- Квадратные неравенства. Как решать квадратные неравенства?
- Квадратными неравенствами называют неравенства, которые можно привести к виду (ax^2+bx+c) (⋁) (0), где (a),(b) и (с) — любые числа (причем (a≠0)), (x) – неизвестная переменная, а (⋁) – любой из знаков сравнения ((>),( к вадратные уравнения , но со знаком сравнения вместо знака равно. Примеры:
- Как решать квадратные неравенства?
- Метод интервалов, решение неравенств
- Определение квадратного неравенства
- Решение неравенства графическим методом
- Решение неравенства методом интервалов
- Плюс или минус: как определить знаки
- Квадратные неравенства
- Квадратные неравенства имеют вид.
- Как решать квадратные неравенства?
- You may also like:
- Определение числовой функции. Область определения функции. Область значения функции.
- Определение функции. Способы задания функции.
- Линейные неравенства.
- Нужен репетитор по математике (алгебре) или геометрии?
- Добавить комментарий Отменить ответ
- Свежие записи
- 📺 Видео
Видео:Решение квадратных неравенств графическим методом, если дискриминант равен нулю. 8 класс.Скачать
Квадратные неравенства. Как решать квадратные неравенства?
Квадратными неравенствами называют неравенства, которые можно привести к виду (ax^2+bx+c) (⋁) (0), где (a),(b) и (с) — любые числа (причем (a≠0)), (x) – неизвестная переменная, а (⋁) – любой из знаков сравнения ((>),( к вадратные уравнения , но со знаком сравнения вместо знака равно.
Примеры:
Видео:Отрицательный дискриминантСкачать
Как решать квадратные неравенства?
Квадратные неравенства обычно решают методом интервалов . Ниже приведен алгоритм, как решать квадратные неравенства с дискриминантом больше нуля. Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.
Приведите неравенство к виду (ax^2+bx+c⋁0).
Примеры:
(x^2-6x-16 корни (x_1) и (x_2). Затем запишите исходное выражение в виде (a(x-x_1 ) (x-x_2 )) Подробнее об этом можно почитать здесь .
(x^2-6x-16=0) (-9x^2+x+8=0)
(D=36-4 cdot 1 cdot (-16)=100=10^2) (D=1-4 cdot (-9) cdot 8=289)
(x_1=frac=-2) (x_1=frac=frac=-frac) (x_2=frac=8) (x_2=frac=frac=1)
((x-8)(x+2) )) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком (≤) или (≥)), то точки должны быть закрашены.
Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.
В первом справа интервале поставьте:
(-) знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число
(-) знак минус если перед скобками стоит знак минус.
В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.
Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки :
(-) со знаком «(+)», если в неравенстве стояло «(>0)» или «(≥0)»
(-) со знаком «(-)», если в неравенстве стояло «( )) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде ((x_1;x_2)) – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства ((≤) или (≥)) — границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде ([x_1;x_2]), с квадратными скобками на точках.
Видео:Решение квадратных неравенств графическим методом, если дискриминант меньше нуля. 8 класс.Скачать
Метод интервалов, решение неравенств
О чем эта статья:
Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Определение квадратного неравенства
Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
где x — переменная,
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
- графический метод;
- метод интервалов.
Видео:Отрицательный дискриминант в квадратном неравенстве. Теория 1Скачать
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
- D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
- D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;
- D 2 + bx + c.
Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.
Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.
Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.
Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!
Видео:Дискриминант меньше нуляСкачать
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, 2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.
Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней. 
Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.
Если неравенство со знаком 2 + 4x — 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).
Определим знак трехчлена x 2 + 4x — 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:
- 2 2 + 4 * 2 — 5 = 4 + 8 — 5 = 7.
7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.
Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:
- 0 2 + 4 * 0 — 5 = 0 + 0 — 5 = -5.
Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.
Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:
- (-6) 2 + 4 * (-6) — 5 = 36 — 24 — 5 = 7.
Следовательно, искомый знак — плюс.
Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:
Видео:6. Квадратное уравнение. Дискриминант равен нулю.Скачать
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
если a 0, последовательность знаков: +, +,
если a 2 — 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x 2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.
- Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
- Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
- Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D
Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 — 5x + 6 ≥ 0.
Приравняем квадратный трехчлен к 0 и найдем нули:
x 2 — 5x + 6 = 0
(x — 3) (x -2) = 0
x — 3 = 0
x — 2 = 0
x = 3
x = 2
Отметим полученные значения на числовой прямой:
Расставим знаки на полученных промежутках:
Ответ: х ≤ 2, х ≥ 3.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3
Видео:Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать
Квадратные неравенства
Чтобы решить квадратные неравенства вспомним, что такое квадратичная функция?
Квадратичная функция – это функция записанная формулой : y=ax 2 +bx+c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a≠0.
Графиком квадратичной функции является парабола.
В зависимости от значения a ветви графика направлены вверх или вниз:
- если a>0, то ветви параболы направлены вверх;
- если a 2 +bx+c=0
Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Квадратные неравенства имеют вид.
ax 2 +bx+c>0
ax 2 +bx+c 2 +bx+c≥0
ax 2 +bx+c≤0
Чтобы начать решать квадратные неравенства, необходимо знать как решаются квадратные уравнения?
А также для графического метода решения неравенства, необходимо знать алгоритм построения квадратичной функции или параболы?
Видео:Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать
Как решать квадратные неравенства?
Решение квадратных неравенств рассмотрим на примерах. Для начала разберем случаи, когда у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля (нет корней).
Пример:
Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, а это значит, что весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0 (ветви параболы смотрят вверх)
Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x 2 +2x+20>0.
Получили верное неравенство 25>0, следовательно так как у нас нет корней уравнения нам подойдут все точки числовой прямой.
Пример:
Рассмотрим этот же пример со знаком неравенства меньше 0
3x 2 +2x+20 2 +2x+20=0
Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, значит парабола не пересекает ось x. Весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0.
А знак уравнения меньше 2 +2x+20 2 +2•1+20 2 +x-2 2 +x-2=0
Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.
Знак уравнения меньше 2 +x-2 2 +(-3)-2 2 +(0)-2 2 +(2)-2 2 +x-2>0
Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.
Знак уравнения больше >0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится выше оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходят интервалы (-∞;-2) и (1;+∞).
Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка.
Первый участок (-∞;-2). На этом участке можно взять любое число меньше -2, например возьмем число -3 и подставим в неравенство x 2 +x-2 2 +(-3)-2>0
Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (-∞; 2) подходит.
Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.
Получили неверное неравенство -2>0, следовательно этот интервал (-2; 1) не подходит.
Третий участок (1; +∞). На этом участке возьмем число 2.
Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (1; +∞) подходит.
You may also like:
Определение числовой функции. Область определения функции. Область значения функции.
Определение функции. Способы задания функции.
Линейные неравенства.
Нужен репетитор по математике (алгебре) или геометрии?
Добавить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Свежие записи
Пожалуйста отключите блокировку рекламы или добавьте сайт в исключения блокировщика, если желаете чтобы проект развивался.
📺 Видео
Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать
Как решать квадратные уравнения ⁉ Дискриминант 🌟 ОБЪЯСНЕНИЕ 🌟 D меньше (равен, больше) нуляСкачать
Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать
Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Найти сумму корней квадратного уравнения, если дискриминант равен нулюСкачать
Урок 18 как решить квадратное неравенство дискриминант меньше нуляСкачать
Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать
Как решать квадратные уравнения для чайниковСкачать
ДИСКРИМИНАНТ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
