Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

  • Образовательные:
    • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
    • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
  • Воспитательные:
    • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
    • формирование умения анализировать поставленную задачу;
    • способствовать улучшению психологического климата в классе.
  • Развивающие:
    • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
    • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс;
6) sinКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классx = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс;
7) tgx = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класск;
2) х = ± Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс+ 2Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класск;
3) х =± Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс+ 2Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класск;
4) х = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класск;
5) х = (–1) Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс+ Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класск;
6) х = (–1) Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс+ 2Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класск;
7) х = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс+ Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класск;
8) х = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс+ Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класск; к Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классZ.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс= 2 sin Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классcosКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс+ Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класск, к Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классZ или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sinКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс| Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс1
x = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс+ Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класск; к Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классZ.
Ответ: x = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс+ Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класск , к Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классZ.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sinКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс– sin Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс= 2 sin Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класссosКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

cos 3x + 2 sin Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класссos Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс= 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс. Таким образом Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс. Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классне удовлетворяет условию | t |Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс.

Значит sin x = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс. Поэтому Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс.

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс(преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс= – 1, tКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс= Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс. Откуда Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: –Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

№ 168 (а )

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

№ 174 (а )

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Решить уравнение: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класстогда Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классОтсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс, x = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: arctg 2 + Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс,Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классk,Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Учитывая, что Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классиКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс, получим:

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класстакой, что Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Тогда Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс. Тогда получим Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класстакой, что Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс, т.е. Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс= arcsin 0,6. Далее получим Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: – arcsin 0,8 + Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс+ Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

8 способ. Уравнения вида Р Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс. Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс= 1, Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс=Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx = Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений видаКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс, запишем систему, равносильную исходному уравнению:Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Условию Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классудовлетворяют только решенияКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс1, то данное уравнение равносильно системе: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классКак решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Решение системы Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Видео:10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенства

Тригонометрические уравнения

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 классРешение простейших тригонометрических уравнений

Градусы и радианы

Знакомство с тригонометрической окружностью

Повороты на тригонометрической окружности

Как много боли связано со словом тригонометрия. Эта тема появляется в 9 классе и уже никуда не исчезает. Тяжело приходится тем, кто чего-то не понял сразу. Попробуем это исправить, чтобы осветить ваше лицо улыбкой при слове тригонометрия или хотя бы добиться «poker face».

Начнем с того, что как длину можно выразить в метрах или милях, так и угол можно выразить в радианах или градусах .

1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градусов

Но проще запомнить целые числа: 3,14 радиан = 180 градусов. Это все одно и то же значение числа π.

Вспомним, что если нас просят развернуться, то нам нужно повернуться на 180 градусов, а теперь можно так же сказать: Повернись на π!

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

О графиках синуса, косинуса и тангеса поговорим в другой статье.

А сейчас начем с декартовой (прямоугольной) системы координат.

Раньше она помогала строить графики, а теперь поможет с синусом и косинусом.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

На пересечении оси Х и оси Y построим единичную (радиус равен 1) окружность:

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Тогда ось косинусов будет совпадать с х, ось синусов с y. Оси тангенсов и котангенсов также показаны на рисунке.

А теперь отметим основные значения градусов и радиан на окружности.

Давай договоримся с тобой, как взрослые люди: на окружности мы будем отмечать угол в радианах, то есть через Пи.

Достаточно запомнить, что π = 180° (тогда π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

А теперь давай покрутимся на окружности! За начало отчета принято брать крайнюю правую точку окружности (где 0°):

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

От нее задаем дальнейший поворот. Вращаться можем как в положительную сторону (против часовой), так и в отрицательную сторону (по часовой стрелке).

Повернуться на 45° можно двумя спобами: через левое плечо на 45° в (+) сторону, либо через правое плечо на 315° в (-).

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Главное — направление, куда мы будем смотреть, а не угол!

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Нужно направить пунктир на 100 баллов, а сколько оборотов и в какую сторону вокруг себя мы сделаем — без разницы!

Получить 100 баллов можно поворотом на 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°.

А теперь у тебя есть два пути:

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Выучить всю окружность (тригонометр). Неплохой вариант, если с памятью у тебя все отлично, и ничего не вылетит из головы в ответственный момент:

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

А можно запомнить несколько табличных углов и соответствующие им значения, а потом использовать их.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Находите равные углы (вертикальные, соответственные) на тригонометрической окружности. Попасть в любую точку можно с помощью суммы или разности двух табличных значений.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Сразу попробуем разобрать на примере:

1) Помним, что ось cos(x) — это горизонтальная ось. На ней отмечаем значение ½ и проводим перпендикулярную (фиолетовую) прямую до пересечений с окружностью.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

2) Получили две точки пересечения с окружностью, значение этих углов и будет решением уравнения.

Дело за малым — найти эти углы.

Лучше обойтись «малой кровью» и выучить значение синуса и косинуса для углов от 30° до 60°.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Или запомнить такой прием:

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Пронумеруй пальцы от 0 до 4 от мизинца до большого. Угол задается между мизинцем и любым другим пальцем (от 0 до 90).

Например, требуется найти sin(π/2) : π/2 — это большой палец, n = 4 подставляем в формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.

cos(π/4) — ? π/4 соответсвует среднему пальцу (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

При значении cos(x) = ½ из таблицы или с помощью мнемонического правила находим x = 60° (первая точка x = +π/3 из-за того, что поворот происходил против часовой стерелки (+), угол показан черной дугой).

Вторая же точка соответствует точно такому же углу, только поворот будет по часовой стрелке (−). x = −π/3 (угол показан нижней черной дугой).

И последнее, прежде чем тебе, наконец, откроются тайные знания тригонометрии:

Когда требуется попасть в «100 баллов», мы можем в них попасть с помощью поворота на . =-225°=135°=495°=.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

То же самое и здесь! Разные углы могут отражать одно и то же направление.

Абсолютно точно можно сказать, что нужно повернуться на требуемый угол, а дальше можно поворачиваться на 360° = 2π (синим цветом) сколько угодно раз и в любом направлении.

Таким образом, попасть в первое направление 60° можно: . 60°-360°, 60°, 60°+360°.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

И как записать остальные углы, не записывать же бесконечное количество точек? (Хотел бы я на это посмотреть☻)

Поэтому правильно записать ответ: x = 60 + 360n, где n — целое число (n∈Ζ) (поворачиваемся на 60 градусов, а после кружимся сколько угодно раз, главное, чтобы направление осталось тем же). Аналогично x = −60 + 360n.

Но мы же договорились, что на окружности все записывают через π, поэтому cos(x) = ½ при x = π/3 + 2πn, n∈Ζ и x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.

Ответ: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Ζ.

Пример №2. 2sinx = √2

Первое, что следует сделать, это перенести 2-ку вправо => sinx=√2/2

1) sin(x) совпадает с осью Y. На оси sin(x) отмечаем √2/2 и проводим ⊥ фиолетовую прямую до пересечений с окружностью.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

2) Из таблицы sinx = √2/2 при х = π/4, а вторую точку будем искать с помощью поворота до π, а затем нужно вернуться обратно на π/4.

Поэтому вторая точка будет x = π − π/4 = 3π/4, в нее также можно попасть и с помощью красных стрелочек или как-то по-другому.

И еще не забудем добавить +2πn, n∈Ζ.

Ответ: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n − любые целые числа.

Пример №3. tg(x + π/4) = √3

Вроде все верно, тангенс равняется числу, но смущает π/4 в тангенсе. Тогда сделаем замену: y = x + π/4.

tg(y) = √3 выглядит уже не так страшно. Вспомним, где ось тангенсов.

1) А теперь на оси тангенсов отметим значение √3, это выше чем 1.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

2) Проведем фиолетовую прямую через значение √3 и начало координат. Опять на пересечении с окружностью получается 2 точки.

По мнемоническому правилу при тангенсе √3 первое значение — это π/3.

3) Чтобы попасть во вторую точку, можно к первой точке (π/3) прибавить π => y = π/3 + π = 4π/3.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

4) Но мы нашли только y , вернемся к х. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогда x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.

Второй корень: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогда x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

Теперь корни на окружности будут здесь:

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n — любые целые числа.

Конечно, эти два ответа можно объединить в один. От 0 поворот на π/12, а дальше каждый корень будет повторяться через каждый π (180°).

Ответ можно записать и так: π/12 + πn, n∈Ζ.

Пример №4: −10ctg(x) = 10

Перенесем (−10) в другую часть: ctg(x) = −1. Отметим значение -1 на оси котангенсов.

1) Проведем прямую через эту точку и начало координат.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

2) Придется опять вспомнить, когда деление косинуса на синус даст еденицу (это получается при π/4). Но здесь −1, поэтому одна точка будет −π/4. А вторую найдем поворотом до π, а потом назад на π/4 (π − π/4).

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Можно это сделать по-другому (красным цветом), но мой вам совет: всегда отсчитывайте от целых значений пи (π, 2π, 3π. ) так намного меньше шансов запутаться.

Не забываем добавить к каждой точке 2πk.

Ответ: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n — любые целые числа.

Алгоритм решения тригонометрических уравнений (на примере cos(x) = − √ 3/2) :

  1. Отмечаем значение (−√3/2) на оси тригонометрической функции (косинусов, это ось Х).
  2. Проводим перпендикулярную прямую оси (косинусов) до пересечений с окружностью.
  3. Точки пересечения с окружностью и будут являться корнями уравнения.
  4. Значение одной точки (без разницы, как в нее попадете) +2πk.

Азов достаточно, прежде чем идти дальше закрепите полученные знания.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Тригонометрические уравнения. Как решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций.

Если проще: это уравнения, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри синусов , косинусов , тангенсов и котангенсов .

Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.

Как решать тригонометрические уравнения:

Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:

где (t) – выражение с иксом, (a) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими. Их легко решать с помощью числовой окружности ( тригонометрического круга ) или специальных формул:

(sin ⁡x=a) (⇔) ( left[ beginx=arcsin a+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin a+2πl, l∈Zendright.)
если (a∈[-1;1])

Инфографику о решении простейших тригонометрических уравнений смотри здесь: (sinx=a) , (cosx=a) , (tgx=a) и (ctgx=a) .

Пример. Решите тригонометрическое уравнение (sin⁡x=-)(frac).
Решение:

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим оси.
2) Построим окружность.
3) На оси синусов (оси (y)) отметим точку (-) (frac) .
4) Проведем перпендикуляр к оси синусов через эту точку.
5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
6)Подпишем значения этих точек: (-) (frac) ,(-) (frac) .
7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы (x=t+2πk), (k∈Z):
(x=-) (frac) (+2πk), (k∈Z); (x=-) (frac) (+2πn), (n∈Z)

Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в видео .

Внимание! Уравнения (sin⁡x=a) и (cos⁡x=a) не имеют решений, если (a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны (-1) и меньше или равны (1):

Пример. Решить уравнение (cos⁡x=-1,1).
Решение: (-1,1 (frac) , (frac)
7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в (π), то все значения можно записать одной формулой:

Ответ: (x=) (frac) (+πk), (k∈Z).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение (cos⁡(3x+frac)=0).
Решение:

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Опять воспользуемся числовой окружностью.
1) Построим окружность, оси (x) и (y).
2) На оси косинусов (ось (x)) отметим (0).
3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку.
4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
5) Подпишем значения этих точек: (-) (frac),(frac) .
6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к аргументу косинуса (к тому что внутри косинуса).

7) Дальше решать в таком виде несколько трудновато, разобьем уравнение на два.

8) Как обычно в уравнениях будем выражать (x).
Не забывайте относиться к числам с (π), так же к (1), (2), (frac) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации!

Ответ: (x=) (frac) (+) (frac) (x=-) (frac) (+) (frac) , (k∈Z).

Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы , и особые методы решений уравнений:
— Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ).
— Метод разложения на множители .
— Метод вспомогательных аргументов.

Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения

Пример. Решите тригонометрическое уравнение (2cos^2⁡x-5cos⁡x+2=0)
Решение:

Сделаем замену (t=cos⁡x).

Наше уравнение превратилось в типичное квадратное . Можно его решить с помощью дискриминанта .

(D=25-4 cdot 2 cdot 2=25-16=9)

Делаем обратную замену.

Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности.
Второе уравнение не имеет решений т.к. (cos⁡x∈[-1;1]) и двум быть равен не может ни при каких иксах.

Запишем все числа, лежащие на числовой окружности в этих точках.

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Ответ: (x=±) (frac) (+2πk), (k∈Z).

Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:

Пример(ЕГЭ). Решите тригонометрическое уравнение (frac<2cos^2⁡x-sin>) (=0)

Есть дробь и есть котангенс – значит надо записать ОДЗ . Напомню, что котангенс это фактически дробь:

Потому ОДЗ для ctg(x): (sin⁡x≠0).

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности 10 класс

Отметим «нерешения» на числовой окружности.

🔍 Видео

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 класс

Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor online

Тригонометрия в ЕГЭ может быть простойСкачать

Тригонометрия в ЕГЭ может быть простой

Тригонометрия для Чайников, 10 класс, Уравнения, Урок 7Скачать

Тригонометрия для Чайников, 10 класс, Уравнения, Урок 7

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Тригонометрические уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

Тригонометрические уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | Умскул

12 часов Тригонометрии с 0.Скачать

12 часов Тригонометрии с 0.

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часа

Алгебра 10 класс. 29 октября. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА! ЖЕСТЬ!Скачать

Алгебра 10 класс. 29 октября. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА! ЖЕСТЬ!

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по Математике

Вся Тригонометрия для Чайников, 10 класс, урок 1Скачать

Вся Тригонометрия для Чайников, 10 класс, урок 1

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.

3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из Вебиума
Поделиться или сохранить к себе: