Как решать тригонометрические уравнения с параметром

Видео:✓ Параметр с тригонометрией за 10 минут | ЕГЭ-2020. Задание 17. Математика. Профиль | Борис ТрушинСкачать

Тригонометрические уравнения с параметром

Что такое «уравнение с параметром» и его решение – см. §32 справочника для 8 класса

п.1. Уравнения с функцией первого порядка и параметром

Уравнения вида (F(g(x),a)=0), где (g(x)) — некоторая линейная функция от тригонометрической функции, решаются аналогично линейным уравнениям с параметром.
Как решать линейные уравнения с параметром – см. Примеры 5-7, §7 справочника для 7 класса.

п.2. Уравнения с квадратичной функцией и параметром

Уравнения вида (F(g(x),a)=0), где (g(x)) — некоторая квадратичная функция от тригонометрической функции, решаются аналогично квадратичным уравнениям с параметром.
Как решать квадратичные уравнения с параметром – см. §32 справочника для 8 класса

Например:
Решим уравнение ( cos^4x-(a+2)cos^2x-(a+3)=0 )
Замена: (t=cos^2x, 0leq tleq 1): begin t^2-(a+2)t-(a+3)=0\ D=(a+2)^2+4(a+3)=a^2+4a+4+4a+12=a^2+8a+16=(a+4)^2\ t=frac= left[ begin -1\ a+3 end right. end Корень (t_1=-1lt 0) не подходит по определению замены.
Второй корень (t_2=a+3) должен удовлетворять ограничениям: $$ 0leq a+3leq 1Rightarrow -3leq aleq -2 $$ Возвращаемся к исходной переменной: begin cos^2x=a+3Rightarrowfrac=a+3Rightarrow cos2x=2a+5Rightarrow\ Rightarrow 2x=pm arccos(2a+5)+2pi kRightarrow x=pmfrac12 arccos(2a+5)+pi k end Ответ:
При (alt -3cup agt -2) решений нет, , (xin varnothing)
При (-3leq aleq -2, x=pmfrac12 arccos(2a+5)+pi k )

п.3. Другие уравнения с параметрами

При решении других тригонометрических уравнений с параметрами используются тригонометрические преобразования, замены переменных, переход от одного уравнения к системе (совокупности) уравнений и т.п.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнение: a) ( sin3x=asinx )
Формула для тройного угла – см. §16 данного справочника.
(sin3alpha=3sinalpha-4sin^3alpha)
Подставляем: begin 3sinx-4sin^3x=a sinx\ sinx(3-4sin^2x-a=0\ left[ begin sinx=0\ 3-4sin^2x-a=0 end right. Rightarrow left[ begin x=pi k\ sin^2 x=frac end right. Rightarrow left[ begin x=pi k\ frac=frac end right. Rightarrow \ Rightarrow left[ begin x=pi k\ cos2x=frac end right. Rightarrow left[ begin x=pi k\ 2x=pm arccosfrac+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=pi k\ x=pmfrac12 arccosfrac+pi k end right. end Первое семейство решений (x=pi k) существует при любых (a).
Для второго семейства решений действует ограничение: begin -1leqfracleq 1Rightarrow -2leq a-1leq 2 Rightarrow -1leq aleq 3 end Ответ:
При (alt -1cup agt 3) одно семейство решений (x=pi k)
При (-1leq aleq 3) два семейства решений ( left[ begin x=pi k\ x=pmfrac12 arccosfrac+pi k end right. )

б) ( sin^2x-5cosx+a=0 ) begin (1-cos^2x)-5cosx+a=0\ cos^2x+5cosx-(a+1)=0 end Замена: (t=cosx, -1leq tleq 1)
(t^2+5t-(a+1)=0)
(f(t)=t^2+5t-(a+1)) — это парабола ветками вверх с вершиной: begin t_0=-frac52=-2,5,\ f(t_0)=t_0^2+5t_0-(a+1)=6,25-12,5-(a+1)=-6,25-(a+1) end За счет параметра (a) парабола перемещается по вертикали вдоль оси (t_0=-2,5).
Интервал (-1leq tleq 1) лежит справа от оси, т.е. только одно решение квадратного уравнения попадает в этот интервал. Условие существования этого решения (пересечение оси абсцисс) – разные знаки функции на концах интервала: begin f(-1)f(1)leq 0\ left(1-5-(a+1)right)left(1+5-(a+1)right)leq 0\ (a+5)(a-5)leq 0\ -5leq aleq 5 end (D=5^2+4(a+1)=4a+26geq 0Rightarrow ageq -6,5)
Условие (-5leq aleq 5) достаточно для существования решения, при нем (Dgt 0).
Получаем: begin t=frac<-5pmsqrt>Rightarrow cosx=frac<-5pmsqrt>\ x=pm arccosleft(frac<-5pmsqrt>right)+2pi k end Ответ:
При (|a|gt 5) решений нет, (xin varnothing)
При (|a|leq 5, x=pm arccosleft(frac<-5pmsqrt>right)+2pi k )

в) ( 2cos3x+4cos5x=a^2-4a+10 )
Исследуем параболу (f(a)=a^2-4a+10)
(D=16-40=-24lt 0) — парабола всегда положительна
Вершина: (a_0=-frac=2, f(a_0)=2^2-8+10=6)
Таким образом, наименьшее значение функции (f_=f(2)=6).
Для суммы (2cos⁡3x+4cos⁡5x) значение 6 является наибольшим из возможных.
Получаем систему: begin begin 2cos3x+4cos5x=6\ a^2-4a+10=6 end end Нижнее уравнение мы уже решили и получили (a=2).
Решаем верхнее уравнение для максимальных значений косинусов: begin cos3x+2cos5x=3Rightarrow begin cos3x=1\ cos5x=1 end Rightarrow begin 3x=2pi k\ 5x=2pi n end Rightarrow begin x=frac23pi k\ x=frac25pi n end \ frac23pi k=frac25pi nRightarrowfrac=fracRightarrow k=3m, minmathbbRightarrow x=frac23picdot 3m=2pi m end
На чертеже видно, что сумма косинусов достигает максимального значения 6 через каждые (2pi,) т.е. полный оборот.
Ответ:
При (ane 2) решений нет, (xin varnothing)
При (a=2, x=2pi k )

г) ( asin^2x+cos^2x=0 )
(a(1-cos^2x)+cosx=0)
(acos^2x-cosx-a=0)
Замена: (t=cosx, -1leq tleq 1)
(at^2-t-a=0)
При (a=0) квадратное уравнение вырождается в линейное, получаем: begin cos x=0, x=fracpi2+pi k end При (ane 0: D=1+4a^2, t_=frac<1pmsqrt>)
Рассмотрим модуль корня с плюсом: begin |t_2|=frac<1+sqrt>gtfracgt 1 end Таким образом, этот корень не подходит.
Сравним модуль корня с минусом и единицу: begin |t_1|=|frac<1-sqrt>|=frac<sqrt-1> ? 1\ sqrt-1 ? 2|a|\ sqrt ? 2|a|+1\ 1+4a^2leq 4a^2+4|a|+1 end Получаем, что (|t_1|leq 1). Этот корень нам подходит. begin cosx=frac<1-sqrt>\ x=pm arccosleft(frac<1-sqrt>right)+2pi k end Ответ:
При (a=0, x=fracpi2+pi k)
При (ane0, x=pm arccosleft(frac<1-sqrt>right)+2pi k )

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№48 - Тригонометрические уравнения с параметрами.)Скачать

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами: формулы, примеры

Содержание:

Тригонометрический пример с неизвестным – уравнение. Теория относит к данной классификации выражения, в которых искомый коэффициент располагается исключительно под знаком тригонометрического функционала. Алгебра предлагает два варианта решения задачи:

• Параметр высчитывается на основании специальной формулы;
• Используется тригонометрическая окружность для поиска ответа.

С помощью окружности можно измерить угол, определить значение косинуса, синуса, тангенса или котангенса. Чтобы решать тригонометрические уравнения с параметром, необходимо привести выражение к простейшей форме. Важно учитывать допустимый диапазон и ограничения функционала: у = cosx; x = sinx.

Видео:✓ Тригонометрический параметр | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 17. Математика | Борис ТрушинСкачать

Тригонометрические функции с параметрами – когда нужна проверка

Математика – сложный предмет, где после получения решения зачастую необходимо проверять его достоверность. Уравнение необходимо проверить, чтобы убедиться в правильности найденных корней. Анализ проводится в следующих случаях:

• При поиске значения искомого аргумента пришлось возводить в одинаковую степень левую и правую часть выражения;
• Использовалось тригонометрическое преобразование. Допустимый размер области поиска решения расширяется при использовании определенных формул;
• Для нахождения ответа было применено алгебраическое преобразование. Это также способствует увеличению зоны выявления параметров. Ярким примером являются операции по сокращению дробных примеров.

Видео:Тригонометрические уравнения с параметромСкачать

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами – пример

В задаче требуется определить полный перечень допустимых значений , если при них соблюдается условие:

(tgp — 6) 2 — (α 2 — 4α + 10) * ((tgp — 6) — 4α 3 + 10α 2 = 0

Переменная р предусматривает наличие 120 вариантов решения. Установлен полуинтервал: [0, 60π].

Исходя из условия, можно отметить наличие 4 решений для каждого оборота. Допускается пара вариантов функции tg. Необходимое требование для данного задания – положительное значение дискриминанта. Это единственный вариант получения двух корней в квадратном уравнении. Вводим систему:

D = (α 2 — 4α + 10) 2 — 4 * (10α 2 — 4α 3 )
D = (α 2 + (10 — 4α)) 2 — 4α 2 (10 — 4α)
D = α 4 — 2α 2 (10 — 4α + (10 — 4α 2 ) = (α 2 + 4α — 10) 2

Из формулы видно, что значение дискриминанта больше 0. В примере присутствует пара корней. Это обусловлено положительным D. Исключение – если D=0. Необходимо высчитать варианты таких точек, чтобы убрать их при решении задачи. Для этого:
α 2 + 4α — 10 = 0
D = 16 — 4( — 10) = 56
alpha_= frac<-4 mp sqrt > = -2 mp sqrt

Результат указывает на отсутствие отрицательных корней в приведенном задании.
Итого: alpha in (- infin; -2 — sqrt ) cup (-2 — sqrt ; -2 + sqrt ) cup (-2 + sqrt ; + infin;)

Видео:С5. Тригонометрическое уравнение с параметромСкачать

Тригонометрия с параметром – решение сложного уравнения

В задании представлено сложное выражение функции с параметрами. При этом для обозначения неизвестного используется Х, параметр обозначен А. Общий вид примера:

2 * sin 2 x + sin x sin x = A

Для решения необходимо трактовать формулу как пример квадратного уравнения по sin sin x. Требуется введение дополнительного коэффициента [t], меньшего или равного единице. Допускается создание вспомогательного примера с дискриминантом D = 1 + 8α

При 1+8α меньше нуля у вспомогательного и исходного задания отсутствуют решения.

При alpha = — frac мы имеем однокоренную вспомогательную структуру с корнем t = — frac , который отвечает требованиям условия и является отрицательным. В таком случае:

x = (-1)^ arcsin frac + pi n, n in Z.

Третий вариант – α > — frac свидетельствует о наличие двух корней, но только при условии, что дополнительная переменная Т меньше или равна нулю. Рисуем параболу с вершиной у(Т) = 2Т 2 + Т — А. Переменная Т – отрицательная, -0.25. Есть один вариант решения между 1 и -1, при условии, что функция от —1 и 1 больше или равна 0. Функция от Т = 2Т 2 + Т — А.

2 — 1 — А ≥ 0,2 + 1 — А ≥ 0.

Если А ∈ (1; 3], есть 1 ответ между -1 и 1 для вспомогательной формулы. Значение большего корня:

Если, — frac решений между — 1 и 1 будет два:

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Проектная работа по теме Решение тригонометрических уравнений с параметрами
проект по алгебре (11 класс) по теме

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

Видео:Тригонометрические уравнения с параметрамиСкачать

Скачать:

Видео:Тригонометрия в задаче с параметром. Задача 18 профильный ЕГЭСкачать

Предварительный просмотр:

Государственное образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования (повышения квалификации)

специалистов Московской области

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ПОСЛЕДИПЛОМНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математических дисциплин

Особенности методики обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс средней (полной) школы

Решение тригонометрических уравнений с параметрами

МБОУ СОШ №28 г. Мытищи

Алышова Наталья Сергеевна

Сергиев-Посад, 2012 год

Видео:Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Аналитический методСкачать

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

По итогам ЕГЭ-2011 (таблица 1) можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшую трудность у учащихся. Около 87,9% не приступают к выполнению данного типа заданий, а максимальный балл получают только 0,87 %. Это связано с тем, что программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Следовательно, каждый учитель должен сам найти время на уроке для решения таких задач. Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Не приступали (в %)

Приступили, но получили 0 баллов

Положительный результат (в %)

Таблица 1. Средние результаты выполнения заданий С1-С6

Все рассмотренные задания в данной работе имеют цель – помочь учащимся составить представление о тригонометрических уравнениях с параметрами, о том, что значит решить уравнение с ним. В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен его противоречивыми характеристиками. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой, конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Эти противоречивые высказывания точно отражают суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, — степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это, конечно, возможно: разложить рациональное выражение на множители; разложить тригонометрический многочлен на множители; избавиться от модулей, логарифмов и т.д. Затем необходимо еще и еще раз прочитать задание.

Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений

Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

В данной работе рассмативаются тригонометрические уравнения с параметрами и определенные алгоритмы, которые могут помочь в решении столь нелегких заданий.

Итак, рассмотрим уравнение

F ( х, у, . z; α,β, . γ ) = 0 (F)

с неизвестными х, у, . z и с параметрами α,β, . γ ; при всякой допустимой системе значений параметров α 0 ,β 0 , . γ 0 уравнение (F) обращается в уравнение F(х, у, . z; α 0 ,β 0 , . γ 0 ) = 0 ( F 0 )

с неизвестными х, у. z, не содержащее параметров. Уравнение ( Fo ) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти

множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащему параметры, и устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, . z; α,β, . γ) = 0 ( F ), Ф (х, у, . z; α,β, . γ) = 0 ( Ф )

с неизвестным х, у. z и с параметрами α,β, . γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений

параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

Видео:8 класс, 39 урок, Задачи с параметрамиСкачать

Подходы решений тригонометрических уравнений с параметрами

Видео:Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Пример 1. (Введение дополнительных переменных, )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Введем новую переменную: x, t . Тогда данное уравнение принимает вид: t 2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0.

Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a 2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . Так как D≥0, квадратное уравнение имеет решение

Число -1 не принадлежит промежутку таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

0 ≤ а +3 ≤ 1, -3 ≤ а ≤ -2.

Ответ. Уравнение имеет решение при а .

Видео:✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

Пример 2. (Введение дополнительных переменных, )

Найдите все значения параметра р, при которых уравнение

6sin 3 x = p – 10cos2x не имеет корней.

6sin 3 x = p – 10cos2x ;

6sin 3 x + 10cos2x = p;

6sin 3 x + 10(1 – 2sin 2 x) = p;

6sin 3 x – 20sin 2 x + 10 = p.

Введем новую переменную: , t тогда тригонометрическое уравнение примет вид 6t 3 – 20t 2 + 10 = p.

Рассмотрим функцию у = 6t 3 – 20t 2 + 10 и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Определяем критические точки функции:

Число 2 не принадлежит промежутку , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:

у(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

у(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

max y(t) = 10, min y(t) = -16 на отрезке .

Значит, при р исходное уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение 6sin 3 x=p–10Cos2x не имеет корней при р

Видео:11 класс, 34 урок, Задачи с параметрамиСкачать

Пример 3. (Введение дополнительных переменных, )

При каких значениях параметра а выражение 2 + cosx(3cosx + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х?

Другими словами, необходимо найти все значения параметра а, при которых уравнение 2 + cosx(3cosx + asinx)=0 не имеет корней.

2(cos 2 x + sin 2 x) + cosx(3cosx + asinx)=0;

2cos 2 x + 2sin 2 x + 3cos 2 x + asinxcosx = 0;

2sin 2 x + asinxcosx + 5cos 2 x = 0 – однородное уравнение второй степени.

Если бы cosx = 0, то и sinx = 0, что невозможно, так как cos 2 x + sin 2 х = 1, поэтому разделим левую и правую часть однородного уравнения на .

Получим уравнение вида 2tg 2 x + atgx + 5 = 0. Для решения этого уравнения введем новую переменную: t = tgx, t тогда 2t 2 + at + 5 = 0.

Далее можно проводить рассуждения двумя способами.

Найдем сначала множество всех значений параметра а, при которых полученное квадратное уравнение разрешимо. Дополнение этого множества до R и будет искомым ответом.

Квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда D≥0.

D = а 2 – 40, а 2 – 40 ≥ 0, а 2 ≥ 40,

Дополнением этого множества до R является промежуток (-2

Способ 2. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда D

D = a 2 – 40, a 2 – 40 а 2 40,

Ответ. Выражение 2+cosx(3cosx + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х, если a ; ).

Видео:Задачи с параметрами - тригонометрическое уравнение с параметром | Выпуск 1.3Скачать

Пример 4. (Функция задана в виде )

При каких значениях a и b уравнение

имеет единственное решение?

Решение задачи основывается на том факте, что если функция f задана равенством , то условия A=B, C=0 являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнение f(x)=0 имело единственное решение. Таким образом, решение задачи сводится к решению относительно параметров a и b системы:

Из первого уравнения системы находим, что

то приходим к рассмотрению систем

Как легко видеть, решениями второй системы являются все значения параметра а, определяемые равенством

Что же касается первой системы, то она оказывается несовместной. Отсюда с учетом второго уравнения системы поиск требуемых параметров a и b сводится к поиску решений системы:

Ответ здесь очевиден:

Видео:Тригонометрическое уравнение с параметромСкачать

Пример 5. (Применение классических формул)

Найти наибольшее целое значение параметра а , при котором уравнение

cos2x + asinx = 2 a – 7 имеет решение.

Преобразуем заданное уравнение:

cos2x + a sinx = 2 a – 7;

1 – 2sin 2 х + asinx = 2 a – 7;

sin 2 х — a sinx + a – 4 = 0;

Решение уравнения
дает:

Решений нет, или .

Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.

Видео:Тригонометрическое уравнение с параметромСкачать

Пример 6. Применение классических формул

Уравнение легко преобразуется к виду:

Если то и уравнение корней не имеет.

Если Последнее уравнение имеет корни, если

Видео:Сможешь решить уравнение с параметром? Из ЕГЭ 2019Скачать

Пример 7. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

При уравнение решений не имеет.

Видео:Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

Пример 8. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

Если то x – любое число, так как имеем очевидное равенство

Видео:Задание №18. Разбор решения ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО уравнения с ПАРАМЕТРОМ.Скачать

Пример 9. (Вспомогательные преобразования)

Выполняем очевидные преобразования:

Последнее уравнение будет иметь решение если

Видео:ЕГЭ математика профиль. 18 задание. Решение тригонометрических уравнений с параметрами. Часть 2.Скачать

Пример 10. (Графический метод)

Найти все значения а, при которых каждое из уравнений

и имеет хотя бы один корень.

Посмотрим сначала когда первое уравнение имеет корни. С учетом области значений косинуса выражение под корнем всегда положительное. Получаем:

А вот здесь сейчас будет интересно. Казалось бы, все прекрасно, возводим в квадрат и вперед, по стандартной схеме исследуем корни квадратного уравнения. Но не все так просто. Поскольку на наличие корней будет влиять знак произведения, стоящего в правой части.

Можно очень легко выкрутиться из этой ситуации без рассмотрения большого числа случаев. Как всегда на помощь приходят графики.

Рассмотрим функции . Точка пересечения этих графиков должна попасть в отрезок [-1;1] поскольку .

Точка пересечения для возрастающей прямой для убывающей . Не составляет большого труда увидеть, что точка пересечения будет в промежутке от -1 до 1, если

Теперь займемся вторым уравнением. Здесь все проще.

Функция, стоящая в правой части достигает своего наименьшего значения -10 в точке . График функции в левой части представляет собой «перевернутый» график модуля, смещенный по оси абсцисс на величину а.

Для того, чтобы уравнение имело корни, должно быть выполнено условие

Примечание: Второй случай можно разобрать и иначе, выполнив условие, что наименьшее значение функции должно быть неположительным. Для этого надо раскрыть модули всеми возможными способами и составить систему неравенств.

С учетом условия, полученного для первого уравнения, пишем ответ: