Как решать уравнение если в степени синус

Формулы понижения степени в тригонометрии

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α — sin 3 α 4 sin 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α и cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin 3 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 — cos 2 α 2 ) 2 = 1 — 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 — 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид

sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

C p q = p ! q ! · ( p — q ) ! — это число сочетаний из p элементов по q .

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 2 2 — k k = 0 n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим

sin 3 α = 1 2 3 — 1 · ∑ ( — 1 ) 3 — 1 2 — k k = 0 3 — 1 2 — k · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( — 1 ) 1 — k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 — 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 — 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 — 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 — 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( — 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 — 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( — sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α — sin 3 α 4

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .

Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .

По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( — 1 2 ) 8 = 9 16

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .

Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α — sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .

Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Задания по теме «Показательно-тригонометрические уравнения»

Открытый банк заданий по теме показательно-тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

Задание №1168

Условие

а) Решите уравнение 0,2^-26cdot 0,2^+25=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[ -pi ; frac2right].

Решение

а) Запишем уравнение в виде

5cdot 0,2^-26sqrt 5cdot 0,2^+25=0. После замены t=0,2^ исходное уравнение примет вид 5t^2-26sqrt 5t+25=0. Корни этого уравнения t=5sqrt 5, t=frac1. Возвращаясь к переменной x , получим:

Первое уравнение совокупности не имеет корней. Решая второе уравнение, получим:

x=pm fracpi 3+2pi n, n in mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x=fracpi 3 +2pi k, k in mathbb Z или x=-fracpi 3+2pi n,nin mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства -pi leqslant -frac 3+2pi n leqslant frac2 и -pi leqslant fracpi 3+2pi kleqslant frac2.

Получим: -frac13leqslant nleqslant frac и -frac23leqslant kleqslant frac, откуда следует, что два целых значения n=0 и k=0 удовлетворяют соответствующим неравенствам.

При n=0enspace x=fracpi 3+2picdot 0=fracpi 3.

При k=0enspace x=-fracpi 3+2picdot 0=-fracpi 3.

Итак, fracpi 3 и -fracpi 3 — корни уравнения, принадлежащие промежутку left[ -pi ; frac2right].

Ответ

а) pmfracpi 3+2pi n, nin mathbb Z;

б) -fracpi 3, fracpi 3;

Видео:Уравнение sinx=aСкачать

Уравнение sinx=a

Методы решения тригонометрических уравнений

Разделы: Математика

Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.

К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.

Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:

сos px = a;sin gx = b;tg kx = c;ctg tx = d.

Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:

1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

sin 2x = 2 sin x cos x;

tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;

ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;

tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);

ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);

2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:

sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;

tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);

ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);

3. Введение вспомогательного аргумента:

рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2 ), cos y = a/v(a 2 + b 2 ), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2 ) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.

4. Формулы сложения и вычитания:

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;

sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

tg (a + b) = ( tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);

tg (a – b) = ( tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);

5. Универсальная тригонометрическая подстановка:

cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + (tg 2 (a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. Некоторые важные соотношения:

sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);

tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).

А также формулы приведения.

В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.

Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.

Ознакомимся с методами решения уравнений:

1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0

2. Однородность уравнений.

3. Разложение на множители.

4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0

5. Замена переменных.

6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.

7. Оценка левой и правой части.

8. Метод пристального взгляда.

9. Введение вспомогательного угла.

10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.

1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.

Решение: Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x

4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0

sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),

т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z,

Ответ: (-1) к+1 Как решать уравнение если в степени синус/6 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z.

2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

решим способом разложения на множители

2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х Как решать уравнение если в степени синусКак решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z,

2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0

cos x = 1/2, tgx = 1,

т.е х = ± Как решать уравнение если в степени синус/3 + 2Как решать уравнение если в степени синусk, k€z, х = Как решать уравнение если в степени синус/4 + Как решать уравнение если в степени синусm, m€z.

Ответ: ± Как решать уравнение если в степени синус/3 + 2Как решать уравнение если в степени синусk, k€z, Как решать уравнение если в степени синус/4 + Как решать уравнение если в степени синусm, m€z.

3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.

Решение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x

tg x = 1 и tg x = 2,

откуда х = Как решать уравнение если в степени синус/4 + Как решать уравнение если в степени синусm, m€z,

х = arctg 2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z.

Ответ: Как решать уравнение если в степени синус/4 + Как решать уравнение если в степени синусm, m€z, arctg 2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z.

4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 4Как решать уравнение если в степени синус2 sin (5x + 6) = 4.

Решение: Метод введения новой переменной

Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 4Как решать уравнение если в степени синус2 sin у = 4

1 – 2 sin 2 у + 4Как решать уравнение если в степени синус2 sin у – 4 = 0

sin у = t, где t€[-1;1]

2t 2 – 4Как решать уравнение если в степени синус2t + 3 = 0

t = Как решать уравнение если в степени синус2/2 и t = 3Как решать уравнение если в степени синус2/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])

sin (5x + 6) = Как решать уравнение если в степени синус2/2,

5x + 6 = (-1) к Как решать уравнение если в степени синус/4 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z,

х = (-1) к Как решать уравнение если в степени синус/20 – 6/5 + Как решать уравнение если в степени синусk/5, k€z.

Ответ: (-1) к ?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0

Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:

х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z, также возможна запись (0; Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk) k€z.

Ответ: (0; Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk) k€z.

6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0

Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”

(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;

(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если

(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:

sin х – 1 = 0, и cos х = 0,

sin х = 1, и cos х = 0, следовательно

х = Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z

Ответ: Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z.

7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.

Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.

– 1 Как решать уравнение если в степени синусsin 5х Как решать уравнение если в степени синус1, и -1 Как решать уравнение если в степени синусsin х Как решать уравнение если в степени синус1

0 Как решать уравнение если в степени синусcos 2 х Как решать уравнение если в степени синус1

0 + 2 Как решать уравнение если в степени синус2 + cos 2 х Как решать уравнение если в степени синус1 + 2

2 Как решать уравнение если в степени синус2 + cos 2 х Как решать уравнение если в степени синус3

sin 5х + sin х Как решать уравнение если в степени синус2, и 2 + cos 2 х Как решать уравнение если в степени синус2

-2 Как решать уравнение если в степени синусsin 5х + sin х Как решать уравнение если в степени синус2, т.е.

sin 5х + sin х Как решать уравнение если в степени синус2,

имеем левая часть Как решать уравнение если в степени синус2, а правая часть Как решать уравнение если в степени синус2,

равенство возможно если, они оба равны 2.

cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно

х = Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z (обязательно проверить).

Ответ: Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z.

8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.

Решение: Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.

(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.

2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,

cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,

2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,

Возникают три случая:

  1. cos х/2 = 0, х/2 = Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z, х = Как решать уравнение если в степени синус+ 2Как решать уравнение если в степени синусk, k€z;
  2. cos 5/2х = 0, 5/2х = Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z, х = Как решать уравнение если в степени синус/5 + 2/5Как решать уравнение если в степени синусk, k€z;
  3. cos х = 0, х = Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z.

Ответ: Как решать уравнение если в степени синус+ 2Как решать уравнение если в степени синусk, Как решать уравнение если в степени синус/5 + 2/5Как решать уравнение если в степени синусk, Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z.

Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5Как решать уравнение если в степени синус, то получим Как решать уравнение если в степени синус+ 2Как решать уравнение если в степени синусn). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х1 = Как решать уравнение если в степени синус/5 + 2/5Как решать уравнение если в степени синусk, х2 = Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.

Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:

sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.

Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.

9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – Как решать уравнение если в степени синус3) = 0.

Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:

2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,

(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.

Получаем два уравнения:

cos 3х + 1 = 0, х = Как решать уравнение если в степени синус/3 + 2/3Как решать уравнение если в степени синусk.

Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2Как решать уравнение если в степени синус. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 Как решать уравнение если в степени синусх 8 х – cos 5 х = 1.

Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 t убывает с ростом t.

Значит, sin 8 х Как решать уравнение если в степени синусsin 2 х, – cos 5 х Как решать уравнение если в степени синусcos 2 х;

Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:

sin 8 х – cos 5 х Как решать уравнение если в степени синусsin 2 х + cos 2 х = 1.

Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,

т.е. sin х может принимать значения -1, 0

Ответ: Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, Как решать уравнение если в степени синус+ 2Как решать уравнение если в степени синусk, k€z.

Для полноты картины рассмотрим ещё пример.

12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.

Решение: Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.

Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:

1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).

Из неравенства D Как решать уравнение если в степени синус0 следует cos 2 3х Как решать уравнение если в степени синус0 или cos 2 3х Как решать уравнение если в степени синус1.

Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.

Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk.

Эти значения х удовлетворяют уравнению.

Если Как решать уравнение если в степени синусcos 3х Как решать уравнение если в степени синус= 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± Как решать уравнение если в степени синус/3 + 2Как решать уравнение если в степени синусk. Эти значения также удовлетворяют уравнению.

Ответ: Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусk, Как решать уравнение если в степени синус/3 + 2Как решать уравнение если в степени синусk, k€z.

13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.

Решение: Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде

1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.

обозначив sin 2х = t, -1 Как решать уравнение если в степени синусt Как решать уравнение если в степени синус1,

получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,

решая которое, находим t1 = 1/2, t2 = – 4

уравнение sin 2х = 1/2

2х = (- 1) к Как решать уравнение если в степени синус/6 + Как решать уравнение если в степени синусk, k€z, х = (- 1) к /Как решать уравнение если в степени синус/12 + Как решать уравнение если в степени синусk /2, k€z .

уравнение sin 2х = – 4 решений не имеет.

Ответ: (- 1) к /Как решать уравнение если в степени синус/12 + Как решать уравнение если в степени синусk /2, k€z .

14. Решить уравнение: sin 9х + sin х = 2.

Решение: Решим уравнение методом оценки. Поскольку при всех значениях а выполнено неравенство sin аКак решать уравнение если в степени синус1,то исходное уравнение равносильно sin х = 1 и sin 9х =1,откуда получаем х = Как решать уравнение если в степени синус/2 + 2Как решать уравнение если в степени синусk, k€z и х = Как решать уравнение если в степени синус/18 + 2Как решать уравнение если в степени синусn, n€z.

Решением будут те значения х, при которых выполнено и первое, и второе уравнение. Поэтому из полученных ответов следует отобрать только х = Как решать уравнение если в степени синус/2 + 2Как решать уравнение если в степени синусk, k€z.

Ответ: Как решать уравнение если в степени синус/2 + 2Как решать уравнение если в степени синусk, k€z.

15. Решить уравнение: 2 cos x = 1 – 2 cos 2 x – v3 sin 2х.

Решение: воспользуемся формулой:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

и перепишем уравнение в виде

2 cos x = – cos 2х – Как решать уравнение если в степени синус3 sin 2х.

Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим уравнение:

2 cos x = – 2 (1/2 cos 2х + Как решать уравнение если в степени синус3/2 sin 2х),

которое можно записать в виде

2 cos x = – 2 (cos а cos 2х + sin а sin 2х),

где очевидно, а = Как решать уравнение если в степени синус/3. Преобразуя правую часть полученного уравнения с помощью формулы:

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

приходим к уравнению

2 cos x = – 2 cos (2х – Как решать уравнение если в степени синус/3),

cos x + cos (2х – Как решать уравнение если в степени синус/3) = 0.

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле:

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2,

cos x + cos (2х – Как решать уравнение если в степени синус/3) = 2 cos (3х/2 – Как решать уравнение если в степени синус/6) cos (Как решать уравнение если в степени синус/6 – х/2) = 0

Это уравнение расщепляется на два уравнения

cos (3х/2 – Как решать уравнение если в степени синус/6) = 0, и

cos (Как решать уравнение если в степени синус/6 – х/2) = 0,

решение которых уже не представляет сколь нибудь значительных трудностей.

Ответ: 2Как решать уравнение если в степени синус/9(2 + 3n), 2Как решать уравнение если в степени синус/3(2 + 3 k), n, k€z.

16. При каких значениях параметра а, уравнение а sin x – 4 cos x = 5, имеет решения?

Решение: преобразуем левую часть уравнения, используя формулу введения дополнительного аргумента:

а sin x – 4 cos x = Как решать уравнение если в степени синус(а 2 + 16) sin (x – y), где y определяется из условий sin y = – 4/Как решать уравнение если в степени синус(а 2 + 16), и cos y = а /Как решать уравнение если в степени синус(а 2 + 16).

Но значение y нас не интересует. Поэтому данное уравнение перепишем в виде

Как решать уравнение если в степени синус(а 2 + 16) sin (x – y) = 5,

sin (x – y) = 5/Как решать уравнение если в степени синус(а 2 + 16), это уравнение имеет решение при условии Как решать уравнение если в степени синус5/Как решать уравнение если в степени синус(а 2 + 16) Как решать уравнение если в степени синус Как решать уравнение если в степени синус1.

Решим это неравенство:

5/Как решать уравнение если в степени синус(а 2 + 16) Как решать уравнение если в степени синус1, обе части умножим на Как решать уравнение если в степени синус(а 2 + 16):

5 Как решать уравнение если в степени синусКак решать уравнение если в степени синус(а 2 + 16),

Как решать уравнение если в степени синус(а 2 + 16) Как решать уравнение если в степени синус5,

а 2 + 16 Как решать уравнение если в степени синус25,

а 2 Как решать уравнение если в степени синус9, или

Как решать уравнение если в степени синуса Как решать уравнение если в степени синус Как решать уравнение если в степени синус3, следовательно

а € (-Как решать уравнение если в степени синус;-3] U [3; Как решать уравнение если в степени синус).

Ответ: (-Как решать уравнение если в степени синус;-3] U [3; Как решать уравнение если в степени синус).

17. При каких значениях параметра а, уравнение 2 sin 2 x + 3 cos (x +2 а) = 5, имеет решения?

Решение: поскольку 0 Как решать уравнение если в степени синусsin 2 x Как решать уравнение если в степени синус1, и -1 Как решать уравнение если в степени синусcos (x +2а) Как решать уравнение если в степени синус1 левая часть уравнения может равняться 5 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

Это означает, что исходное уравнение равносильно системе уравнений sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

sin x = – 1, sin x = 1, cos (x +2 а) = 1;

х = Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусn, n€z, и x +2 а = 2 Как решать уравнение если в степени синуск, к€z;

х = Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусn, и x = – 2 а + 2 Как решать уравнение если в степени синуск;

Как решать уравнение если в степени синус/2 + Как решать уравнение если в степени синусn = – 2 а + 2 Как решать уравнение если в степени синуск;

2 а = 2 Как решать уравнение если в степени синуск – Как решать уравнение если в степени синус/2 – Как решать уравнение если в степени синусn;

а = Как решать уравнение если в степени синуск – Как решать уравнение если в степени синус/4 – Как решать уравнение если в степени синусn/2;

а = – Как решать уравнение если в степени синус/4 + Как решать уравнение если в степени синус/2 (2к – n);

а = – Как решать уравнение если в степени синус/4 + Как решать уравнение если в степени синусm/2, m€z.

Ответ: – Как решать уравнение если в степени синус/4 + Как решать уравнение если в степени синусm/2, где m€z.

Рассмотренные выше примеры лишь иллюстрируют несколько общих рекомендаций, которые полезно учитывать при решении тригонометрических уравнений. Из приведённых примеров видно, что дать общий рецепт в каждом конкретном случае невозможно.

Ежегодно варианты экзаменационных материалов ЕГЭ содержат от 4-х до 6-ти различных задач по тригонометрии. Поэтому параллельно с повторением теоретического материала значительное время должно быть отведено решению конкретных задач, в том числе и тригонометрических уравнений. А умение можно выработать, только получив практические навыки в решении достаточного числа тригонометрических уравнений.

💡 Видео

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по Математике

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачи

10 класс, 27 урок, Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степениСкачать

10 класс, 27 урок, Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных Уравнений

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Уравнение sin x = a. Откуда минус один в степени?Скачать

Уравнение sin x = a. Откуда минус один в степени?

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor online

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.

Уравнение четвертой степениСкачать

Уравнение четвертой степени

10 класс. Решение уравнений sin x = aСкачать

10 класс. Решение уравнений sin x = a

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравнений

Как решать уравнения с дробной степеньюСкачать

Как решать уравнения с дробной степенью

Уравнение sin x = a, формула, примеры решения.Скачать

Уравнение sin x = a, формула, примеры решения.

Решите уравнение ★ cos⁡x+sin⁡x=1 ★ Как решать простые уравнения?Скачать

Решите уравнение ★ cos⁡x+sin⁡x=1 ★ Как решать простые уравнения?

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика
Поделиться или сохранить к себе: