Как решать уравнение с косинусом в степени (2 видео)

Задания по теме «Показательно-тригонометрические уравнения»

Открытый банк заданий по теме показательно-тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Содержание

Задание №1168
Условие
Решение
Ответ
Формулы понижения степени в тригонометрии
Формулы понижения степени, их доказательство
Примеры применения формул понижения степени
Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)
📸 Видео

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Задание №1168

Условие

а) Решите уравнение 0,2^-26cdot 0,2^+25=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[ -pi ; frac2right].

Решение

а) Запишем уравнение в виде

5cdot 0,2^-26sqrt 5cdot 0,2^+25=0. После замены t=0,2^ исходное уравнение примет вид 5t^2-26sqrt 5t+25=0. Корни этого уравнения t=5sqrt 5, t=frac1. Возвращаясь к переменной x , получим:

Первое уравнение совокупности не имеет корней. Решая второе уравнение, получим:

x=pm fracpi 3+2pi n, n in mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x=fracpi 3 +2pi k, k in mathbb Z или x=-fracpi 3+2pi n,nin mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства -pi leqslant -frac 3+2pi n leqslant frac2 и -pi leqslant fracpi 3+2pi kleqslant frac2.

Получим: -frac13leqslant nleqslant frac и -frac23leqslant kleqslant frac, откуда следует, что два целых значения n=0 и k=0 удовлетворяют соответствующим неравенствам.

При n=0enspace x=fracpi 3+2picdot 0=fracpi 3.

При k=0enspace x=-fracpi 3+2picdot 0=-fracpi 3.

Итак, fracpi 3 и -fracpi 3 — корни уравнения, принадлежащие промежутку left[ -pi ; frac2right].

Ответ

а) pmfracpi 3+2pi n, nin mathbb Z;

б) -fracpi 3, fracpi 3;

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Формулы понижения степени в тригонометрии

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α — sin 3 α 4 sin 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α и cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin 3 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 — cos 2 α 2 ) 2 = 1 — 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 — 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид

sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

C p q = p ! q ! · ( p — q ) ! — это число сочетаний из p элементов по q .

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 2 2 — k k = 0 n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим

sin 3 α = 1 2 3 — 1 · ∑ ( — 1 ) 3 — 1 2 — k k = 0 3 — 1 2 — k · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( — 1 ) 1 — k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 — 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 — 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 — 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 — 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( — 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 — 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( — sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α — sin 3 α 4

Видео:Решение тригонометрических уравненийСкачать

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .

Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .

По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( — 1 2 ) 8 = 9 16

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .

Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α — sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .

Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.

Видео:12 часов Тригонометрии с 0.Скачать

Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

(blacktriangleright) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: [<Large>] где (ane 0, f(x)) — одна из функций (sin x, cos x, mathrm,x, mathrm, x) ,
то такое уравнение с помощью замены (f(x)=t) сводится к квадратному уравнению.

Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: [begin hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1&& mathrm, alpha cdot mathrm, alpha =1\ &&\ mathrm, alpha=dfrac&&mathrm, alpha =dfrac\&&\ 1+mathrm^2, alpha =dfrac1 && 1+mathrm^2, alpha=dfrac1\&&\ hline end]
формулы двойного угла: [begin hline sin =2sin alphacos alpha & qquad &qquad & cos=cos^2alpha -sin^2alpha\ sin alphacos alpha =dfrac12sin && & cos=2cos^2alpha -1\ & & & cos=1-2sin^2 alpha\ hline &&&\ mathrm, 2alpha = dfrac<2mathrm, alpha><1-mathrm^2, alpha> && & mathrm, 2alpha = dfrac<mathrm^2, alpha-1><2mathrm, alpha>\&&&\ hline end]

Пример 1. Решить уравнение (6cos^2x-13sin x-13=0)

С помощью формулы (cos^2alpha=1-sin^2alpha) уравнение сводится к виду:
(6sin^2x+13sin x+7=0) . Сделаем замену (t=sin x) . Т.к. область значений синуса (sin xin [-1;1]) , то (tin[-1;1]) . Получим уравнение:

(6t^2+13t+7=0) . Корни данного уравнения (t_1=-dfrac76, t_2=-1) .

Таким образом, корень (t_1) не подходит. Сделаем обратную замену:
(sin x=-1 Rightarrow x=-dfrac2+2pi n, ninmathbb) .

Пример 2. Решить уравнение (5sin 2x=cos 4x-3)

С помощью формулы двойного угла для косинуса (cos 2alpha=1-2sin^2alpha) имеем:
(cos4x=1-2sin^22x) . Сделаем эту подстановку и получим:

(2sin^22x+5sin 2x+2=0) . Сделаем замену (t=sin 2x) . Т.к. область значений синуса (sin 2xin [-1;1]) , то (tin[-1;1]) . Получим уравнение:

(2t^2+5t+2=0) . Корни данного уравнения (t_1=-2, t_2=-dfrac12) .

Таким образом, корень (t_1) не подходит. Сделаем обратную замену: (sin 2x=-dfrac12 Rightarrow x_1=-dfrac+pi n, x_2=-dfrac+pi n, ninmathbb) .

Пример 3. Решить уравнение (mathrm, x+3mathrm,x+4=0)

Т.к. (mathrm,xcdot mathrm,x=1) , то (mathrm,x=dfrac1<mathrm,x>) . Сделаем замену (mathrm,x=t) . Т.к. область значений тангенса (mathrm,xinmathbb) , то (tinmathbb) . Получим уравнение:

(t+dfrac3t+4=0 Rightarrow dfrac=0) . Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом:

Сделаем обратную замену:

(blacktriangleright) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: [<Large>] где (ane 0, f(x)) — одна из функций (sin x, cos x, mathrm,x, mathrm, x) ,
то такое уравнение с помощью замены (f(x)=t) сводится к кубическому уравнению.

Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: [begin hline &&&\ sin =3sin alpha -4sin^3alpha &&& cos=4cos^3alpha -3cos alpha\&&&\ hline end]

Пример 4. Решить уравнение (11cos 2x-3=3sin 3x-11sin x)

При помощи формул (sin 3x=3sin x-4sin^3x) и (cos2x=1-2sin^2x) можно свести уравнение к уравнению только с (sin x) :

(12sin^3x-9sin x+11sin x-3+11-22sin^2 x=0) . Сделаем замену (sin x=t, tin[-1;1]) :

(6t^3-11t^2+t+4=0) . Подбором находим, что один из корней равен (t_1=1) . Выполнив деление в столбик многочлена (6t^3-11t^2+t+4) на (t-1) , получим:

((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 Rightarrow) корнями являются (t_1=1, t_2=-dfrac12, t_3=dfrac43) .

Таким образом, корень (t_3) не подходит. Сделаем обратную замену:

(blacktriangleright) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: [I. quad <Large>, quad ane 0,cne 0]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения (x) , при которых (cos x=0) или (sin x=0) . Действительно, если (cos x=0) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: (asin^2 x=0) , откуда следует, что и (sin x=0) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если (cos x=0) , то (sin x=pm 1) .

Аналогично и (sin x=0) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на (cos^2 x) или на (sin^2 x) . Разделим, например, на (cos^2 x) :

Таким образом, данное уравнение при помощи деления на (cos^2x) и замены (t=mathrm,x) сводится к квадратному уравнению:

(at^2+bt+c=0) , способ решения которого вам известен.

Уравнения вида [I’. quad <Large>, quad ane0,cne 0] с легкостью сводятся к уравнению вида (I) с помощью использования основного тригонометрического тождества: [d=dcdot 1=dcdot (sin^2x+cos^2x)]

Заметим, что благодаря формуле (sin2x=2sin xcos x) однородное уравнение можно записать в виде

(asin^2 x+bsin 2x+ccos^2x=0)

Пример 5. Решить уравнение (2sin^2x+3sin xcos x=3cos^2x+1)

Подставим вместо (1=sin^2x+cos^2x) и получим:

(sin^2x+3sin xcos x-4cos^2x=0) . Разделим данное уравнение на (cos^2x) :

(mathrm^2,x+3mathrm,x-4=0) и сделаем замену (t=mathrm,x, tinmathbb) . Уравнение примет вид:

(t^2+3t-4=0) . Корнями являются (t_1=-4, t_2=1) . Сделаем обратную замену:

(blacktriangleright) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: [II.quad <Large>, ane0, bne 0]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения (x) , при которых (cos x=0) или (sin x=0) . Действительно, если (cos x=0) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: (asin x=0) , откуда следует, что и (sin x=0) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если (cos x=0) , то (sin x=pm 1) .

Аналогично и (sin x=0) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на (cos x) или на (sin x) . Разделим, например, на (cos x) :

(a dfrac+b dfrac=0) , откуда имеем (amathrm, x+b=0 Rightarrow mathrm, x=-dfrac ba)

Пример 6. Решить уравнение (sin x+cos x=0)

Разделим правую и левую части уравнения на (sin x) :

(1+mathrm, x=0 Rightarrow mathrm, x=-1 Rightarrow x=-dfrac4+pi n, ninmathbb)

(blacktriangleright) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: [II.quad <Large>, ane0, bne 0, cne 0]

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:

1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества: (<large<sin x=2sincos, qquad cos x=cos^2 -sin^2 ,qquad c=ccdot Big(sin^2 +cos^2 Big)>>) данное уравнение сведется к уравнению (I) :

Пример 7. Решить уравнение (sin 2x-sqrt3 cos 2x=-1)

Распишем (sin 2x=2sin xcos x, cos 2x=cos^2x-sin^2 x, -1=-sin^2 x-cos^2x) . Тогда уравнение примет вид:

((1+sqrt3)sin^2x+2sin xcos x+(1-sqrt3)cos^2x=0) . Данное уравнение с помощью деления на (cos^2x) и замены (mathrm,x=t) сводится к:

((1+sqrt3)t^2+2t+1-sqrt3=0) . Корнями этого уравнения являются (t_1=-1, t_2=dfrac=2-sqrt3) . Сделаем обратную замену:

2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: [begin hline &&&\ sin=dfrac<2mathrm, dfrac2><1+mathrm^2, dfrac2> &&& cos=dfrac<1-mathrm^2, dfrac2><1+mathrm^2, dfrac2>\&&&\ hline end] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно (mathrm, dfrac x2)

Пример 8. Решить то же уравнение (sin 2x-sqrt3 cos 2x=-1)

(dfrac=0 Rightarrow (sqrt3+1)t^2+2t+1-sqrt3=0) (т.к. (1+t^2geqslant 1) при всех (t) , то есть всегда (ne 0) )

Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.

3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
[<large<asin x+bcos x=sqrt,sin (x+phi),>> quad text cos phi=dfrac a<sqrt >]

Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: [begin hline &&&\ sin=sinalphacdot cosbetapm sinbetacdot cosalpha &&& cos=cosalphacdot cosbeta mp sinalphacdot sinbeta\ &&&\ hline end]

Пример 9. Решить то же уравнение (sin 2x-sqrt3 cos 2x=-1)

Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на (sqrt=2) :

(dfrac12sin 2x-dfrac2cos 2x=-dfrac12)

Заметим, что числа (dfrac12) и (dfrac2) получились табличные. Можно, например, взять за (dfrac12=cos dfrac3, dfrac2=sin dfrac3) . Тогда уравнение примет вид:

(sin 2xcos dfrac3-sin dfrac3cos 2x=-dfrac12 Rightarrow sinleft(2x-dfrac3right)=-dfrac12)

Решениями данного уравнения являются:

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.