть ли корни у уравнения ( x 2 + 3 · x + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( x 2 + 3 · x − 4 ) ?

Решение

Если мы сейчас попробуем свести целое рациональное уравнение к алгебраическому, то получим уравнение 4 степени, которое не имеет рациональных корней. Потому нам будет проще пойти другим путем: ввести новую переменную у, которая заменит в уравнении выражение x 2 + 3 · x .

Теперь мы будем работать с целым уравнением ( y + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( y − 4 ) . Перенесем правую часть уравнения в левую с противоположным знаком и проведем необходимые преобразования. Получим: y 2 + 4 · y + 3 = 0 . Найдем корни квадратного уравнения: y = − 1 и y = − 3 .

Теперь проведем обратную замену. Получим два уравнения x 2 + 3 · x = − 1 и x 2 + 3 · x = − 3 . Перепишем их как x 2 + 3 · x + 1 = 0 и x 2 + 3 · x + 3 = 0 . Используем формулу корней квадратного уравнения для того, чтобы найти корни первого уравнения из полученных: — 3 ± 5 2 . Дискриминант второго уравнения отрицательный. Это значит, что действительных корней у второго уравнения нет.

Ответ: — 3 ± 5 2

Целые уравнения высоких степеней попадаются в задачах достаточно часто. Пугаться их не нужно. Нужно быть готовым применить нестандартный метод их решения, в том числе и ряд искусственных преобразований.

Видео:Деление рациональных чисел Решение уравненийСкачать

Решение дробно рациональных уравнений

Начнем рассмотрение этой подтемы мы с алгоритма решения дробно рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 , где p ( x ) и q ( x ) – целые рациональные выражения. Решение остальных дробно рациональных уравнений всегда можно свести к решению уравнений указанного вида.

В основу наиболее употребимого метода решения уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 положено следующее утверждение: числовая дробь u v , где v – это число, которое отлично от нуля, равна нулю только в тех случаях, когда числитель дроби равен нулю. Следуя логике приведенного утверждения мы можем утверждать, что решение уравнения p ( x ) q ( x ) = 0 может быть сведено в выполнению двух условий: p ( x ) = 0 и q ( x ) ≠ 0 . На этом построен алгоритм решения дробных рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 :

находим решение целого рационального уравнения p ( x ) = 0 ;
проверяем, выполняется ли для корней, найденных в ходе решения, условие q ( x ) ≠ 0 .

Если это условие выполняется, то найденный корень является корнем исходного уравнения. Если нет, то корень не является решением задачи.

Найдем корни уравнения 3 · x — 2 5 · x 2 — 2 = 0 .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением вида p ( x ) q ( x ) = 0 , в котором p ( x ) = 3 · x − 2 , q ( x ) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Приступим к решению линейного уравнения 3 · x − 2 = 0 . Корнем этого уравнения будет x = 2 3 .

Проведем проверку найденного корня, удовлетворяет ли он условию 5 · x 2 − 2 ≠ 0 . Для этого подставим числовое значение в выражение. Получим: 5 · 2 3 2 — 2 = 5 · 4 9 — 2 = 20 9 — 2 = 2 9 ≠ 0 .

Условие выполняется. Это значит, что x = 2 3 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 2 3 .

Есть еще один вариант решения дробных рациональных уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 . Вспомним, что это уравнение равносильно целому уравнению p ( x ) = 0 на области допустимых значений переменной x исходного уравнения. Это позволяет нам использовать следующий алгоритм в решении уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 :

решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
находим область допустимых значений переменной x ;
берем корни, которые лежат в области допустимых значений переменной x , в качестве искомых корней исходного дробного рационального уравнения.

Пример 7

Решите уравнение x 2 — 2 · x — 11 x 2 + 3 · x = 0 .

Решение

Для начала решим квадратное уравнение x 2 − 2 · x − 11 = 0 . Для вычисления его корней мы используем формулу корней для четного второго коэффициента. Получаем D 1 = ( − 1 ) 2 − 1 · ( − 11 ) = 12 , и x = 1 ± 2 3 .

Теперь мы можем найти ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Это все числа, для которых x 2 + 3 · x ≠ 0 . Это то же самое, что x · ( x + 3 ) ≠ 0 , откуда x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Теперь проверим, входят ли полученные на первом этапе решения корни x = 1 ± 2 3 в область допустимых значений переменной x . Мы видим, что входят. Это значит, что исходное дробное рациональное уравнение имеет два корня x = 1 ± 2 3 .

Ответ: x = 1 ± 2 3

Второй описанный метод решения проще первого в случаях, когда легко находится область допустимых значений переменной x , а корни уравнения p ( x ) = 0 иррациональные. Например, 7 ± 4 · 26 9 . Корни могут быть и рациональными, но с большим числителем или знаменателем. Например, 127 1101 и − 31 59 . Это позволяет сэкономить время на проведении проверки условия q ( x ) ≠ 0 : намного проще исключить корни, которые не подходят, по ОДЗ.

В тех случаях, когда корни уравнения p ( x ) = 0 целые, целесообразнее использовать первый из описанных алгоритмов решения уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 . Быстрее сразу находить корни целого уравнения p ( x ) = 0 , после чего проверять, выполняется ли для них условие q ( x ) ≠ 0 , а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p ( x ) = 0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.

Найдите корни уравнения ( 2 · x — 1 ) · ( x — 6 ) · ( x 2 — 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) x 5 — 15 · x 4 + 57 · x 3 — 13 · x 2 + 26 · x + 112 = 0 .

Решение

Начнем с рассмотрения целого уравнения ( 2 · x − 1 ) · ( x − 6 ) · ( x 2 − 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) = 0 и нахождения его корней. Для этого применим метод решения уравнений через разложение на множители. Получается, что исходное уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2 · x − 1 = 0 , x − 6 = 0 , x 2 − 5 · x + 14 = 0 , x + 1 = 0 , из которых три линейных и одно квадратное. Находим корни: из первого уравнения x = 1 2 , из второго – x = 6 , из третьего – x = 7 , x = − 2 , из четвертого – x = − 1 .

Проведем проверку полученных корней. Определить ОДЗ в данном случае нам сложно, так как для этого придется провести решение алгебраического уравнения пятой степени. Проще будет проверить условие, по которому знаменатель дроби, которая находится в левой части уравнения, не должен обращаться в нуль.

По очереди подставим корни на место переменной х в выражение x 5 − 15 · x 4 + 57 · x 3 − 13 · x 2 + 26 · x + 112 и вычислим его значение:

1 2 5 − 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 − 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

( − 2 ) 5 − 15 · ( − 2 ) 4 + 57 · ( − 2 ) 3 − 13 · ( − 2 ) 2 + 26 · ( − 2 ) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

( − 1 ) 5 − 15 · ( − 1 ) 4 + 57 · ( − 1 ) 3 − 13 · ( − 1 ) 2 + 26 · ( − 1 ) + 112 = 0 .

Проведенная проверка позволяет нам установить, что корнями исходного дробного рацинального уравнения являются 1 2 , 6 и − 2 .

Ответ: 1 2 , 6 , — 2

Найдите корни дробного рационального уравнения 5 · x 2 — 7 · x — 1 · x — 2 x 2 + 5 · x — 14 = 0 .

Решение

Начнем работу с уравнением ( 5 · x 2 − 7 · x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 . Найдем его корни. Нам проще представить это уравнение как совокупность квадратного и линейного уравнений 5 · x 2 − 7 · x − 1 = 0 и x − 2 = 0 .

Используем формулу корней квадратного уравнения для поиска корней. Получаем из первого уравнения два корня x = 7 ± 69 10 , а из второго x = 2 .

Подставлять значение корней в исходное уравнение для проверки условий нам будет достаточно сложно. Проще будет определить ОДЗ переменной x . В данном случае ОДЗ переменной x – это все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 + 5 · x − 14 = 0 . Получаем: x ∈ — ∞ , — 7 ∪ — 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Теперь проверим, принадлежат ли найденные нами корни к области допустимых значений переменной x .

Корни x = 7 ± 69 10 — принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x = 2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

Ответ: x = 7 ± 69 10 .

Разберем отдельно случаи, когда в числителе дробного рационального уравнения вида p ( x ) q ( x ) = 0 находится число. В таких случаях, если в числителе находится число, отличное от нуля, то уравнение не будет иметь корней. Если это число будет равно нулю, то корнем уравнения будет любое число из ОДЗ.

Решите дробное рациональное уравнение — 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Решение

Данное уравнение не будет иметь корней, так как в числителе дроби из левой части уравнения находится отличное от нуля число. Это значит, что ни при каких значениях x значение приведенной в условии задачи дроби не будет равняться нулю.

Ответ: нет корней.

Решите уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 .

Решение

Так как в числителе дроби находится нуль, решением уравнения будет любое значение x из ОДЗ переменной x .

Теперь определим ОДЗ. Оно будет включать все значения x , при которых x 4 + 5 · x 3 ≠ 0 . Решениями уравнения x 4 + 5 · x 3 = 0 являются 0 и − 5 , так как, это уравнение равносильно уравнению x 3 · ( x + 5 ) = 0 , а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x 3 = 0 и x + 5 = 0 , откуда и видны эти корни. Мы приходим к тому, что искомой областью допустимых значений являются любые x , кроме x = 0 и x = − 5 .

Получается, что дробное рациональное уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 имеет бесконечное множество решений, которыми являются любые числа кроме нуля и — 5 .

Ответ: — ∞ , — 5 ∪ ( — 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Теперь поговорим о дробных рациональных уравнениях произвольного вида и методах их решения. Их можно записать как r ( x ) = s ( x ) , где r ( x ) и s ( x ) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Решение таких уравнений сводится к решению уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 .

Мы уже знаем, что мы можем получить равносильное уравнение при переносе выражения из правой части уравнения в левое с противоположным знаком. Это значит, что уравнение r ( x ) = s ( x ) равносильно уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 . Также мы уже разобрали способы преобразования рационального выражения в рациональную дробь. Благодаря этому мы без труда можем преобразовать уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 в тождественную ему рациональную дробь вида p ( x ) q ( x ) .

Так мы переходим от исходного дробного рационального уравнения r ( x ) = s ( x ) к уравнению вида p ( x ) q ( x ) = 0 , решать которые мы уже научились.

Следует учитывать, что при проведении переходов от r ( x ) − s ( x ) = 0 к p ( x ) q ( x ) = 0 , а затем к p ( x ) = 0 мы можем не учесть расширения области допустимых значений переменной x .

Вполне реальна ситуация, когда исходное уравнение r ( x ) = s ( x ) и уравнение p ( x ) = 0 в результате преобразований перестанут быть равносильными. Тогда решение уравнения p ( x ) = 0 может дать нам корни, которые будут посторонними для r ( x ) = s ( x ) . В связи с этим в каждом случае необходимо проводить проверку любым из описанных выше способов.

Чтобы облегчить вам работу по изучению темы, мы обобщили всю информацию в алгритм решения дробного рационального уравнения вида r ( x ) = s ( x ) :

переносим выражение из правой части с противоположным знаком и получаем справа нуль;
преобразуем исходное выражение в рациональную дробь p ( x ) q ( x ) , последовательно выполняя действия с дробями и многочленами;
решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
выявляем посторонние корни путем проверки их принадлежности ОДЗ или методом подстановки в исходное уравнение.

Визуально цепочка действий будет выглядеть следующим образом:

r ( x ) = s ( x ) → r ( x ) — s ( x ) = 0 → p ( x ) q ( x ) = 0 → p ( x ) = 0 → о т с е и в а н и е п о с т о р о н н и х к о р н е й

Решите дробное рациональное уравнение x x + 1 = 1 x + 1 .

Решение

Перейдем к уравнению x x + 1 — 1 x + 1 = 0 . Преобразуем дробное рациональное выражение в левой части уравнения к виду p ( x ) q ( x ) .

Для этого нам придется привести рациональные дроби к общему знаменателю и упростить выражение:

x x + 1 — 1 x — 1 = x · x — 1 · ( x + 1 ) — 1 · x · ( x + 1 ) x · ( x + 1 ) = = x 2 — x — 1 — x 2 — x x · ( x + 1 ) = — 2 · x — 1 x · ( x + 1 )

Для того, чтобы найти корни уравнения — 2 · x — 1 x · ( x + 1 ) = 0 , нам необходимо решить уравнение − 2 · x − 1 = 0 . Получаем один корень x = — 1 2 .

Нам осталось выполнить проверку любым из методов. Рассмотрим их оба.

Подставим полученное значение в исходное уравнение. Получим — 1 2 — 1 2 + 1 = 1 — 1 2 + 1 . Мы пришли к верному числовому равенству − 1 = − 1 . Это значит, что x = − 1 2 является корнем исходного уравнения.

Теперь проведем проверку через ОДЗ. Определим область допустимых значений переменной x . Это будет все множество чисел, за исключением − 1 и 0 (при x = − 1 и x = 0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Полученный нами корень x = − 1 2 принадлежит ОДЗ. Это значит, что он является корнем исходного уравнения.

Ответ: − 1 2 .

Найдите корни уравнения x 1 x + 3 — 1 x = — 2 3 · x .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением. Следовательно, будем действовать по алгоритму.

Перенесем выражение из правой части в левую с противоположным знаком: x 1 x + 3 — 1 x + 2 3 · x = 0

Проведем необходимые преобразования: x 1 x + 3 — 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x .

Приходим к уравнению x = 0 . Корень этого уравнения – нуль.

Проверим, не является ли этот корень посторонним для исходного уравнения. Подставим значение в исходное уравнение: 0 1 0 + 3 — 1 0 = — 2 3 · 0 . Как видите, полученное уравнение не имеет смысла. Это значит, что 0 – это посторонний корень, а исходное дробное рациональное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Если мы не включили в алгоритм другие равносильные преобразования, то это вовсе не значит, что ими нельзя пользоваться. Алгоритм универсален, но он создан для того, чтобы помогать, а не ограничивать.

Решите уравнение 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 7 7 24

Решение

Проще всего будет решить приведенное дробное рациональное уравнение согласно алгоритму. Но есть и другой путь. Рассмотрим его.

Отнимем от правой и левой частей 7 , получаем: 1 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 7 24 .

Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно числу, обратному числу из правой части, то есть, 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 24 7 .

Вычтем из обеих частей 3 : 1 2 + 1 5 — x 2 = 3 7 . По аналогии 2 + 1 5 — x 2 = 7 3 , откуда 1 5 — x 2 = 1 3 , и дальше 5 — x 2 = 3 , x 2 = 2 , x = ± 2

Проведем проверку для того, чтобы установить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

Видео:Урок 59. Деление рациональных чисел (6 класс)Скачать

Деление рациональных чисел примеры и правила.

Деление рациональных чисел в математике имеет общий смысл, ведь понятие рациональные числа включает в себя все числа, которые в них входят (натуральные числа, целые числа, десятичные числа и дробные числа). Как решать деление рациональных чисел? Деление рациональных чисел происходит по тем же правилам, что и деление всех этих чисел.

Смысл деления рациональных чисел.

Деление рациональных чисел– это действие обратное умножению. Мы выполняем деление для того, чтобы найти неизвестный множитель. Например:

Если нам неизвестен множитель 2, то мы будем его искать с помощью деления. Заменим множитель 2 на переменную x.

А теперь подробно рассмотрим ниже, что же такое деление рациональных чисел.

Деление двух рациональных чисел общие понятия.

Самое важное нужно правильно учитывать знаки при делении.

При делении двух рациональных чисел с одинаковыми знаками, результат будет с положительным знаком. При делении двух рациональных чисел с разными знаками, результат будет отрицательным.

Правила деления положительных и отрицательных рациональных чисел.

При делении двух положительных или двух отрицательных рациональных чисел, результат будет положительный. “Минус на минус дает знак плюс” или “Плюс на плюс дает знак плюс”
Выполняем деление по правилам в зависимости от того, какие числа делим (деление дробей, деление десятичных дробей, деление целых чисел и деление натуральных чисел).

Деление положительных и отрицательных рациональных чисел, примеры.

Выполните деление положительных и отрицательных рациональных чисел: а) (frac div frac) б) .

а) Вторую дробь переворачиваем по правилам деления дробей и между дробями ставим умножение . Смотрим возможно ли сократить дроби , в данном случае 3 у первой дроби в знаменателе и 6 у второй дроби в числители сокращается. Далее просчитываем знак ответа: “Минус на минус дает знак плюс.”

б) По правилам деления дробей вторую дробь переворачиваем и между дробями ставим умножение . Потом переходим к сокращению дробей числа 10 и 5 сокращаем на 5, а числа 11 и 22 сокращаем на 11. В итоге просчитываем знак, так как обе дроби имеют знак плюс, результат будет положительным числом.

Деление рациональных чисел с разными знаками.

При делении двух рациональных чисел с разными знаками, результат будет отрицательным.

Правила деления рациональных чисел рациональных чисел с разными знаками.

При делении двух рациональных чисел с разными знаками, результат будет отрицательный. “Минус на плюс дает знак минус” или “Плюс на минус дает знак минус”
Выполняем деление по правилам в зависимости от того, какие числа делим (деление дробей, деление десятичных дробей, деление целых чисел и деление натуральных чисел).

Пример деления рациональных чисел с разными знаками:

Выполните деление рациональных чисел с разными знаками: а) б) .

а) Вторую дробь переворачиваем по правилам деления дробей и между дробями ставим умножение . Смотрим возможно ли сократить дроби . Сокращение возможно на число 5. У первой дроби в знаменателе 5, а у второй дроби в числители 15, оба числа делятся на 5. Получилась в результате подсчетов неправильная дробь переводи ее в правильную дробь. Далее просчитываем знак ответа: “Плюс на минус дает знак Минус.”

б) Дробь переворачиваем и деление заменяем умножением. Далее сокращаем дроби и результат у нас получается со знаком минус.