Как решать уравнение с произведением равным нулю (3 видео)

Содержание

Уравнения равные нулю
13 комментариев
В помощь школьнику
Уравнение произведение равно нулю. Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю
Как узнать «в лицо» неполное квадратное уравнение
Определение неполного квадратного уравнения
Решение уравнения
Произведение равно нулю
2 Comments
📺 Видео

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Уравнения равные нулю

Что такое «уравнения равные нулю»?

Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.

Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».

В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как

(множителей может быть больше).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.

Это — уравнение типа «произведение равно нулю».

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:

Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:

Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:

Получили уравнение типа «произведение равно 0». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Корень первого уравнения —

Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).

В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.

Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т.д. уравнениями.

Еще один важный частный случай уравнений, равных нулю, рассмотрим позже.

13 комментариев

Показательное уравнение:
3^((x+2)/(3x-4))-2*3^((5x-10)/(3x-4))-7=0
Корень известен: x=2.
Подскажите, пожалуйста, как найти решение. Преобразовать в квадратное уравнение что-то не получается.

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

В помощь школьнику

Видео:Уравнение в котором произведение множителей равно нулю. Алгебра 7 класс.Скачать

Уравнение произведение равно нулю. Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю

Если один и двух множителей равен 1, то произведение равно другому множителю.

III. Работа над новым материалом.

Объяснить прием умножения для случаев, когда в середине записи многозначного числа есть нули, ученики могут сами: например, учитель предлагает вычислить произведение чисел 907 и 3. Ученики записывают решение в столбик, рассуждая: «Пишу число 3 под единицами.

Умножаю на 3 число единиц: трижды семь – 21, это 2 дес. и 1 ед.; пишу 1 под единицами, а 2 дес. запоминаю. Умножаю десятки: 0 умножить на 3, получится 0, да ещё 2, получится 2 десятка, пишу 2 под десятками. Умножаю сотни: 9 умножить на 3, получится 27, пишу 27. Читаю ответ: 2 721».

Для закрепления материала ученики решают примеры из задания 361 с подробным объяснением. Если учитель видит, что дети разобрались с новым материалом хорошо, то он может предложить краткое комментирование.

Учитель. Будем объяснять решение кратко, называть только число единиц каждого разряда первого множителя, которые умножаете, и результат, не называя какого разряда эти единицы. Умножим 4 019 на 7. Объясняю: 9 умножу на 7, получу 63, 3 пишу, 6 запоминаю. 1 умножаю на 7, получается 7, да еще 6 – это 13, 3 пишу, 1 запоминаю. Ноль умножить на 7, получается ноль, да ещё 1, получу 1, пишу 1. 4 умножу на 7, получу 28, пишу 28. Читаю ответ: 28 133.

Ф и з к у л ь т м и н у т к а

IV. Работа над пройденным материалом.

1. Решение задач.

Задачу 363 учащиеся решают с комментированием. После чтения задачи записывается краткое условие.

Учитель может предложить учащимся решить задачу двумя способами.

О т в е т: 7 245 ц зерна убрал всего.

Задачу 364 дети решают самостоятельно (с последующей проверкой).

1) 42 · 10 = 420 (ц) – пшеницы

2) 420: 3 = 140 (ц) – ячменя

3) 420 – 140 = 280 (ц)

О т в е т: на 280 ц пшеницы больше.

2. Решение примеров.

Задание 365 дети выполняют самостоятельно: записывают выражения и находят их значения.

Учитель. Ребята, что нового узнали на уроке?

Дети. Мы познакомились с новым приемом умножения.

Учитель. Что повторяли на уроке?

Дети. Решали задачи, составляли выражения и находили их значения.

Домашнее задание: задания 362, 368; тетрадь № 1, с. 52, № 5–8.

У р о к 58
Умножение чисел, запись которых
оканчивается нулями

Цели: познакомить с приемом умножения на однозначное число многозначных чисел, оканчивающихся одним или несколькими нулями; закрепить умение решать задачи, примеры на деление с остатком; повторить таблицу единиц времени.

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли это уравнение неполным квадратным уравнением? А как решать неполные квадратные уравнения?

Как узнать «в лицо» неполное квадратное уравнение

Левая часть уравнения есть квадратный трёхчлен , а правая — число 0. Такие уравнения называют полными квадратными уравнениями.

У полного квадратного уравнения все коэффициенты , и не равны 0. Для их решения существуют специальные формулы, с которыми мы познакомимся позднее.

Наиболее простыми для решения являются неполные квадратные уравнения. Это такие квадратные уравнения, в которых некоторые коэффициенты равны нулю .

Коэффициент по определению не может быть равным нулю , так как иначе уравнение не будет квадратным. Об этом мы говорили. Значит, получается, что обратиться в нуль могут только коэффициенты или .

В зависимости от этого существует три вида неполных квадратных уравнений.

1) , где ;
2) , где ;
3) , где .

Итак, если мы видим квадратное уравнение, в левой части которого вместо трёх членов присутствуют два члена или один член , то такое уравнение будет неполным квадратным уравнением.

Определение неполного квадратного уравнения

Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение , в котором хотя бы один из коэффициентов или равен нулю .

В этом определении есть очень важное словосочетание «хотя бы один из коэффициентов … равен нулю «. Это значит, что один или больше коэффициентов могут равняться нулю .

Исходя из этого возможны три варианта : или один коэффициент равен нулю, или другой коэффициент равен нулю, или оба коэффициента одновременно равны нулю. Вот так и получаются три вида неполного квадратного уравнения.

Неполными квадратными уравнениями являются такие уравнения:
1)
2)
3)

Решение уравнения

Наметим план решения этого уравнения. Левую часть уравнения можно легко разложить на множители , так как в левой части уравнения у членов и есть общий множитель , его можно вынести за скобку. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа — нуль.

А затем будет работать правило «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл» . Всё очень просто!

Итак, план решения .
1) Левую часть раскладываем на множители.
2) Пользуемся правилом «произведение равно нулю…»

Уравнения подобного типа я называю «подарок судьбы» . Это такие уравнения, у которых правая часть равна нулю , а левую часть можно разложить на множители .

Решаем уравнение по плану.

1) Разложим левую часть уравнения на множители , для этого вынесем общий множитель , получим такое уравнение .

2) В уравнении мы видим, что слева стоит произведение , а справа нуль .

Настоящий подарок судьбы! Здесь мы, конечно, воспользуемся правилом «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл «.

При переводе этого правила на язык математики получим два уравнения или .

Мы видим, что уравнение распалось на два более простых уравнения, первое из которых уже решено ().

Решим второе уравнение . Перенесём неизвестные члены влево, а известные вправо. Неизвестный член уже стоит слева, мы его там и оставим. А известный член перенесём вправо с противоположным знаком. Получим уравнение .

Мы нашли , а нам надо найти . Чтобы избавиться от множителя , надо обе части уравнения разделить на .

«Параллельность двух прямых» — Доказать, что AB || CD. C – секущая для а и b. ВС – биссектриса угла ABD. Будут ли m || n? Примеры параллельностей в реальной жизни. Параллельны ли прямые? Назовите пары: — накрест лежащих углов; — соответственных углов; — односторонних углов; Первый признак параллельности прямых. Доказать, что АС || BD.

«Два мороза» — Ну, думаю, погоди у меня теперь. Два мороза. А к вечеру встретились опять в чистом поле. Покачал головой Мороз — Синий нос и говорит: — Э, молод ты, брат, и глуп. Пусть, как оденется, да узнает, каков Мороз — Красный нос. Поживи с моё, так узнаешь, что топор лучше шубы греет. Ну, думаю, доберёмся до места, тут я тебя и прихвачу.

«Линейное уравнение с двумя переменными» — Определение: Линейное уравнение с двумя переменными. Алгоритм доказательства, что данная пара чисел является решением уравнения: Приведите примеры. -Какое уравнение с двумя переменными называется линейным? -Что называется уравнением с двумя переменными? Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными.

«Интерференция двух волн» — Интерференция. Причина? Опыт Томаса Юнга. Интерференция механических волн на воде. Длина волны. Интерференция света. Устойчивая интерференционная картина наблюдается при условии когерентности налагающихся волн. Радиотелескоп-интерферометр, расположенный в Нью-Мексико, США. Применение интерференции. Интерференция механических волн звука.

«Признак перпендикулярности двух плоскостей» — Упражнение 6. Перпендикулярность плоскостей. Ответ: Да. Существует ли треугольная пирамида, у которой три грани попарно перпендикулярны? Упражнение 1. Найдите углы ADB и ACB. Ответ: 90о, 60о. Упражнение 10. Упражнение 3. Упражнение 7. Упражнение 9. Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны?

«Неравенства с двумя переменными» — Геометрической моделью решений неравенства является средняя область. Цель урока: Решения неравенств с двумя переменными. 1.Построить график уравнения f(х, у) = 0 . Для решения неравенств с двумя переменными используется графический метод. Окружности разбили плоскость на три области. Неравенство с двумя переменными чаще всего имеет бесконечное множество решений.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Произведение равно нулю

В каком случае произведение равно нулю?

произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю .

С помощью этого правила решают уравнения, в которых произведение нескольких множителей равно нулю. Уравнения вида «Произведение равно нулю» — одни из самых распространенных в математике. Их начинают изучать с 6 класса. В 6 классе множители представляют собой линейные уравнения.

Это уравнение вида «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому приравниваем к нулю каждый из множителей:

5x=0 или 2x-7=0 или 3x+18=0.

Теперь решаем каждое из уравнений. Первое — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Второе и третье — линейные уравнения. Алгоритм решения: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

2x=7 I :2 3x=-18 I :3

Замечания.

1) Это уравнение также можно рассмотреть как произведение четырех множителей:

Рассуждаем так: поскольку произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а первый множитель 5≠0, приравниваем к нулю остальные множители:

x=0 или 2x-7=0 или 3x+18=0.

2) Поскольку перед буквой и перед скобками знак умножения можно не писать, условие уравнений обычно выглядят так:

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

6x-7=o или 5x+9=0 или 4x+11=0 или 9x-6=0

6x=7 I:6 5x=-9 I:5 4x=-11 I:4 9x=6 I:9

x=7/6 x=-9/5 x=-11/4 x=6/9

В первом уравнении получили неправильную дробь. Выделяем из нее целую часть. Во втором и третьем уравнении ответ записываем в виде десятичной дроби. Для этого делим числитель на знаменатель уголком. В четвертом уравнении нужно сократить дробь в ответе

А как узнать, записать ответ в виде обыкновенной или в виде десятичной дроби? Любую ли обыкновенную дробь можно перевести в десятичную? Любую ли десятичную дробь можно перевести в обыкновенную? Об этом мы поговорим в следующий раз.

Видео:10 класс. Решение уравнений sin x = aСкачать

2 Comments

определение наверху неверное, т.к. произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда когда хотя-бы один из них равен нулю, а остальные не теряют смысла.

Мне понравился ход мысли Вашего учителя математики. Она расширила определение, чтобы ученики не забывали проверить, входят ли найденные корни в область допустимых значений уравнения (или неравенства).