Как решать квадрат суммы и квадрат разности двух выражений 7 класс уравнения

Формула квадрата суммы

Возведем в квадрат сумму (a+b):

$$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a^2+ab+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2 $$

Мы получили формулу квадрата суммы двух выражений:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.

Формула помогает нам избавиться от лишней работы: не перемножать скобки каждый раз и не приводить постоянно подобные, получая из четырёх слагаемых три.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Поэтому в правиле и говорится о «выражениях», а не просто о «переменных». Например:

$$ (5x^2+7y)^2 = (5x^2 )^2+2cdot5x^2cdot7y+(7y)^2 = 25x^2+70x^2 y+49y^2 $$

Рассмотрим квадрат со стороной (a+b). Он состоит из двух квадратов и двух прямоугольников. Для площади можем записать: $$ S = (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $$
Откуда $$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
И формула квадрата суммы замечательно подтверждается геометрическими соображениями.

Формула квадрата разности

Теперь возведём в квадрат разность:

$$ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = a^2-ab-ab+b^2 = a^2-2ab+b^2 $$

Мы получили формулу квадрата разности двух выражений:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше со стороной $b lt a$.
Для его площади можем записать: $$a^2 = (a-b)^2+b^2+2(a-b)b$$ Откуда $$(a-b)^2 = a^2-b^2-2(a-b)b = $$ $$a^2-b^2-2ab+2b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
И формула квадрата разности также подтверждается геометрией.

Не забывайте о втором слагаемом в формулах квадрата двучленов!

Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!

Правильно: $(a+b)^2 = a^2+$ 2ab $+b^2 и (a-b)^2 = a^2$ -2ab+ $ b^2$

Примеры

Пример 1. Найдите квадрат суммы:

б) $(3+t)^2 = 3^2+2cdot3t+t^2 = 9+6t+t^2$

в) $(3a+4b)^2 = (3a)^2+2cdot3acdot4b+(4b)^2 = 9a^2+24ab+16b^2$

г) $(4k^2 m+5n)^2 = (4k^2 m)^2+2cdot4k^2 mcdot5n+(5n)^2 = 16k^4 m^2+40k^2 mn+25n^2$

Пример 2. Найдите квадрат разности:

б) $(x-5)^2 = x^2-2xcdot5+5^2 = x^2-10x+25$

в) $(7y-9z)^2 = (7y)^2-2cdot7ycdot9z+(9z)^2 = 49y^2-126yz+81z^2$

г) $(3km^2-8n^2 )^2 = (3km^2 )^2-2cdot3km^2cdot8n^2+(8n^2 )^2 = 9k^2 m^4-48km^2 n^2+64n^4$

Пример 3. Выполните действия:

а) $(10m-1)^2+20m = (10m)^2-2cdot10mcdot1+1+20m =$

б) $36k^2-(1-6k)^2 = 36k^2-(1-2cdot6k+(6k)^2 ) = 36k^2-1+12k-36k^2 = 12k-1 $

в) $4(x-1)-(2x+1)^2 = 4x-4-((2x)^2+2cdot2x+1) = 4x-4-4x^2-4x-1 = -4x^2-5$

г) $ frac (3y+4)^2-8y = frac ((3y)^2+2cdot3ycdot4+4^2 )-8y = frac (9y^2+24y+16)-8y =$

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений - 7 класс алгебраСкачать

Квадрат суммы и разности

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. 7 класс.Скачать

Квадрат суммы

Выражение (a + b) 2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 + 2ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x 2 + 2xy.

Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Квадрат разности

Выражение (a — b) 2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 — 2ab + b 2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:

(2a 2 — 5ab 2 ) 2 = (2a 2 ) 2 — 2(2a 2 · 5ab 2 ) + (5ab 2 ) 2 .

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a 2 ) 2 — 2(2a 2 · 5ab 2 ) + (5ab 2 ) 2 = 4a 4 — 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4 .

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Разность квадратов

Выражение a 2 — b 2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a 2 — b 2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a 2 + 3)(5a 2 — 3) = (5a 2 ) 2 — 3 2 = 25a 4 — 9.

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Формулы сокращенного умножения с примерами решения

Содержание:

Видео:7 класс, 24 урок, Формулы сокращённого умноженияСкачать

Формулы сокращенного умножения

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разность

Полученное тождество позволяет умножать разность двух выражений на их сумму не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать произведение в виде Поэтому доказанное тождество называют формулой сокращенного умножения. Формулируют се так:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Умножим по этому правилу разность на сумму

Из переместительного свойства умножения следует, что произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений:

Примеры выполнения заданий:

Пример №135

Решение:

Пример №136

Вычислить

Решение:

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений

Возведем в квадрат сумму

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Оно является формулой сокращенного умножения, поскольку позволяет возводить в квадрат сумму любых двух выражений не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать квадрат в виде трехчлена

Формулируют формулу квадрата суммы так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Возведем в квадрат сумму

При возведении суммы в квадрат промежуточные преобразования можно выполнять устно:

Квадрат разности двух выражений

Возведем в квадрат разность

Итак, получили такую формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений еще называют квадратом двучлена.

Квадраты противоположных чисел равны: Поэтому при возведении в квадрат выражений и можно пользоваться формулами:

Для тех, кто хочет знать больше

Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, можно использовать формулы куба суммы или куба разности:

Докажем эти формулы.

Формулируют формулу куба суммы так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Формулу куба разности формулируют аналогично.

Примеры выполнения заданий:

Пример №137

Возвести в квадрат выражение:

Решение:

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождестве поменяем местами левую и правую части:

Полученное тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Формулируют ее так:

Разность квадратов двух выражении равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов позволяет разложить на множители двучлена Ее можно использовать при разложении на множители разности квадратов любых двух выражений. Например:

Примеры выполнения заданий:

Пример №138

Разложить на множители:

Решение:

Пример №139

Вычислить

Решение:

Пример №140

Решить уравнение

Решение:

Разложение многочленов на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности

Запишем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (квадрата двучлена), поменяв в них левые и правые части:

Первая из этих формул дает разложение на множители трехчлена а вторая — трехчлена

Примеры выполнения заданий:

Пример №141

Разложить на множители трехчлен

Решение:

Пример №142

Найти значение выражения при

Решение:

Запишем сначала трехчлен в виде квадрата двучлена:

При получим:

При получим:

Разность и сумма кубов двух выражений

Разность квадратов двух выражений можно разложить на множители по формуле разности квадратов. При разложении на множители разности кубов двух выражений используют формулу разности кубов:

Докажем это тождество, перемножив выражения

В формуле разности кубов трехчлен называют неполным квадратом суммы выражений (он напоминает трехчлен который является «полным» квадратом суммы выражений ). Поэтому формулу разности кубов можно сформулировать так:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

При разложении на множители суммы кубов двух выражений используют формулу суммы кубов:

Докажем это тождество:

Трехчлен называют неполным квадратом разности выражений . Следовательно,

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Примеры выполнения заданий:

Пример №143

Разложить на множители:

Решение:

Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители

Часто при разложении многочлена на множители нужно использовать несколько способов. Если это возможно, то разложение уместно начинать с вынесения общего множителя за скобки.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Разложим на множители многочлен

Сначала вынесли общий множитель за скобки, а потом применили формулу разности квадратов.

2. Разложим на множители многочлен

Все члены многочлена имеют общий множитель Вынесем eго за скобки:

Многочлен разложим на множители способом группировки:

Примеры выполнения заданий:

Пример №144

Разложить на множители трехчлен:

Решение:

а) Если к выражению прибавить то есть 9, то получим выражение, которое является квадратом двучлена

Поэтому, выделив квадрат этого двучлена, получим:

Пример №145

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №146

Решить уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

откуда:

Ответ:

Применение преобразований выражений

Нам уже встречались задачи, при решении которых нужно было преобразовывать то или иное выражение. Чаще всего мы использовали преобразования выражений при решении уравнений, доказательстве тождеств, нахождении значений выражении. Рассмотрим еще некоторые задачи, решение которых связано с преобразованием выражений.

Сравнение значений многочлена с нулем

Пример №147

Доказать, что многочлен принимает только положительные значения.

Решение:

Выделив из трехчлена квадрат двучлена, получим:

Мы представили многочлен в виде суммы двух слагаемых Слагаемое : при любых принимает только неотрицательные значения, слагаемое 2 — положительно. Поэтому выражение принимает только положительные значения. Поскольку то и выражение принимает только положительные значения.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений

Исходя из равенства полученного в примере 1, можно

указать наименьшее значение многочлена Оно равно причем это наименьшее значение многочлен принимает при

Пример №148

Найти наибольшее значение многочлена

Решение:

Преобразуем данный многочлен так:

Наибольшее значение многочлена равно 5.

Решение задач на делимость

Пример №149

Доказать, что значение выражения делится на 8 при любом целом значении

Решение:

Упростим данное выражение:

При любом целом значении произведение делится на 8, поэтому и значение выражения делится на 8.

Нахождение значений многочлена с помощью микрокалькулятора

Пример №150

С помощью микрокалькулятора найти значение многочлена

Решение:

Значение данного многочлена искать удобнее, если его предварительно преобразовать так:

При схема вычислений имеет вид:

Выполнив вычисления, найдем значение многочлена. Оно равно 109,264.

Интересно знать

Античные математики использовали формулы сокращенного умножения задолго до нашей эры. В те времена формулы представлялись не в привычном нам символическом виде, а формулировались словами.

Ученые Древней Греции алгебраические утверждения, формулы, выражающие определенные зависимости между величинами, трактовали геометрически. Так, произведение они рассматривали как площадь прямоугольника со сторонами

Приведем пример алгебраического утверждения, которое было известно древнегреческим ученым и в геометрической терминологии формулировалось так: площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площади квадратов, построенных на каждом из этих отрезков, плюс удвоенная площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках.

Нетрудно догадаться, что речь идет о формуле квадрата суммы, которую мы символически записываем так:

• Разложение многочленов на множители
• Системы линейных уравнений с двумя переменными
• Рациональные выражения
• Квадратные корни
• Линейное уравнение с одной переменной
• Целые выражения
• Одночлены
• Многочлены

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎥 Видео

Решить уравнения, используя формулы сокращенного умножения.Сумма и квадрат разности. Алгебра 7 классСкачать

Разность квадратов двух выражений. 7 класс.Скачать

Урок 75. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений (7 класс)Скачать

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. 7 класс.Скачать

Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Алгебра, 7 классСкачать

Алгебра 7 класс (Урок№26 - Квадрат суммы.)Скачать

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Формулы сокращенного умножения | Математика | TutorOnlineСкачать

КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ. ФСУ. §16 Алгебра 7 классСкачать

АЛГЕБРА 7 класс: Возведение в квадрат суммы и разности двух выраженийСкачать

Сумма и разность кубов двух выражений. 7 класс.Скачать

Куб суммы и куб разности двух выражений. 7 класс.Скачать

МЕРЗЛЯК-7 КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ. ПАРАГРАФ-16. ЧАСТЬ-1Скачать

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Алгебра, 7 классСкачать