Как решать системы уравнений егэ

Систему уравнений можно решать методом подстановки – выражать переменную из одного уравнения и подставлять в другое.

Уравнения в системе можно также складывать друг с другом и вычитать одно из другого. Например, левую часть одного уравнения складываем с левой частью другого, правую – с правой.

Можно умножать и даже делить одно уравнение на другое! Конечно, при этом надо следить, чтобы не умножить или не поделить на ноль.

Обратите внимание – когда мы решаем систему уравнений, она не распадается на «кусочки», на отдельные уравнения. Каждый раз мы переходим от системы уравнений к равносильной ей системе.

1. Решите систему уравнений:

Раскроем скобки в каждом уравнении:

Вычтем из первого уравнения системы второе: . И подставим во второе уравнение.

2. Решите систему уравнений:

Мы разложили левую часть первого уравнения на множители по формуле суммы кубов.

Поделим первое уравнение системы на второе

Подставим в уравнение

3. Решите систему уравнений:

Дальше – цепочка равносильных переходов.

Решения первой системы:

Решим квадратное уравнение . Его корни:
и .

Видео:Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Это полезно

Узнаете, чем отличаются официально-деловой, публицистический, научный, художественный и разговорный стили.

Видео:СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Видео:КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ЕГЭ по информатике. Задание 23Скачать

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Видео:Готовимся к ОГЭ и ЕГЭ. Системы уравнений: метод сложения и вычитанияСкачать

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Видео:Система с тремя переменнымиСкачать

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Видео:СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Как решать системы уравнений с двумя переменными

Видео:Урок 4. Уравнения и системы уравнений. Алгебра ОГЭ . Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое система уравнений с двумя переменными

Системой уравнений в алгебре называется некое условие, смысл которого заключается в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (либо одной) переменных.

Это значит, что система представляет собой комплекс уравнений. Данные равенства могут содержать одну, две или более переменных. Основным условием понятия «система уравнений» является то, что все эти уравнения выполняются в одно время.

Объединить уравнения в систему можно с помощью фигурной скобки:

У р а в н е н и е 1 У р а в н е н и е 2 У р а в н е н и е 3 …

Видео:СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Графический метод решения

Принцип решения систем уравнений графическим способом заключается в построении графиков для каждого уравнения в общей системе координат. Тогда решения системы соответствуют точкам, в которых данные графики пересекаются. После объяснения решения ответ принято записывать, как координаты этих точек.

Разберем наглядный пример. Предположим, что дана некая система уравнений, решать которую нужно графическим способом. Выполним работу последовательно:

1. Запишем систему.
2. Выразим одну из переменных (пусть это будет у).
3. Построим на координатной прямой графики функций.
4. Найдем точки пересечения графиков.

2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7 ⇔ y = 4 — 2 3 x y = 3 x — 7

Заметим, что точка пересечения графиков имеет следующие координаты:

Графический метод решения систем уравнений уступает в точности другим способам. Использовать график целесообразно в том случае, когда в задаче записана система линейных уравнений. Подобные задачи встречаются в средних классах школы. Такие уравнения имеют вид y = a x + b без квадратных членов, а их графики являются прямыми.

Видео:Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YСкачать

Метод подстановки

Алгоритм решения системы уравнений с помощью метода подстановки:

• выражение одной переменной через другие;
• подстановка выражения, которое получилось, в начальные уравнения на место выраженной переменной;
• повторение второго шага до тех пор, пока не будут определены другие переменные.

Рассмотрим последовательность действий на практике. Предположим, что имеется некая система уравнений, которую требуется решить:

2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7

Выразим у из второго уравнения:

Выполним подстановку полученного выражения в первое равенство:

2 x + 3 3 x — 7 = 12

Для полученного уравнения с одной переменной несложно найти корни:

2 x + 3 3 x — 7 = 12

2 x + 3 · 3 x — 3 · 7 = 12

2 x + 9 x — 21 = 12

Зная х, выполним подстановку и найдем у:

y = 3 x — 7 = 3 · 3 — 7 = 2 .

Запишем в ответ значения двух переменных.

Ответ: x = 3 ; y = 2 , либо (3;2).

Видео:Как ЛЕГКО РЕШАТЬ Систему Линейный Уравнений — Метод СложенияСкачать

Метод сложения

При сложении левых частей пары (или более) уравнений выражение, полученное в результате, равно сложенным правым частям этих же равенств, согласно формуле:

a = b c = d ⇒ a + c = b + d

В обратную сторону записанное свойство не работает:

a + c = b + d ◃ ≠ ▹ a = b c = d

Таким образом, при решении систем уравнений можно увеличивать обе части уравнения на одинаковое число. Например, сложим первое уравнение с числом с:

a = b c = d ⇒ a + c = b + c

Исходя из того что c=d, можно выполнить замену c на d справа:

a = b c = d ⇒ a + c = b + c ⇒ a + c = b + d .

В качестве примера попробуем решить систему уравнений:

2 x + y = 12 3 x — y = 3

Следуя правилу, суммируем уравнения. В процессе левые части складываем друг с другом. Аналогичным образом поступим с правыми частями равенств. В результате:

2 x + y = 12 3 x — y = 3 ⇒ 2 x ¯ ¯ + y ¯ + 3 x ¯ ¯ — y ¯ = 15 ⇔ 5 x = 15 ⇔ x = 3 .

Получилось избавиться от переменной у. В итоге задача значительно упростилась. Подставим число 3 на место слагаемого с х:

2 x + y = 12 x = 3 ⇔ 2 · 3 + y = 12 x = 3 ⇔ y = 6 x = 3

В следующем примере система уравнений имеет следующий вид:

2 x + 3 y = 13 4 x + 5 y = 23

Заметим, что с помощью сложения задание не получится упростить. В этом случае можно воспользоваться умножением уравнения на какое-либо число, отличное от нуля. Важно выбрать такой множитель, который позволит избавиться от одной из переменных. В этом случае лучше использовать (-2):

2 x + 3 y = 13 · — 2 4 x + 5 y = 23 ⇔ — 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23

Приступим к сложению:

— 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23 ⇒ — 4 x — 6 y + 4 x + 5 y = — 26 + 23 ⇔ — y = — 3 ⇔

Выполним подстановку у=3 в первое уравнение:

2 x + 3 y = 13 y = 3 ⇔ 2 x + 9 = 13 y = 3 ⇔ x = 2 y = 3

Видео:Как решать систему уравнений методом вариантов Математика ЕГЭСкачать

Задания для самостоятельного решения

Нужно решить систему уравнений:

13 x + 6 y = 7 2 x — 4 y = 6

Выразим х с помощью второго уравнения:

Найти значения переменных:

2 x + 5 y = 10 8 y — 5 x = 57

Из первого равенства выразим х:

2 x + 5 y = 10 2 x = 10 — 5 y

Подставим полученное значение во второе уравнение и запишем ответ.

Дана система уравнений, которую требуется решить:

2 x + 5 y = 10 3 x — 2 y = 1

В данном случае следует умножить первое уравнение на число 2, а второе равенство умножить на число 5:

2 x + 5 y = 10 · 2 3 x — 2 y = 1 · 5 ⇔ 4 x + 10 y = 20 15 x — 10 y = 5

После сложения уравнений остается лишь определить х:

19 x = 25 ⇔ x = 25 19

При подстановке х в какое-либо из двух уравнений можно вычислить у и записать ответ.

Ответ: ( 25 19 ; 28 19 ) .

Требуется найти переменные:

3 y — 4 x = — 13 3 x + 7 y = 56

Здесь следует в первую очередь найти произведение первого уравнения и числа 3, умножить второе уравнение на множитель 4. Далее остается суммировать уравнения и записать ответ.

Нужно решить систему уравнений:

7 x + 3 y = 21 4 y — 5 x = — 15

Множителем для первого уравнения является число 4. Второе уравнение нужно умножить на -3. Полученные равенства следует сложить и записать ответ.

Решить систему уравнений:

6 x — 8 y = — 2 9 x + 10 y = 8

В данном случае предполагается умножение уравнений на дробные числа. Множителем для первого уравнения является дробь 1 4 . Второе уравнение следует умножить на 1 5 :

6 x — 8 y = — 2 · 1 4 9 x + 10 y = 8 · 1 5 ⇔ 6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5

Далее выполним сложение:

6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5 ⇔ 3 2 x + 9 5 x =-0,5+1,6 ⇔ ⇔ 15 10 x + 18 10 x = 1,1 ⇔ 33 10 x = 1 , 1 ⇔ ⇔ 33 = 11 x x = 3

Путем подстановки определим y:

6 3 — 8 y = — 2 x = 3 ⇔ — 8 y = — 4 x = 3 ⇔ y = 2 x = 3

Найти корни следующих систем уравнений:

2 x + 3 y = 11 3 x + 2 y = 9

3 x — y = 85 5 x + 2 y = 17

x — 3 y = 6 2 y — 5 x = — 4

y 4 — x 5 = 6 x 15 + y 12 = 0

y — x = 5 x + 3 y = 3

Ответ: (1; 3), (17; -34), (0; -2), (-15; 12), (-3; 2).

🔥 Видео

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Когда начинать готовиться к ЕГЭ?Скачать

ОГЭ задача 21 (системы уравнений) #3Скачать

МЕТОД ГАУССА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Системы уравнений 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать