Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Примеры дифференциальных уравнений с решениями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

  • Попробуйте решить приведенные ниже дифференциальные уравнения.
  • Нажмите на изображение уравнения, и вы попадете на страницу с подробным решением.

Видео:ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

Примеры решений дифференциальных уравнений первого порядка

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Примеры решений дифференциальных уравнений второго и высших порядков

Найти общее решение дифференциального уравнения, или решение с заданными начальными условиями.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Примеры решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность
, .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 28-01-2016 Изменено: 26-11-2021

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Дифференциальные уравнения высших порядков: ЛОДУ, примеры решения.

Можно выделить 5 возможных метода для определения y0 — общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами:

1. В случае, когда все решения Как решать дифференциальные уравнения с корнямихарактеристического уравнения Как решать дифференциальные уравнения с корнямиявляются действительными и различными, значит, линейно независимые частные решения принимают вид:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями,

а общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами записывают так:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Найти общее решение ЛОДУ 3-го порядка с постоянными коэффициентами:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Для начала записываем характеристическое уравнение и находим его корни, перед этим произведя разложение многочлена в левой части равенства на множители методом группировки:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Каждый из трех корней характеристического уравнения являются действительными и различными, значит, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 3-го порядка с постоянными коэффициентами принимает вид:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

2. Когда каждое решение характеристического уравнения оказывается действительными и одинаковыми, т.е.,

Как решать дифференциальные уравнения с корнями,

значит, линейно независимые частные решения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами принимают вид:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями,

а общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (ДУ) принимает вид:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Найти общее решение ДУ

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Характеристическое уравнение этого линейного однородного дифференциального уравнения 4-го порядка выглядит так:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Обратившись к формуле бинома Ньютона, переписываем характеристическое уравнение как Как решать дифференциальные уравнения с корнями, из чего видим четырехкратный корень k0 = 2.

Т.о., общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами является:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

3. Когда решениями характеристического уравнения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами оказываются разные комплексно сопряженные пары Как решать дифференциальные уравнения с корнями, n=2m, тогда линейно независимые частные решения такого линейного однородного дифференциального уравнения принимает вид:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

а общее решение записывается так:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Проинтегрировать ЛОДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Характеристическое уравнение этого линейного однородного дифференциального уравнения:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Произведя некоторые несложные преобразования и группирования имеем:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Откуда находим 2 пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения Как решать дифференциальные уравнения с корнямии Как решать дифференциальные уравнения с корнями. Тогда, общим решением заданного ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами является:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

4. Когда решениями характеристического уравнения оказываются совпадающие комплексно сопряженные пары Как решать дифференциальные уравнения с корнями, тогда линейно независимые частные решения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами выглядят так:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями,

а общим решением этого линейного однородного дифференциального уравнения является:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Первым шагом записываем характеристическое уравнение этого ЛОДУ с постоянными коэффициентами и определяем его корни:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Т.е., решением характеристического уравнения является двукратная комплексно сопряженная пара Как решать дифференциальные уравнения с корнями. Тогда общее решение заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

5. Могут возникнуть любые комбинации случаев, описанных выше, т.е., некоторые корни характеристического уравнения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами являются действительными и различными, некоторые являются действительными и совпадающими, некоторые являются различными комплексно сопряженными парами и некоторые совпадающими комплексно сопряженными парами.

Найти общее решение ДУ

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Характеристическое уравнение этого ЛОДУ с постоянными коэффициентами выглядит так:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Многочлен в левой части равенства можно разложить на множители. Из делителей свободного члена вычисляем двукратный корень k1=k2=2 и корень k3=-3. Далее, применяя схему Горнера, приходим к разложению:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Из квадратного уравнения Как решать дифференциальные уравнения с корняминаходим оставшиеся корни Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Т.о., общее решение заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами выглядит как:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнем

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Видео:15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Далее интегрируем полученное уравнение:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

В данном случае интегралы берём из таблицы:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Если – это константа, то

Как решать дифференциальные уравнения с корнями0]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Ответ

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Получаем общее решение:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

можно выразить функцию в явном виде.

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Подставим полученное частное решение

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

и найденную производную в исходное уравнение

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Ответ

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Задание

Найти частное решение ДУ.

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Подставляем в общее решение

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Ответ

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Левую часть интегрируем по частям:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

В интеграле правой части проведем замену:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Ответ

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Как решать дифференциальные уравнения с корнями

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

🎬 Видео

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядка

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравнения

Дифференциальные уравнения, 9 урок, Линейные дифференциальные уравнения высших порядковСкачать

Дифференциальные уравнения, 9 урок, Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентам

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Как решают уравнения в России и США

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядка
Поделиться или сохранить к себе: