Как решать интегральные уравнения примеры

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) quad int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\ (II) quad u(x)=int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) quad int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\ (II) quad u(x)=int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Видео:Решить интегральное уравнение (ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) Свёртка функций, Умножение изображенийСкачать

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=lambda int_0^1 (cos 2pi x +2x sin 2pi t +t sin pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^t^$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-lambda int_0^1 x y(t)dt = sin 2pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = frac sin |x-t| quad (0 le, x,t le pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Видео:Простейшие интегральные уравненияСкачать

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников

За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов

Видео:Математика без ху!ни. Интегралы, часть 1. Первообразная. Дифференцирование и интегрирование.Скачать

Почему вы не знаете, как решать интегралы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

• вычисление площади фигуры.
• вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
• определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
• и др.

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Видео:ТФКП. Интегральная формула Коши. Примеры решений типовых задач. Решение контурных интегралов.Скачать

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

Метод исчерпывания для определения площади круга

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Видео:Интегральные уравнения ВольтерраСкачать

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.

Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.

Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся

Видео:Уравнения Фредгольма - 1Скачать

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Примеры вычисления интегралов

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Видео:Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Видео:Интегральные уравнения с вырожденным ядромСкачать

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.

Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:

📹 Видео

Уравнения Вольтерра - 1Скачать

Примеры решения определенных интеграловСкачать

Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Метод последовательных приближенийСкачать

Определенный интеграл. 11 класс.Скачать

Как решают уравнения в России и СШАСкачать