Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Вычисление пределов. Пределы с неопределенностью

Прежде чем рассказать о вычислении пределов с неопределенностью, хочется верить, что у вас уже есть понимание того, что такое предел и как вычислить элементарные пределы. Если такого понимания нет, то сначала прочитайте статью «Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов».
Теперь перейдем к рассмотрению пределов с неопределенностью.

Существует группа пределов, когда x Как решать лимиты с квадратными уравнениямиКак решать лимиты с квадратными уравнениями, а функция представляет собой дробь, подставив в которую значение х = Как решать лимиты с квадратными уравнениямиполучим неопределенность вида Как решать лимиты с квадратными уравнениями.

Необходимо вычислить предел Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Воспользуемся нашим правилом №1 и подставим Как решать лимиты с квадратными уравнениямив функцию. Как видно мы получаем неопределенность Как решать лимиты с квадратными уравнениями.

В числителе находим х в старшей степени, которая в нашем случае = 2:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

То же самое проделаем со знаменателем:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Здесь также старшая степень = 2.

Далее надо из двух найденных степеней выбрать самую старшую. В нашем случае степень числителя и знаменателя совпадают и =2.

Итак, для раскрытия неопределенности Как решать лимиты с квадратными уравненияминам потребуется разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени, т.е. на x 2 :

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Существуют также пределы с другой неопределенностью — вида Как решать лимиты с квадратными уравнениями. Отличие от предыдущего случая лишь в том, что х стремится уже не к Как решать лимиты с квадратными уравнениями, а к конечному числу.

Необходимо вычислить предел Как решать лимиты с квадратными уравнениями.

Снова воспользуемся правилом №1 и подставим в место х число -1:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Мы получили неопределенность Как решать лимиты с квадратными уравнениями, для раскрытия которой необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, для чего в свою очередь обычно решается квадратное уравнение или используются формулы сокращенного умножения.

В нашем случае решаем уравнение:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Как решать лимиты с квадратными уравнениями.

Если корень не извлекается целый вероятней всего D вычислен неправильно.

Теперь находим корни уравнения:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

В знаменателе у нас х + 1, что итак является простейшим множителем.

Тогда наш предел примет вид:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

х + 1 красиво сокращается:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Теперь подставим вместо х значение -1 в функцию и получаем:

Рассмотрим основные положения, применяемые при решении различного рода задач с пределами:

    Предел суммы 2-х или более функций равен сумме пределов этих функций:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

За знак предела можно выносить постоянный коэффициент:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Предел произведения 2-х и более функций равен произведению пределов этих функций ( последние должны существовать):

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Предел отношения 2-х функций равен отношению пределов этих функций (в том случае, если предел знаменателя Как решать лимиты с квадратными уравнениями0:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Степень функции, находящейся под знаком предела, применима к самому пределу этой функции (степень должна быть действительным числом):

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

На этом с вычислением пределов с неопределенностью всё. Еще в статье «Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел» мы отдельно рассматриваем интересную группу пределов. Статья вставит еще один блок для решения большинства пределов, встречающихся не просторах обучения.
Если у вас появились какие то вопросы по вычислению пределов с неопределенностью, то задавайте их в комментариях. Будем рады ответить.

Заметка: Если не хватает времени на учебу, вы можете заказать контрольную работу (http://forstuds.ru/kontrolnaya-rabota-na-zakaz), учтите правда наличие знаний по теме у вас после этого.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Вот с фразы «Воспользуемся нашим правилом №1» поподробнее пожалуйста. У вас есть отдельный список таких правил? Хочу себе сделать как бы карманный мини справочник, чтобы всегда был под рукой.

Я так и не понял как вы числитель разложили, будто колоду карт раскидали и все)

Видео:27. Вычисление предела функции №1. Примеры 1-4Скачать

27. Вычисление предела функции №1. Примеры 1-4

Что такое предел функции

В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.

Видео:Предел функции на бесконечности. 10 класс.Скачать

Предел функции на бесконечности. 10 класс.

Определение предела функции

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.

Запись предела:

  • предел обозначается значком lim;
  • под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x , но не обязательно, например: “ x →1″;

Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.

x →1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).

Видео:Вычислить предел. Пример 1.Скачать

Вычислить предел. Пример 1.

Решение пределов

С заданным числом

Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x →1):

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).

С бесконечностью

В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Если x →∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:

  • 3 – 1 = 2
  • 3 – 10 = -7
  • 3 – 100 = -97
  • 3 – 1000 – 997 и т.д.

Другой более сложный пример

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.

Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция неограниченно растет.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.

Пример: давайте вычислим предел ниже.

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:

1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.

В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.

Пример: Найдем предел функции ниже.

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.

В нашем случаем корнями выражения в числителе () являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: .

Знаменатель () изначально является простым.

3. Получаем вот такой видоизмененный предел:

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

4. Дробь можно сократить на ():

Как решать лимиты с квадратными уравнениями

5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Предел по-шагам

Видео:Матан. Пределы для успешной сдачи зачёта | TutorOnline МатематикаСкачать

Матан. Пределы для успешной сдачи зачёта | TutorOnline Математика

Результат

Примеры пределов

  • Пределы от рациональных дробей на бесконечности
  • Пределы от рациональных дробей в конечной точке
  • Пределы от дроби в нуле
  • Первый замечательный предел
  • Второй замечательный предел
  • Пределы с квадратными корнями
  • Правило Лопиталя

Указанные выше примеры содержат также:

  • квадратные корни sqrt(x),
    кубические корни cbrt(x)
  • тригонометрические функции:
    синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
  • показательные функции и экспоненты exp(x)
  • обратные тригонометрические функции:
    арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
  • натуральные логарифмы ln(x),
    десятичные логарифмы log(x)
  • гиперболические функции:
    гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
  • обратные гиперболические функции:
    asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
  • число Пи pi
  • комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

🔥 Видео

Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

36. Вычисление пределов функций с использованием 2-го замечательного пределаСкачать

36. Вычисление пределов функций с использованием 2-го замечательного предела

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Математика без Ху!ни. Пределы, часть1. Неопределенность, раскрытие неопределенностей.Скачать

Математика без Ху!ни. Пределы, часть1.  Неопределенность, раскрытие неопределенностей.

Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные УравненияСкачать

Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные Уравнения

Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математика

28. Вычисление пределов функций №2. Неопределенность 0/0, заданная отношением двух многочленов.Скачать

28. Вычисление пределов функций №2. Неопределенность 0/0, заданная отношением двух многочленов.

13. Вычисление предела последовательности ( предел с корнями и степенями ), примеры 5 и 6.Скачать

13. Вычисление предела последовательности ( предел с корнями и степенями ), примеры 5 и 6.

33. Вычисление пределов функций. Первый замечательный пределСкачать

33. Вычисление пределов функций. Первый замечательный предел

Математика без Ху!ни. Первый Замечательный Предел.Скачать

Математика без Ху!ни. Первый Замечательный Предел.

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

Квадратные уравнения #shorts  Как решать квадратные уравнения

29. Вычисление пределов функции №4. Неопределенность 0/0 с корнями.Скачать

29. Вычисление пределов функции №4. Неопределенность 0/0 с корнями.

30. Вычисление предела функции. Неопределенность 0/0 с корнямиСкачать

30. Вычисление предела функции. Неопределенность 0/0 с корнями
Поделиться или сохранить к себе: