Как решать уравнения аналитическими методами

В работа рассмотрены различные подходы к решению линейных уравнений с параметрами.

Видео:Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать

Скачать:

Видео:Классические точные аналитические методы решения уравнений гиперболического и параболического типаСкачать

Предварительный просмотр:

Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами.

В работе рассмотрены различные подходы к решению линейных уравнений с параметрами. Данная тема необходима учащимся для первичного ознакомления с методами решения уравнений с параметрами, которая является опорным пунктом подготовки к ЕГЭ (решение заданий части «С5»).

1. Понятие уравнений с параметрами.
2. Различные виды и методы решений линейных уравнений с параметрами.
3. Задания для самостоятельной работы.

Рассмотрим уравнения, в которых некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами. Такие уравнения называются уравнениями с параметрами, а буквы – параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения.

Решить уравнение с параметрами – значит, найти множество всех корней данного уравнения в зависимости от допустимого значения параметра. (Т.е. указать, при каких значениях параметра существуют решения, и каковы они, затем исследовать его относительно параметра)

Алгоритм решения уравнений с параметрами примерно таков:

• Разбить область изменения параметра на промежутки, где при изменении параметра в каждом из них полученные уравнения решаются одним и тем же методом.(Границами промежутков служат те значения параметра, в которых, или при переходе через которые, происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра называют «особыми» или контрольными).
• Отдельно на каждом промежутке находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра.
• Ответ уравнения состоит из списков изменения параметра с указанием всех корней для каждого промежутка (или конкретных значений параметра).

Основные методы решения уравнений с параметрами.

1. Решение простейших линейных уравнений с параметрами.

Исследуем линейное уравнение вида: ax =b (1)

1. а 0, b R, то уравнение (1) имеет единственный корень х= .
2. а=0, b=0, уравнение (1) имеет корнем любое действительное число, т.е. х R.
3. а 0, 0, уравнение (1) не имеет корней.

Пример №1: ax = 5; при a=0 имеем 0х=5, чего не может быть,

тогда х , при а 0 х= .

Пример №2: 0х=а; при а=0 получим 0х=0 х R, при а 0 х .

Пример №3 : Iхl=а, при а=0 х=0; при а>0 х= а, при а х .

Приведем уравнение к виду: х(а-1)=6;

если а=1, то 0х=6, нет решений;

Ответ: при а 1 х = ; при а=1 нет решений.

1. Более сложные линейные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничением на ОДЗ.

Алгоритм решения таких уравнений:

1. Найти ОДЗ.
2. Решить уравнение относительно х.
3. Определить контрольные значения параметра (к.з.п.)
4. Проверить, нет ли таких значений параметра, при которых значение х было бы равно числу, не входящему в ОДЗ.

1. ОДЗ: х 2
2. К.з.п. а=0.
3. Решим уравнение относительно х:

• При а=0 уравнение имеет вид =3. Уравнение корней не имеет.
• При а 0 уравнение имеет вид а=3(х-2), отсюда х=

1. Проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых х=2, т.е. решим уравнение: =2, а=0 ( т.е. приа=0 нет решений)

Ответ: при а 0 х= ; при а=0 нет решений.

2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на а 0: 2(а-1)х=(х-1)а +5;

2ах -2х – ах = 5 – а;

1. К.з.п. а = 2, т.к. коэффициент при х обращается в 0 при а=2

• Если а=2, то 0х=3, нет решений;
• Если а 2, то х = .

Ответ: при а=2 нет решений; при а 2 и при а 0 х = ; при а=0 уравнение не имеет смысла.

Примечание. Если при каком-нибудь значении параметра а=а 0 данное уравнение не имеет смысла, то нет и решений при а=а 0. Обратное утверждение не верно. Бывает, что при контрольном значении параметра уравнение имеет корни, но они не входят в ОДЗ.

3.Уравнения, сводящиеся к линейным

Пример №1 Решить уравнение: m = +

1. ОДЗ: т 0, х 1.
2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на т(х-1) 0, получим т 2 (х-1) = х – 1 + т – 1;

Х( т 2 – 1) = т 2 + т – 2;

1. К.з.п. т= 1

• Если т=1, то 0х=0, следовательно, х-любое действительное число, где х 1.
• Если т=-1, то 0х=-2, нет решений.
• Если т 1 и т то х= .
• Если т = 0, то нет решений.

1. Проверим, нет ли значений параметра а, при которых найденное значение х равно 1:

= 1, т+2=т+1, 0т=1, нет решений.

Ответ: при т=0 и т=-1 нет решений; при т=1 х (-∞;1) (1;+∞); при т 1 и

Пример №2 Решить уравнение: = .

2)Решим уравнение относительно х: (a+b)х = a – b.

3) К.з.п.: a+b = 0, a = -b.

• Если a = -b, то нет решений.
• Если a -b, то х = .

1. Найдем значения параметров а и b, при которых полученное значение х=1:

1 = , 2b = 0, b = 0. Следовательно, при b = 0 нет решений.

Ответ: при a -b и b 0 х = ; при a = -b и b=0 нет решений.

Пример №3 (МГУ, 2002) При каких значениях параметра b уравнение

9х+ b 2 – (2 — )b — 2 = b 4 х – b 2 (b + ) не имеет корней?

1. ОДЗ: х .
2. Решим уравнение относительно х:

(b 4 – 9)х = b 3 + (1+ ) b 2 – (2 — )b -2 ,

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда

Первое уравнение системы имеет два корня: b 1 = , b 2 = — .

1. Подставим во второе уравнение системы b 1 = , получим: 2 +6 ;

b 2 = — , получим 0=0. Т.е. второму условию удовлетворяет b 1 = .

Ответ: при b= уравнение корней не имеет.

Решить самостоятельно уравнения

1) (а+5)(а-3)х=а 2 — 25 ( при а и а х= ; при а=3 ; при а=-5 х ∊ R)

2) а 2 х = а(х+2) – 2 ( при а и а х= ; при а=0 ∅ ; при а=1 х ∊ R)

3) = — ( при а=-3, а=-2, а=1/2 ∅ ; при а и а х= )

4)1+ = — ( при а и а х= ; при а=-3, а=0, а=1 ∅ )

5) Для каких значений а решение уравнения 10х-15а = 13- 5ах = 2а больше 2? (МГУ, 1982)

• Г.А. Ястребинецкий. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М. Просвещение.1972.
• А.Г. Корянов. Задачи с параметрами. Брянск.2010.
• М.А. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Углубленное изучение математики. М. Просвещение. 1992.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая программа элективного курса по математике 10 класс «Методы решения задач с параметром».

Предлагаемый курс «Методы решения задач с параметром» предназначен для реализации в 10 классах для расширения теоретичес.

Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами

Решение задач с параметрами систематизирует знание основных разделов школьной математики, повышает уровень математического и логического мышления, формирует первоначальные навыки исследовательской дея.

Аналитические методы решения задач с параметрами Составитель: Е.М .Чернова МКОУ КГ№ 1

Одними из наиболее сложных задач для учащихся в курсе математики — это задачи с параметрами, так как требуют от них умения рассуждать логически и анализировать полученные решения. С одной сторон.

Графические методы решения уравнений с параметрами

урок в 11 классе.

Применение различных способов и методов решения задач с параметрами

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, ч.

Основные методы решения задач с параметрами

В действующем формате ЕГЭ по математике (профильный уровень) задания №18 содержат параметры и предполагают исследование свойств различных элементарных функций. Поэтому подготовку к и.

Аналитический способ решения задач с параметром.

Данный материал предназначен для обучающихся 10-11 классов и содержит задания для подготовки к ЕГЭ по теме «Задание №18. Решение задач с параметром». Он направлен на совершенствование умений.

Видео:Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Аналитический методСкачать

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В ПАКЕТАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Кафедра информатики и вычислительной техники

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В ПАКЕТАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Автор работы _____________________________________И. Ю. Добрынькина

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль Информатика. Математика

Руководитель работы_______________________________ Т. В. Кормилицына

Видео:Решение уравнения методом замены переменнойСкачать

Введение

Одним из факторов, определяющих уровень развития современного общества и его интеллектуальные возможности, является оснащенность его средствами вычислительной техники. Сфера использования ЭВМ в настоящее время настолько широка, что нет такой области, где ее применение было бы нецелесообразным.

Развитие вычислительной техники повлекло за собой создание и совершенствование языков программирования, а вследствие этого и программного обеспечения. Однако совершенствование программного обеспечения связано с увеличением его сложности. Поэтому процесс разработки программ становится трудоемким, а их модификация и сопровождение затруднительным.

Традиционная инженерная деятельность связана с решением совокупности разнообразных задач расчета, проведением экспериментов, оформление документации. Развитие современных методов и компьютерной технологии существенно изменяет деятельность специалиста.

В начале 90-х гг. на смену универсальным языкам программирования пришли специализированные системы компьютерной математики (СКМ). Среди них наибольшую известность получили системы Eureka, Mercury, Mathcad, Derive, Mathematica 2/3/4, Maple V R3/R4/R5 и Maple 6 и др.

Научное программное обеспечение и математические пакеты играют важную роль в современном естествознании и технике. Такие пакеты как Axiom, Derive, Maсsyma, Maple, MatLab, MathCAD, Mathematica широко распространились в университетах, исследовательских центрах и компаниях развитых стран. Владение одним или несколькими математическими пакетами и регулярное использование их в работе будь то исследовательская или преподавательская задача быстро становится нормой для специалиста.

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

1. Mathematica . Решение простейших дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений в аналитической форме в пакете Mathematica используется функция DSolve, дифференциальное уравнение 29 относительно функции y(x). Функция y и все ее производные должны быть записаны с аргументом, заключенным в квадратные скобки: y[x], y’[x]

Функция DSolve стремится найти общее решение ДУ в явном виде и выдает результат в виде списка правил замены, причем каждое решение заключается в фигурные скобки. Для ДУ порядка n общее решение содержит n произвольных констант, которые обозначаются C[1], C[2],…,C[n]. Для получения частного решения необходимо в качестве первого аргумента DSolve указать список, состоящий из самого уравнения и начальных или граничных условий:

Найденные с помощью DSolve решения можно подставить в любое выражение, содержащее y(x). Однако это решение не определяет правил замены производных y’(x), y’’(x) и так далее, например:

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Чтобы получить решение, не имеющее этого недостатка, нужно в качестве второго аргумента функции DSolve записать только имя искомой функции, не указывая ее аргумент. В этом случае решение представляется в виде чистой функции («purefunction»-объекта), в котором роль аргумента x, в некоторых случаях, играет символ «#1», а признаком этого объекта является символ «&». Полученное решение можно подставить в любое выражение, содержащее как функцию y(x), так и ее производные:

Для решения систем уравнений в качестве первого аргумента функции указывается список уравнений, а в качестве второго аргумента – список искомых функций:

Если в список уравнений включить необходимое количество начальных или граничных условий, то будет найдено частное решение системы ДУ, не содержащее произвольных постоянных:

Для некоторых уравнений решение может быть выражено через спецфункции, встроенные в пакет Mathematica. Если же DSolve не может найти аналитического решения ДУ, то Mathematica просто перепечатывает введенные данные в выходную ячейку:

В этом случае нужно преобразовать ДУ к более простому виду, используя правила, известные из теории дифференциальных уравнений. Если же аналитически решить уравнение не удается, можно попробовать решить его численно.

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

1.2 Примеры из математического анализа

Разумеется, роль систем символьной математики далеко не исчерпывается приведенными выше примерами. Эти системы способны преобразовывать сложнейшие алгебраические выражения, находить аналитические решения сложных систем линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений, манипулировать со степенными многочленами, вычислять производные и интегралы, анализировать функции, находить их пределы и т. д. Это видно уже из примеров, представленных на рис. 1.6 .

В этих примерах функция D (как приятное исключение из правил, обозначенная одной буквой) вычисляет производную, функция Integrate — интеграл, функция Solve решает нелинейное уравнение (в данном случае квадратное), а функция Series разлагает выражение в ряд относительно заданной переменной и при заданных начальном значении переменной и максимальной степени ряда. В фигурных скобках задаются списки некоторых входных и выходных параметров (аргументов).

Системы символьной математики являются справочниками по многим специальным функциям. При этом они способны давать результаты вычислений в виде специальных функций, что демонстрируют следующие примеры:

Здесь специальные функции получаются в результате вычисления суммы, символьного интегрирования и решения в аналитическом виде дифференциального уравнения. Соответствующие функции будут более подробно описаны в дальнейшем. Обратите внимание на то, что эти примеры даны прямо в тексте книги. Мы будем часто использовать такой прием для представления небольших примеров.

DSolve [Derivative [1] [у] [х] ==2*а*х^3, у[х], х]

DSolve [у» [х] — у’ [х] — 6 у [х] == 0, у [х] , х] <| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]>>

DSolve [у» [х] + 4 у'[х] == 10 Sin [2 х] , у [х] , х]

DSolve[y'[x] == Sin[Ex] , y[x] , x]

DSolvefz2 w»[z] +zw'[z] — (z2 + l)w[z] ==0, w[z], z]

<BesselI[l, z] C[l] +BesselK[l, z] C[2] >>

Как нетрудно заметить, аналитические решения дифференциальных уравнений могут содержать не только элементарные, но и специальные математические функции, что заметно расширяет возможности применения системы Mathematica в решении задач динамического моделирования.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

1. 3 Аналитическое решение дифференциальных уравнений

Общее решение дифференциальных уравнений.

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options),где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение y»+y=x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командой rhs(%).

eq:=: > s:=solve(eq,); s:= Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs: > subs(,s); «>

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

2. Аналитические вычисления в Mathcad

С помощью аналитических вычислений находят аналитические или полные решения уравнений и систем, вычисляют в производные и неопределенные интегралы, а также проводят преобразования сложных выражений (например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить результат в виде некоторой функции. В программе Mathcad при проведении символьных преобразований конкретные значения, присвоенные переменным, игнорируются – переменные рассматриваются как неопределенные параметры.

Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в меню Символика (Symbolics) и продублированы на аналогичной панели инструментов.

Чтобы упростить выражение (или часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать команду Символика > Упростить (Symbolics > Simplify). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и обратную функции. Некоторые действия по раскрытию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды Символика > Раскрыть/Расширить (Symbolics > Expand).

В меню Символика (Symbolics) предусмотрен ряд операций, ориентированных на выделенную переменную, использованную в выражении. Например, команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением. В примере в аналитической форме получены все корни полинома второй степени: сначала применена команда solve для решения, а затем simplify для упрощения результата:

Другие возможности использования этого меню включают:

аналитическое дифференцирование и интегрирование: Символика > Переменная > Дифференцировать (Symbolics > Variable > Differentiate) и Символика > Переменная > Интегрировать (Symbolics > Variable > Integrate);

замена переменной: Символика > Переменная > Подставить (Symbolics > Variable > Substitute) – вместо переменной подставляется содержимое буфера обмена;

Механизм аналитических вычислений можно использовать для аналитического решения уравнений и систем уравнений и неравенств. Для этого задается блок решения Given, в который помещаются уравния и неравенства, а последняя формула блока должна выглядеть как

где в скобках приведен список искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки, направленной вправо:

Отметим, что функция Find пытается найти решение в аналитической форме. В том случае, если до блока Given задать численно значения всех параметров, входящих в уравнения, а также начальные приближения для корней, то получим решение в числовом виде.

Примеры использования функции Find для решения уравнений и систем уравнений различного типа приведены в соответствующих разделах пособия.

Любое аналитическое вычисление можно применить с помощью ключевого слова. Cписок ключевых слов

Видео:Решаем квадратные уравнения аналитическим и графическим способамиСкачать

3. Решение систем дифференциальных уравнений в символьном виде в системе MATLAB

Для решения дифференциальных уравнений в форме Коши MatLAB имеет функцию dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, …), которая возвращает аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями. Они задаются равенствами eqni(вначале задаются уравнения, затем начальные условия).

По умолчанию независимой переменной считается ‘t’ . Можно использовать и другую переменную, включив ее в конец списка параметров функции dsolve. Символ D обозначает производную по независимой переменной, то есть d/dt, при этом D2 означает d^2/dt^2 и т.д.

Начальные условия задаются в виде равенств ‘y(a) = b’ или ‘Dy(a) = b’, где y — независимая переменная, a и b – константы. Если число начальных условий меньше, чем число дифференциальных уравнений, то в решений будут присутствовать произвольные постоянные С1, С2 и т.д. Вывод осуществляется в виде массива записей.

Обратите внимание, что уравнение, которое требуется решить, задано как строка, то есть взято в одинарные кавычки. Ответ представляет собой точное (символьное) решение 1+корень(5). Для получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков. Ввод с командой solve может также быть символьным выражением, но в этом случае программа MATLAB потребует, чтобы правая часть выражения была заключена в скобки, и фактически синтаксис решения уравнения х 2 — Зх = -7 будет выглядеть так:

Ответ представляет собой точное (символьное) решение (3 + корень(19i))/2 (сложные числа, где буква i в ответе ставится для мнимой единицы V-1). Для получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Заключение

В настоящее время научное программирование претерпевает серьезную трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем (Maple, Mathematica, MATLAB, MatCad и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов разных профилей, о чем говорит активное применение математических пакетов в научных исследованиях и в преподавании. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять задания, устраивать демонстрации и гораздо быстрее решать исследовательские и инженерные задачи.

Конечным продуктом исследования выступают публикации, подготовка, распространение и использование которых в настоящее время требует квалифицированного применения компьютера. Это касается редактирования текста, изготовления графических материалов, ведения библиографии, размещения электронных версий в Интернет, поиска статей и их просмотра. Де-факто сейчас стандартными системами подготовки научно-технических публикаций являются различные реализации пакета TeX и текстовый редактор Word. Кроме того, необходимы минимальные знания о стандартных форматах файлов, конверторах, программах и утилитах, используемых при подготовке публикаций.

Математические пакеты Maple и MATLAB — интеллектуальные лидеры в своих классах и образцы, определяющие развитие компьютерной математики. Компьютерная алгебра Maple вошла составной частью в ряд современных пакетов, численный анализ от MATLAB и наборы инструментов (Toolboxes) уникальны. Сами пакеты постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы. Пакет Maple и вычислительная среда MATLAB — мощные и хорошо организованные системы, надежные и простые в работе. Освоение даже части их возможностей даст несомненный эффект, а по мере накопления опыта придет настоящая эффективность от взаимодействия с ними.

В заключение, отметим, что пользователь пакетов компьютерной математики должен иметь представление об основных численных методах. Вообще говоря, появление современных вычислительных систем значительно облегчает доступ к компьютеру непрофессионалам в области программирования, и поддерживает постоянное стремление к их усовершенствованию и освоению новых компьютерных технологий.

Видео:1 Решение задачи графическим и аналитическим методомСкачать

Список литературы

1. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MATLAB. — М.: «Физматлит» , 1993. — С. 112. — ISBN 5-02-015101-7

2. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. — СПб: «Питер» , 1999, 2001. — С. 1296. — ISBN 5-89251-065-4

3. Дьяконов В.П. MATLAB 5 — система символьной математики. — М.: «Нолидж» , 1999. — С. 640. — ISBN 5-89251-069-7

4. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 608. — ISBN 5-318-00667-608

5. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 448. — ISBN 5-318-00359-1

6. Дьяконов В. П. Simulink 4. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 528. — ISBN 5-318-00551-9

7. Дьяконов В . П . MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2002. — С. 768. — ISBN 5-98003-007-7

8. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5 в математике и моделировании. Основы применения. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2003. — С. 576. — ISBN 5-93455-177-9

9. Дьяконов В . П . MATLAB 6.0/6.1/6.5/6.5+SP1 + Simulink 4/5. Обработка сигналов и изображений. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 592. — ISBN 5-93003-158-8

10. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6. Основы применения. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 800. — ISBN 5-98003-181-2

11. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6 в математике и моделировании. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 576. — ISBN 5-98003-209-6

12. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 576. — ISBN 5-98003-206-1

13. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0/7 SP1 + Simulink 5/6. Работа с изображениями и видеопотоками. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 400. — ISBN 5-98003-205-3

14. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0/7 SP1/7 SP2 + Simulink 5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 456. — ISBN 5-98003-255-X

15. Дьяконов В . П . MATLAB R2006/2007/2008 + Simulink 5/6/7. Основы применения. Изд-е 2-е, переработанное и дополненное. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2008. — С. 800. — ISBN 978-5-91359-042-8

16. Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/R2006/2007. Самоучитель. — Москва: «ДМК-Пресс» , 2008. — С. 768. — ISBN 978-5-94074-424-5

17. Дьяконов В.П. SIMULINK 5/6/7. Самоучитель. — Москва: «ДМК-Пресс» , 2008. — С. 784. — ISBN 978-5-94074-423-8

18. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. Полное руководство пользователя. Изд-е 2-е переработанное и дополненное. — Москва: «СОЛОН-Пресс» , 2004. — С. 400. — ISBN 5-98003-171-5

19. Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3- е изд . — М .: « Вильямс » , 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7

20. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В MATLAB 7. Самоучитель.. — Пресс , 2005. — С. 464.

21. Курбатова Екатерина Анатольевна MATLAB 7. Самоучитель. — М.: «Диалектика» , 2005. — С. 256. — ISBN 5-8459-0904-X

22. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк Численные методы. Использование MATLAB = Numerical Methods: Using MATLAB. — 3- е изд . — М .: « Вильямс » , 2001. — С . 720. — ISBN 0-13-270042-5 u

Видео:Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Аналитические методы решения уравнений в частных производных

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К курсовой работе по дисциплине

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

Рецензент – доцент В.В. Луценко

Составитель Бондаренко А.И.

Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Численные методы»/ Сост. А.И. Бондаренко; Шахтинский ин-т (филиал) ЮРГТУ (НПИ). – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2008. — 12 с.

Методические указания содержат теоретический материал, примеры выполнения и требования к оформлению курсовой работы по дисциплине «Численные методы».

Предназначены для студентов второго курса специальностей 230201«Информационные системы и технологии» и 0808001 «Прикладная информатика».

© Шахтинский институт ЮРГТУ, 2008

© Бондаренко А.И., 2008

ВВЕДЕНИЕ

Изучение различных процессов требует наряду с глубоким пониманием физики происходящих явлений совершенного владения современными методами вычислительной математики.

Обычно математическая модель записывается в форме как угодно сложных математических структур и, как правило, получить аналитическое решение такой задачи не удаётся. Приходится использовать численные методы вычислительной математики, реализация которых на ЭВМ требует соответствующего программного обеспечения. Результаты моделирования объекта на ЭВМ позволяют “проиграть” его поведение в самых разных, под­час экстремальных условиях. Значение такого вычислительного экспери­мента трудно переоценить, особенно если натурный эксперимент опасен, дорог или просто невозможен.

Большинство физических процессов можно сформулировать на языке дифференциальных уравнений с частными производными. Производные в этих уравнениях описывают важнейшие физические величины: скорость, ускорение, силу, температуру, трение, ток, потенциал и т.д.). Многие из таких уравнений не имеют аналитического решения и, чтобы их решить, приходится прибегать к численным методам.

В курсовой работе рассматривается одно из самых важных уравнений математической физики — уравнение Лапласа на примере решения задачи Дирихле в заданной плоской области. Отсутствие аналитического решения поставленной задачи требует выбора численного метода и его реализации на ЭВМ.

Курсовая работа является завершающим этапом изучения курса “Численные методы”. Цель курсовой работы:

· систематизация, закрепление и расширение теоретических и практических знаний по компьютерному моделированию типовых вычислительных алгоритмов и анализа полученной информации;

· выявление степени подготовленности студентов к самостоятельной работе в ходе решения поставленных задач.

Аналитические методы решения уравнений в частных производных

Существует целый арсенал методов для решения уравнений в частных производных. Перечислим некоторые аналитические методы решения таких уравнений.

Метод разделения переменных. Уравнение с частными производными с n независимыми переменными сводится к n обыкновенным дифференциальным уравнениям. Решение краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено методом разделения переменных (методом Фурье) лишь для простейших областей (круг, прямоугольник, шар цилиндр и др.).

Метод преобразования координат. Исходное уравнение с частными производными сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению или к другому, более простому уравнению с частными производными с помощью соответствующего преобразования координат (например, поворота координатных осей и т.п.).

Введение новых переменных. Исходное уравнение с частными производными преобразуется к такому уравнению с частными производными для другой неизвестной функции, которое решается легче, чем исходное.

Метод интегральных уравнений. Уравнение с частными производными сводится к интегральному уравнению (уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла).

Вариационные методы. Вместо уравнения с частными производными решается некоторая задача минимизации. Оказывается, что функция, доставляющая минимум некоторому выражению, является решением исходного уравнения.

Метод разложения по собственным функциям. Эти собственные функции находятся как решения так называемой задачи на собственные значения, которые соответствуют исходной задаче для уравнения с частными производными.

Метод функций Грина. Начальные и граничные условия заменяются системой простейших источников, и задача решается для каждого простейшего источника. Полное решение исходной задачи получается в результате суммирования решений для элементарных источников.

🎬 Видео

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Решение неравенства методом интерваловСкачать