В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти частное двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.
Деление в алгебраической форме
Результатом деления (т.е. частное) двух комплексных чисел и также является комплексное число z :
Порядок действий следующий:
- Делимое и делитель умножаем на число, комплексно сопряженное делителю. Не забываем, что .
Примечание: Для комплексно сопряженным будет число , т.е. действительная часть остается той же, а у мнимой знак меняется на противоположный.
Пример 1:
Разделим комплексное число на .
Решение:
Руководствуемся планом действий, описанным выше, и получаем:
Деление в геометрической форме
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме, например, и , то разделить их можно по формуле ниже:
Пример 2
Найдем частное комплексных чисел: и .
Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел в алгебраической форме
Частным двух комплексных чисел $z_=a_+b_ i$ и $z_=a_+b_ i$ называется число $z$, которое задается соотношением:
На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме:
- сначала делимое и делитель умножают на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом;
- в числителе умножают два комплексных числа;
- полученную дробь почленно делят.
Задание. Найти частное $frac$
Решение. Домножим и числитель, и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю $1-i$, это будет $1+i$, тогда имеем:
Далее перемножаем комплексные числа как алгебраические двучлены, учитывая, что $i^=-1$:
Деление комплексных чисел в геометрической форме
Если надо поделить комплексные числа $z_$ и $z_$ в геометрической форме: $frac<z_><z_>=frac<left|z_right|left(cos phi_+i sin phi_right)><left|z_right|left(cos phi_+i sin phi_right)>$ , то искомое число
То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент — разности аргументов делимого и делителя.
Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.
Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z , при умножении которого на z2 получается z1:
Для комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:
На практике частное комплексных чисел находят умножением делимого и делителя на число, комплексно-сопряженное делителю.
С помощью формулы правило деления комплексных можно записать так:
Найти частное комплексных чисел:
1) Чтобы выполнить деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, и делимое, и делитель умножаем на число, комплексно-сопряженное делителю (вариант: и числитель, и знаменатель умножаем на число, сопряженное знаменателю):
Умножение комплексных чисел выполняем как умножение многочленов.
i² заменяем на -1.
Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, будет рассмотрено позже.