Как решать уравнения 3 степени с параметром

Алгебраические уравнения высших степеней с параметрами

Разделы: Математика

1.1. Общая методическая концепция решения уравнений с параметрами

Пусть дано уравнение F(x, a) = 0, (1)

если ставится задача для каждого значения а Как решать уравнения 3 степени с параметромА решить уравнение (1) относительно х, т.е. получить уравнение

то уравнение (1) называется уравнением с неизвестным х и параметром а. А – область изменения параметра. Принято считать, что А – множество действительных чисел. Решить уравнение (1) – значит решить множество уравнений, которые получаются из уравнения (1) при а Как решать уравнения 3 степени с параметромR. Сделать это можно, если по некоторому признаку разбить множество А на подмножества и решить заданное уравнение на каждом из них. Значения а называются контрольными.

1.2. Использование параметра как равноправной переменной

Некоторые уравнения бывает целесообразно решать, рассматривая их как уравнение именно относительно параметра, который фигурирует в условии, а не относительно искомой переменной. Этот путь эффективен, в частности, в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а степень параметра равна двум.

Пример 1. Решить уравнение с параметром.

2x 3 – (а+2)х 2 – ах + а 2 = 0 (1)

Решение: Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно параметра а, переписав его в виде:

а 2 – х(х+1)а – 2х 2 + 2х 3 = 0 (2)

Найдем дискриминант D.

D = х 2 (х+1) 2 – 8(х 3 – х 2 ) = х 4 — 6х 3 + 9х 2 = х 2 (х 2 — 6х + 9) = х 2 (х — 3) 2 .

Найдем корни уравнения (2).

Как решать уравнения 3 степени с параметром; а2 = 2х.

Получим уравнение (а – х 2 + х)(а – 2х) = 0 равносильное исходному уравнению, которое ещё в свою очередь равносильно совокупности

Как решать уравнения 3 степени с параметром

Рассмотрим уравнение х 2 – х – а = 0, D = 1 – 4а.

D = 0 при а = -1/4 один корень х = 1/2

D 0 при а > -1/4 два корня Как решать уравнения 3 степени с параметром

Рассмотрим уравнение х = а/2, при а = -1/4, х = -1/8.

Как решать уравнения 3 степени с параметром

Ответ: при а > -1/4 три корня: х1 = а/2, Как решать уравнения 3 степени с параметром

при а = -1/4 два корня: х1 = -1/8; х 2 = ½

при а 4 – (а+2)х 3 – (а – 1)х 2 + (а 2 – 1) = 0;

  • x 4 + 6х 3 + (4 – 2а)х 2 – (6а + 1)х + а 2 + а = 0;
  • х 3 + (2а – 3)х 2 + (а 2 – 4а + 2)х – а 2 + 2а = 0;
  • х 3 — (2а + 3)х 2 + (а 2 + 4а + 2)х – а 2 – 2а = 0.
  • 1.3. Графический способ решения уравнений с параметрами

    Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно можно выделить и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х; а). Рассмотрим примеры.

    Пример 1. В зависимости от параметра а определить число корней уравнения.

    x 4 – 10х 3 – 2(а — 11)х 2 + 2(5а + 6)х + 2а + а 2 = 0;

    Решение. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно а.

    а 2 + 2а(1 + 5х – х 2 ) + (х 4 – 10х 3 + 22х 2 + 12х) = 0;

    D/4 = 1 + 25х 2 + х 4 + 10х – 10х 3 – 2х 2 – х 4 + 10х 3 – 22х 2 – 12х = х 2 – 2х +1 = = (х – 1) 2

    Найдем а1 и а2 ; а1 = х 2 -5х – 1 + х – 1 = х 2 — 4х – 2;

    а2 = х 2 -5х – 1 — х + 1 = = х 2 – 6х.

    Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Теперь обращаемся к координатной плоскости (х; а).

    х 2 — 4х – 2 = х 2 – 6х, 2х = 2, х = 1, а(1) = -5.

    Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Ответ: если а -5, то четыре решения.

    Упражнения

    Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет три решения.

    1. (х 2 – 12а) 2 – 24х 2 + 32х + 96а = 0;
    2. (2х 2 – а) 2 – 24х 2 + 16х + 4а = 0;
    3. (2х 2 – а) 2 = 13х 2 + 6х – 2а = 0.

    1.4. Использование свойств функций для решения алгебраических уравнений

    На выпускных экзаменах за курс средней школы встречаются уравнения с параметром, решение которых связано с использованием четности функций. Напомним определение четности функции.

    Определение. Функция f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения этой функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат. У четной функции область определения симметрична относительно начала координат.

    Пример 1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

    2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 = 5 иметь 5 корней?

    Решение. Обозначим f(x) = 2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 . f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х0 – тоже, х = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

    Пример 2. При каком значении а уравнение х 10 – а|х| + a 2 – а = 0 имеет единственное решение?

    Решение. Обозначим f(x) = х 10 – а|х| + a 2 – а, f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х0 – тоже. Значит для единственности решения необходимо, чтобы х0 = 0. В этом случае из уравнения получим: a 2 – а = 0, а = 0 или а = 1. Проверим достаточность каждого из полученных значений параметра а,

    при а = 0, х 10 = 0, т.е. х = 0 единственное решение.

    при а = 1, х 10 — |x| = 0. Корнями являются числа ± 1, 0.

    Ответ: при а = 0 уравнение имеет единственное решение.

    Упражнения

    1. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х 6 – х 4 – ах 2 = 1 иметь три корня?
    2. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х 6 – 2ах 4 + 3х 2 = 4 иметь пять корней?
    3. При каком значении а уравнение Как решать уравнения 3 степени с параметромимеет единственное решение?

    1.5. Метод замены

    Как мы уже знаем, что рациональное и быстрое решение уравнения зависит от замены переменной. Рассмотрим примеры, для решения которых нужны специальные замены, которые приводят как раз к быстрому решению уравнений.

    Пример 1. Решить уравнение (х + 2а)(х +3а)(х + 8а)(х + 12а) = 4а 2 х 2 ,

    где а – параметр.

    Решение. Данное уравнение относится к уравнению вида

    (х + а)(х +b)(х + c)(х + d) = Eх 2 (см. п. 2.5 (3))

    Используя специфику решения такого уравнения, будем иметь:

    (х 2 + 14ах +24а 2 )( х 2 + 11ах +24а 2 ) = 4а 2 х 2

    Если а = 0, то х = 0.

    Обратно, если а ≠ 0, то х ≠ 0.

    Разделим обе части этого уравнения на а 2 х 2 , будем иметь

    Как решать уравнения 3 степени с параметром

    В полученном уравнении сделаем подстановку Как решать уравнения 3 степени с параметроми получим уравнение (у + 14)(у + 11) = 4, у 2 + 25у + 150 = 0, у1 = — 15, у2 = — 10.

    Таким образом, получим два уравнения

    Как решать уравнения 3 степени с параметроми Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Решим первое уравнение х 2 + 15ах + 24а 2 = 0, D = 129a 2 , х1,2Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Решим второе уравнение х 2 + 10ах + 24а 2 = 0, D = 4a 2

    х 3 = -6а, х 4 = -4а

    Ответ: если а = 0, то х = 0
    если а ≠ 0, то х1,2Как решать уравнения 3 степени с параметром, х 3 = -6а, х 4 = -4а

    Упражнения

    1. Найдите все действительные значения величины а, при которых уравнение х(х +1)(х + а)(х + 1 + а) = а 2 имеет четыре действительных корня.
    2. Решить уравнение х 4 + а 4 – 3ах 3 + 3а 2 х = 0.
    3. При каких значениях а уравнение (х 2 – 2х) 2 — (а + 2)(х 2 – 2х) + 3а – 3 = 0 имеет четыре корня?
    4. Решить уравнение (х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) = 3а 4

    Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

    Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

    Решение кубических уравнений

    Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

    Видео:8 класс, 39 урок, Задачи с параметрамиСкачать

    8 класс, 39 урок, Задачи с параметрами

    Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

    Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

    x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

    Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

    Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

    Решение

    Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

    2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

    Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

    x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

    Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

    Ответ: x = 3 3 2 6 .

    Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать

    КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примере

    Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

    Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

    A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

    Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

    Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

    Решение

    Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

    5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

    Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

    5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

    Ответ:

    x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

    Видео:Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

    Уравнения с параметром. Алгебра, 8 класс

    Решение кубических уравнений с рациональными корнями

    Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

    Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

    Решение

    3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

    Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

    D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

    Ответ: х = 0 .

    Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

    A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

    Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

    Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

    Решение

    Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

    2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

    Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

    ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

    Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

    1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

    Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

    Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

    x iКоэффициенты многочлена
    2— 11129
    — 0 . 52— 11 + 2 · ( — 0 . 5 ) = — 1212 — 12 · ( — 0 . 5 ) = 189 + 18 · ( — 0 . 5 ) = 0

    2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

    После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

    Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

    Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

    Видео:Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Аналитический методСкачать

    Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Аналитический метод

    Решение кубических уравнений по формуле Кардано

    Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

    После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

    Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

    y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

    Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

    Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

    Решение

    Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

    Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

    Отсюда следует, что

    p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

    Производим подстановку в формулу Кордано и получим

    y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

    — 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

    — 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

    Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

    Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

    Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

    Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

    Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

    Преобразуем при помощи формулы Кордано:

    y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

    x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

    Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

    При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

    Видео:✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис Трушин

    «Формулы Виета как один из способов решения кубических уравнений » (стр. 6 )

    Как решать уравнения 3 степени с параметромИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
    1 2 3 4 5 6

    Как решать уравнения 3 степени с параметром

    из (1): Как решать уравнения 3 степени с параметром; (7)

    из (6) и (7) получим: Как решать уравнения 3 степени с параметром,

    Как решать уравнения 3 степени с параметром,

    Как решать уравнения 3 степени с параметром.

    Если подставить найденные корни в (2) , то получится условие, которому должны удовлетворять коэффициенты для того, чтобы кубическое уравнение имело корни, представляющие арифметическую прогрессию:

    Как решать уравнения 3 степени с параметром.

    Обратно, если имеется указанная связь между коэффициентами кубического уравнения, то его корни будут членами геометрической прогрессии.

    Ответ: а) Как решать уравнения 3 степени с параметром; б) Как решать уравнения 3 степени с параметром.

    Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности способов решения.

    Пример 1. Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Рассмотрим два способа решения:

    Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Как решать уравнения 3 степени с параметромКак решать уравнения 3 степени с параметром

    Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Вывод: Теорема Виета позволяет рациональнее решить это уравнение.

    П р и м е р 2 . Решить уравнение: x 3 – 3x 2 – 13x + 15 = 0 .

    1 способ. Ищем первый корень перебором чисел: 0, Как решать уравнения 3 степени с параметром1, Как решать уравнения 3 степени с параметром2, Как решать уравнения 3 степени с параметром3Как решать уравнения 3 степени с параметром

    и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 1, и получаем:

    Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Теперь, решая квадратное уравнение: x 2 – 2x – 15 = 0, находим оставшиеся два корня: x1 = 3 и x2 = 5 . Ответ : 1; -3; 5.

    Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Вывод: Теорема Виета позволяет рациональнее решить это уравнение.

    Формулы Виета и кубические уравнения с параметром.

    Пример 3. Определить все значения параметра a, при каждом из которых три различных корня уравнения
    x3 + (a2 – 9 a) x 2 + 8ax – 64 = 0 образуют геометрическую прогрессию. Найти эти корни.

    Шаг 1: Составление соотношений Виета.

    Обозначим символами x1, x2 и x3 три различных корня уравнения и выпишем соотношения Виета для кубического уравнения:

    Шаг 2: Использование характеристического свойства геометрической прогрессии.

    Из характеристического свойства геометрической прогрессии вытекает, что (x2)2 = x1x3, и тогда последнее из соотношений Виета дает: (x2)3 = 64, то есть

    x2 = 4. Подставляя полученный корень в исходное уравнение, найдем все возможные значения a:
    43 + 16(a2 – 9 a) + 32a – 64 = 0Как решать уравнения 3 степени с параметромa(a – 7) = 0Как решать уравнения 3 степени с параметромКак решать уравнения 3 степени с параметром.

    Осталось проверить найденные a (все остальные значения a заведомо не удовлетворяют условию): 1) При a = 0 уравнение принимает вид x3 = 64 и не имеет трех различных корней.

    2) При a = 7 уравнение принимает вид x3 – 14 x 2 + 56x – 64 = 0Как решать уравнения 3 степени с параметром(x – 4)( x 2 –10x + 16) = 0Как решать уравнения 3 степени с параметром
    Как решать уравнения 3 степени с параметром(x – 4)(x – 2)(x – 8) = 0 (эти разложения на множители получены делением исходного кубического четырехчлена x3 – 14 x 2 + 56x – 64 на двучлен (x – 4) и разложением частного от деления (x 2 – 10x + 16) на линейные множители). Три его различных корня x1 = 2, x2 = 4 и x3 = 8 образуют геометрическую прогрессию.

    Пример 4. Найти все значения параметров a и b, при которых найдутся два различных корня уравнения
    x3 – 5 x 2 + 7x = a, которые будут также корнями уравнения x3 – 8x + b = 0.

    Шаг 1: Составление соотношений Виета.

    Обозначим символами x1, x2 и u корни первого уравнения и символами x1, x2 и v корни второго уравнения. Существование третьего корня u для первого уравнения и третьего корня v для второго уравнения доказывается делением соответственно многочлена x3 – 5 x 2 + 7xa и многочлена
    x3 – 8x + b на квадратный трехчлен (xx1)(xx2).
    Выпишем формулы Виета для корней первого и второго уравнений:

    Шаг 2: Составление квадратного уравнения на общие корни и его решение. Вычтем из второго уравнения первое, получим:
    Как решать уравнения 3 степени с параметром.
    Числа x1, x2 также являются корнями последнего уравнения, поскольку их подстановка в исходные уравнения приводит к верным числовым равенствам, а тогда верным будет и разность этих числовых равенств. По теореме Виета для квадратного уравнения имеем:

    Как решать уравнения 3 степени с параметром

    Сопоставляя эти соотношения с соотношениями Виета для кубических уравнений получим: u = 2, v = –3. Подставляя x1 + x2 = 3 и u = 2 в полученное на первом шаге соотношение x1x2 + (x1 + x2)u = 7, получим, что x1x2 = 1. Теперь находим значения параметров из соотношений Виета для кубических уравнений: a = x1x2u = 2, b = –x1x2v = 3, а для корней x1, x2 получаем систему уравнений:

    Решив эту систему, получим

    Как решать уравнения 3 степени с параметроми Как решать уравнения 3 степени с параметром.

    При подстановке a = 2, b = 3 заданные уравнения принимают вид:

    x3 – 5 x 2 + 7x = 2 и x3 – 8x + 3 = 0. Вспоминая шаг 2, можно предположить, что общими корнями этих уравнений являются числа

    Как решать уравнения 3 степени с параметроми Как решать уравнения 3 степени с параметром.

    Их подстановка в уравнения подтверждает предположение.

    Материал, представленный в работе, расширяет кругозор учащихся, пополняет теоретические знания и практические навыки по решению уравнений высших степеней.

    В процессе работы над темой «Формулы Виета как один из способов решения кубических уравнений » я

    Изучила литературу по данному вопросу; Познакомилась с понятиями кубический и квадратный трехчлен; Исследовала решения кубических уравнений; Изучила историю поиска корней кубического и квадратного уравнения; Исследовала теорему Виета на применение для решения уравнений высших степеней.

    и пришла к выводу:

    Остаётся ещё много интересных и важных задач, имеющих не только теоретическое, но и сугубо практическое значение. В перспективе я хочу исследовать на применение теоремы Виета в других уравнениях с высшими степенями и изучить историю их открытия.

    1. черки по истории математики. – М.: Мир, 1963.

    2. стория математики от Декарта до середины XIX столетия. – М.: Наука, 1966.

    3. Гариг Тарталья и Кардано о кубических уравнениях и его общественные основы. – М.: Архив истории науки и техники, 1935.

    4. Гордиенко алгебры в Европе в XV–XIX столетиях. Учебное пособие для студентов дневного отделения физико-математического факультета / – Воронежский госпедуниверситет, 2007.

    5. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. и . Т.1. – М.: Наука, 1970.

    6. стория математики в древности. – М.: Наука, 1961.

    7. Из истории алгебры XVI – XVII веков. – М.: Наука, 1979.

    8. Пачоли Лука. Трактат о счетах и записях. – М.: Финансы и статистика, 1983.

    9. Попов задачи. М.: Наука, 1968.

    10. Пресман квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

    11. Родионов по математике для поступающих в вузы: Решение задач с параметрами. – М.: МЦ «Аспект», 1992.

    12. Рыбников математики. – М.: Изд-во МГУ, 1960.

    13. Табачников : Методические разработки для учащихся ОЛ «ВЗМШ» Российской академии образования при МГУ. – М.: Фазис, 1996.

    14. Чистяков о математиках. – Минск: Выш. шк., 1963.

    15. Чистяков задачи по элементарной математике. – Минск: Выш. шк., 1978.

    🔍 Видео

    Сможешь решить уравнение четвертой степени с параметром?Скачать

    Сможешь решить уравнение четвертой степени с параметром?

    Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

    Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnline

    Математика | Кубические уравнения по методу СталлонеСкачать

    Математика | Кубические уравнения по методу Сталлоне

    9 класс. Алгебра. Уравнения с параметрами.Скачать

    9 класс. Алгебра. Уравнения с параметрами.

    9 класс, 7 урок, Задачи с параметрамиСкачать

    9 класс, 7 урок, Задачи с параметрами

    #88. КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ?Скачать

    #88. КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ?

    Задание С5. Показательное уравнение с параметром - bezbotvyСкачать

    Задание С5. Показательное уравнение с параметром - bezbotvy

    9 класс. Алгебра. Уравнение с параметрами.Скачать

    9 класс. Алгебра. Уравнение с параметрами.

    Решение уравнения третьей степени x³-9x-12=0Скачать

    Решение уравнения третьей степени x³-9x-12=0

    Уравнения с параметром. Алгебра 7 класс.Скачать

    Уравнения с параметром. Алгебра 7 класс.

    Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать

    Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭ

    Все уравнения с параметром на РешуЕГЭ. Тотальный разбор 17 номера ЕГЭ по математикеСкачать

    Все уравнения с параметром на РешуЕГЭ. Тотальный разбор 17 номера ЕГЭ по математике

    9 класс. Алгебра. Уравнения с параметромСкачать

    9 класс. Алгебра. Уравнения с параметром

    Простейшие уравнения с параметром #1Скачать

    Простейшие уравнения с параметром #1
    Поделиться или сохранить к себе: