Как решать неполные уравнения алгебра 8 класс

8.2.1. Решение неполных квадратных уравнений

I. ax 2 =0неполное квадратное уравнение (b=0, c=0). Решение: х=0. Ответ: 0.

Решить уравнения.

Пример 1. 2x·(x+3)=6x-x 2 .

Решение. Раскроем скобки, умножив на каждое слагаемое в скобках:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; переносим слагаемые из правой части в левую:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; приводим подобные слагаемые:

3x 2 =0, отсюда x=0.

Ответ: 0.

II. ax 2 +bx=0 неполное квадратное уравнение (с=0). Решение: x (ax+b)=0 → x1=0 или ax+b=0 → x2=-b/a. Ответ: 0; -b/a.

Пример 2. 5x 2 -26x=0.

Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:

х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:

х=0 или 5х-26=0 → 5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем: х=5,2.

Ответ: 0; 5,2.

Пример 3. 64x+4x 2 =0.

Решение. Вынесем общий множитель за скобки:

4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х=0. Из последнего равенства получим х=-16.

Ответ: -16; 0.

Пример 4. (x-3) 2 +5x=9.

Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений раскроем скобки:

x 2 -6x+9+5x=9; преобразуем к виду: x 2 -6x+9+5x-9=0; приведем подобные слагаемые:

x 2 -x=0; вынесем х за скобки, получаем: x (x-1)=0. Отсюда или х=0 или х-1=0 → х=1.

Ответ: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 неполное квадратное уравнение (b=0); Решение: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Если (-c/a) 0, то имеем два действительных корня:

Как решать неполные уравнения алгебра 8 класс

Пример 5. x 2 -49=0.

Решение.

x 2 =49, отсюда x=±7. Ответ: -7; 7.

Видео:АЛГЕБРА 8 класс : Решение неполных квадратных уравнений | ВидеоурокСкачать

АЛГЕБРА 8 класс : Решение неполных квадратных уравнений | Видеоурок

Неполные квадратные уравнения

Как решать неполные уравнения алгебра 8 класс

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?Скачать

МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D 0, есть два различных корня.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 класс

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

  • ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax² + c = 0, при b = 0;
  • ax² + bx = 0, при c = 0.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№27 - Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№27 - Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.)

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Как решать неполные уравнения алгебра 8 класс

Пример 1. Решить −5x² = 0.

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса!

Видео:Как решать неполные квадратные уравнения. Алгебра 8 классСкачать

Как решать неполные квадратные уравнения. Алгебра 8 класс

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax² = — c,
  • разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

  • не имеет корней при — c/а 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 9:

  • В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
  • Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

    Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

      Перенесем свободный член в правую часть:

    Разделим обе части на -1:

    Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

    Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

    Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполные

    Как решить уравнение ax² + bx = 0

    Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

    Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

    Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

    Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

    Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

    Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

      Вынести х за скобки

  • Это уравнение равносильно х = 0 и 2x — 32 = 0.
  • Решить линейное уравнение:

  • Значит корни исходного уравнения — 0 и 16.
  • Ответ: х = 0 и х = 16.

    Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

    Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

    Видео:РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. §19 алгебра 8 классСкачать

    РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. §19  алгебра 8 класс

    Неполные квадратные уравнения

    Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

    в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

    ax 2 + bx = 0,если c = 0;
    ax 2 + c = 0,если b = 0;
    ax 2 = 0,если b = 0 и c = 0.

    Видео:НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8 классСкачать

    НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8 класс

    Решение неполных квадратных уравнений

    Чтобы решить уравнение вида ax 2 + bx = 0 , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:

    Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

    Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы

    x = —b.
    a

    Следовательно, уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

    x1 = 0 и x2 = —b.
    a

    Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

    Пример 1. Решите уравнение:

    a 2 — 12a = 0
    a(a — 12) = 0
    a1 = 0a — 12 = 0
    a2 = 12

    Пример 2. Решите уравнение:

    7x 2 = x
    7x 2 — x = 0
    x(7x — 1) = 0
    x1 = 07x — 1 = 0
    7x = 1
    x2 =1
    7

    Чтобы решить уравнение вида ax 2 + c = 0 , надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:

    ax 2 = —c, следовательно, x 2 = —c.
    a

    В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

    Если данное неполное уравнение будет иметь вид x 2 — c = 0 , то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

    В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

    Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

    Пример 1. Решите уравнение:

    24 = 2y 2
    24 — 2y 2 = 0
    -2y 2 = -24
    y 2 = 12
    y1 = +√ 12y2 = -√ 12

    Пример 2. Решите уравнение:

    b 2 — 16 = 0
    b 2 = 16
    b1 = 4b2 = -4

    Уравнение вида ax 2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax 2 = 0 следует, что x 2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

    📹 Видео

    Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

    Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

    РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ЗА 5 СЕКУНДСкачать

    РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ЗА 5 СЕКУНД

    Неполные квадратные уравнения. Урок 15. Алгебра 8 классСкачать

    Неполные квадратные уравнения. Урок 15. Алгебра 8 класс

    Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

    Квадратное уравнение. 8 класс.

    Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

    Квадратные уравнения #shorts  Как решать квадратные уравнения

    Квадратные уравнения решение неполных квадратных уравнений – 8 класс алгебраСкачать

    Квадратные уравнения решение неполных квадратных уравнений – 8 класс алгебра

    Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

    Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0

    Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

    Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | Математика

    Теорема Виета за 30 сек🦾Скачать

    Теорема Виета за 30 сек🦾

    Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

    Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | Математика

    МАТЕМАТИКА 8 класс - Полные Квадратные Уравнения. Как решать Полные Квадратные Уравнения?Скачать

    МАТЕМАТИКА 8 класс - Полные Квадратные Уравнения. Как решать Полные Квадратные Уравнения?

    Как решать Квадратные Уравнения по АЛГЕБРЕ 8 класс // Метод Переброски // Урок Математики 8 классСкачать

    Как решать Квадратные Уравнения по АЛГЕБРЕ 8 класс // Метод Переброски // Урок Математики 8 класс
    Поделиться или сохранить к себе: