Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Содержание
  1. Понятие метода Гаусса
  2. Преимущества метода:
  3. Элементарные преобразования системы линейных уравнений
  4. Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы
  5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение
  6. Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы
  7. Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений
  8. Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений
  9. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение
  10. Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных меньше числа уравнений
  11. Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных больше числа уравнений
  12. Метод Гаусса – теорема, примеры решений
  13. Определения и обозначения
  14. Простейшие преобразования элементов матрицы
  15. Алгоритм решения методом Гаусса пошагово
  16. Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы
  17. Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю
  18. Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду
  19. Шаг 4. Записываем эквивалентную систему
  20. Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)
  21. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений
  22. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений
  23. Примеры решения методом Гаусса
  24. Заключение
  25. Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ
  26. Метод Гаусса — что это такое?
  27. Основные определения и обозначения
  28. Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)
  29. Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Видео:Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Понятие метода Гаусса

Чтобы сразу же понять суть метода Гаусса, остановите ненадолго взгляд на анимации ниже. Почему одни буквы постепенно исчезают, другие окрашиваются в зелёный цвет, то есть становятся известными, а числа сменяются другими числами? Подсказка: из последнего уравнения совершенно точно известно, чему равна переменная z .

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Догадались? В такой системе, называемой трапециевидной, последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса, далее — просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее — просто прямой ход). Пример такой системы и её решения как раз и был приведён на анимации в начале урока.

В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение — переменной x .

После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

У студентов наибольшие трудности вызывает именно прямой ход, то есть приведение исходной системы к трапециевидной. И это несмотря на то, что преобразования, которые необходимы для этого, называются элементарными. И называются неслучайно: в них требуется производить умножение (деление), сложение (вычитание) и перемену уравнений местами.

Преимущества метода:

  1. при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера, поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
  2. методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
  3. можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
  4. метод основан на элементарных (школьных) методах — методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.

Кроме того, метод Гаусса является основой одного из методов нахождения обратной матрицы.

Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь нам известны значения уже двух переменных — z и y. Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.

Видео:Система с тремя переменнымиСкачать

Система с тремя переменными

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение — один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.

При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно:

  1. переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
  2. если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
  3. удалять «нулевые» строки, где все коэффициенты равны нулю;
  4. любую строку умножать или делить на некоторое число;
  5. к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.

В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы

Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы — квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.

Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты — свободные члены.

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса(в нашем случае на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса), к третьей строке – первую строку, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса(в нашем случае на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса).

Это возможно, так как Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса(в нашем случае на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.

Решение найдём «с конца» — обратный ход. Для этого из последнего уравнения определим z:
Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y:
Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Из первого уравнения найдём x: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Ответ: решение данной системы уравнений — Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить систему линейных уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма — здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, к третьей строке — первую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, к четвёртой — первую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Проведём теперь собственно исключение переменной Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, а к четвёртой — вторую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной «икс четвёртое»:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

откуда находим «икс третье»:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Далее, подставляем значения Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаво второе уравнение системы:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Наконец, подстановка значений

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссав первое уравнение даёт

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

откуда находим «икс первое»:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4

Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач — на сплавы. Аналогичные задачи — задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй — 30%, третий — 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Составляем расширенную матрицу системы:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае — вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.

Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Из второго уравнения находим

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Из третьего уравнения —

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.

О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение «Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным» — своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот — неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.

С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений

Следующий пример — совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.

После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

соответствующие уравнению вида

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Если во всех уравнениях имеющих вид

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.

Пример 6. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

В результате приходим к системе

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Последние два уравнения превратились в уравнения вида Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.

Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссавыбрать произвольные значения Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, тогда значение для Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаопределится уже однозначно: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Из первого уравнения значение для Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссатакже находится однозначно: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

при произвольных Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссадают нам все решения заданной системы.

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решений

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений

Следующий пример — несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.

Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

соответствующие уравнению вида

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса
Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.

Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, к третьей строке — первую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, к четвёртой — первую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Для исключения Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, а к четвёртой — вторую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссане может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Решить систему линейных уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных меньше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.

Пример 9. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, к третьей строке — первую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, к четвёртой — первую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Далее новые вторую, третью и четвёртую строки умножаем на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого четвёртую строку умножаем на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Проведём теперь исключение переменной Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, а к четвёртой — вторую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Четвёртая и третья строки — одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Получили следующую систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаизвестны, а Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссанаходим из первого уравнения:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение (1; 1; 1).

Видео:12. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаСкачать

12. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных больше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Если при выполнении преобразований в расширенной матрице системы встретилось хотя бы одно уравнение вида

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса(*)

с равным нулю свободным членом, то в итоге получим эквивалентную исходной системе систему линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа переменных, а уравнения вида (*) удовлетворяются при любых значениях неизвестных. Их можно отбросить.

Неизвестным, которые удовлетворяли уравнению вида 0 = 0, например, третьему и четвёртому (*, отброшенным уравнениям), придадим произвольные значения (пример 2). Они чаще всего записываются так: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Подставляя эти значения в остальные уравнения, не имеющие вида (*), например, первое и второе, получаем формулы, дающие нам значения остальных неизвестных. В них можно подставлять любые численные значения Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Следовательно, существует бесконечное множество выбора значений этих неизвестных, поэтому полученная система уравнений является неопределённой. В этом случае неопределённой является и исходная система.

Пример 10. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Это равносильно появлению уравнений вида Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, которые можно отбросить. Мы можем для Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссавыбрать произвольные значения Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Из первого уравнения значение для Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссанаходится однозначно: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

при произвольных Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссадают нам все решения заданной системы.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Метод Гаусса – теорема, примеры решений

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Видео:Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСкачать

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

  1. Одно решение;
  2. много решений;
  3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

  • перемена мест уравнений системы;
  • почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
  • сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаназываются решением СЛАУ, если при подстановке Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссав СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

– это основная матрица СЛАУ.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

– матрица столбец неизвестных переменных.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссадобавить в качестве Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса– ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса– матрица невырожденная.

Если с системой уравнений: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Произвести такие действия:

  • умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса;
  • менять местами уравнения;
  • к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Видео:Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать

Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минут

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаКак решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаКак решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

В итоге получилось такое преобразование:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи вот что получается:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Первую строку делим на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи преобразовалась нижняя строка:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

И верхнюю строку поделили на то же самое число Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаКак решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Видео:решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

решение системы уравнений методом Гаусса

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи вторую строку прибавили к первой , умноженной на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Верхнюю строку делим на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи приводим матрицу к ступенчатому виду:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

После Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссанаходим Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Из второго уравнения находим Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. И последнее, находим первое уравнение Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссачерез Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссав первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

  • берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,
  • берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссасо второго и третьего уравнения системы:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

В этой системе в первом уравнении нет переменной Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Видео:Крамера. Гаусса. Матричный метод. Система линейных уравнений. 3 способа решенияСкачать

Крамера. Гаусса. Матричный метод. Система линейных уравнений.  3 способа решения

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

У нас получается такая ситуация

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как видим, второе уравнение Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаКак решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, где Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса– число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссавид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

В третьем уравнении получилось равенство Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Если же Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссауже исключались, тогда переходим к Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаисключились Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

В нашем примере это Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, где Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса– произвольные числа.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, а из первого уравнения получаем:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса=Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Видео:Метод Гаусса и метод Жордана-ГауссаСкачать

Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Так как Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссамы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссапревратился в Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса(разрешающий элемент данного шага).

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Для этого первую строку нужно умножить на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссавторую строку. Вот что получилось:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Теперь прибавляем со второй строки Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссапервую строку Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. У нас получился Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Записываем новую систему уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Так как Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссанайден, находим Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, и Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Аналогично, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. И умножаем свободный член Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Сначала находим Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Обратный ход:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решение

В уравнении Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, то есть Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса– ведущий член и пусть Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса. Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссатеперь стоит 0.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Получилось так, что Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаb и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаиз третьей и четвёртой строк:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Получилась такая матрица:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Также, учитывая, что Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса, умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гауссаи получаем новую систему уравнений:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

из третьего: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

второе уравнение находим: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= 2,

из первого уравнения: Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса= Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Получился ступенчатый вид уравнения:

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Ответ

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса,

Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом гаусса.

Видео:12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

В данной статье мы:

  • дадим определение методу Гаусса,
  • разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
  • разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Метод Гаусса — что это такое?

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

  • отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
  • есть возможность решать системы уравнений, где:
  • количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
  • количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
  • определитель равен нулю.
  • результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Видео:6 способов в одном видеоСкачать

6 способов в одном видео

Основные определения и обозначения

Есть система из р линейных уравнений с n неизвестными ( p может быть равно n ):

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p ,

где x 1 , x 2 , . . . . , x n — неизвестные переменные, a i j , i = 1 , 2 . . . , p , j = 1 , 2 . . . , n — числа (действительные или комплексные), b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Если b 1 = b 2 = . . . = b n = 0 , то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , . . . , x n = a n , при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Координатный вид записи:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p

Матричный вид записи: A X = B , где

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a p 1 a p 2 ⋯ a p n — основная матрица СЛАУ;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица свободных членов.

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве ( n + 1 ) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение Т .

T = a 11 a 12 ⋮ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋮ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a p 1 a p 2 ⋮ a p n b n

Вырожденная квадратная матрица А — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Видео:Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать

Решение систем линейных алгебраических уравнений  методом Крамера.

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . + a 3 n x n = b 3 ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

Определитель матрицы не равен нулю.

  1. a 11 не равен нулю — всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
  2. исключаем переменную x 1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
  3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на — a 21 a 11 , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на — a 21 a 11 и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n ,

где a i j ( 1 ) = a i j + a 1 j ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n , j = 2 , 3 , . . . , n , b i ( 1 ) = b i + b 1 ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n .

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n

Считается, что a 22 ( 1 ) не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной x 2 из всех уравнений, начиная с третьего:

  • к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 ;
  • к четвертому прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( 2 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 2 ) n n x n = b ( 2 ) n ,

где a i j ( 2 ) = a ( 1 ) i j + a 2 j ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n , j = 3 , 4 , . . . , n , b i ( 2 ) = b ( 1 ) i + b ( 1 ) 2 ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n . .

Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , действуя по аналоги с предыдущим образцом:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( n — 1 ) n n x n = b ( n — 1 ) n

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

  • вычисляем x n из последнего уравнения как x n = b n ( n — 1 ) a n n ( n — 1 ) ;
  • с помощью полученного x n находим x n — 1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x 1 из первого уравнения.

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Коэффициент a 11 отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной x 11 из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на — a 21 a 11 :

— 1 3 , — а 31 а 11 = — — 2 3 = 2 3 и — а 41 а 11 = — 1 3 .

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = — 1 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 + 2 3 ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 9 + 2 3 ( — 2 ) x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 4 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3

Мы исключили неизвестную переменную x 1 , теперь приступаем к исключению переменной x 2 :

— a 32 ( 1 ) a 22 ( 1 ) = — — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 + 13 5 ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 14 3 + 13 5 ( — 1 3 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить x 3 из последнего уравнения системы — а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5 ⇔

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 + 41 19 ( — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 ) = 19 5 + 41 19 39 5 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 56 19 x 4 = 392 19

Обратный ход метода Гаусса:

  • из последнего уравнения имеем: x 4 = 392 19 56 19 = 7 ;
  • из 3-го уравнения получаем: x 3 = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 x 4 ) = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 × 7 ) = 38 19 = 2 ;
  • из 2-го: x 2 = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 x 4 + 4 3 x 4 ) = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 × 2 + 4 3 × 7 ) = — 1 ;
  • из 1-го: x 1 = 1 3 ( — 2 — 2 x 2 — x 3 — x 4 ) = — 2 — 2 × ( — 1 ) — 2 — 7 3 = — 9 3 = — 3 .

Ответ: x 1 = — 3 ; x 2 = — 1 ; x 3 = 2 ; x 4 = 7

Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Расширенная матрица системы представлена в виде:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 1 — 1 4 — 1 — 2 — 2 — 3 1 1 5 — 1 2 — 2 — 1 9 4

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на — a 21 a 11 = — 1 3 , — a 31 a 11 = — — 2 3 = 2 3 и н а — а 41 а 11 = — 1 3 .

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на — а 32 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и — а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 — 7 3 5 3 | 23 3 0 13 3 — 4 3 5 3 | 14 3

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 ) — 7 3 + ( — 2 5 ) 11 3 5 3 + ( — 2 5 ) ( — 4 3 ) | 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 0 13 3 + 13 5 ( — 5 3 ) — 4 3 + 13 5 × 11 3 5 3 + 13 5 ( — 4 3 ) | 14 3 + 13 5 ( — 1 3 )

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

Теперь исключаем переменную x 3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 + 41 19 ( — 19 5 ) — 9 5 + 41 19 × 11 5 | 19 5 + 41 19 × 39 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 0 0 0 | а 1 0 — 5 3 0 0 | а 2 0 0 — 19 5 0 | а 3 0 0 0 56 19 | 392 19 , где а 1 , а 2 , а 3 — некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

— 11 5 56 19 = — 209 280 , н а — — 4 3 56 19 = 19 42 и н а — 1 56 19 = 19 56 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 + ( — 19 56 ) 56 19 | — 2 + ( — 19 56 ) 392 19 0 — 5 3 11 3 — 4 3 + 19 42 × 56 19 | — 1 3 + 19 42 × 392 19 0 0 — 19 5 11 5 + ( — 209 280 ) 56 19 | 39 5 + ( — 209 280 ) 392 19 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

— 11 3 — 19 5 = 55 57 и н а — 1 — 19 5 = 5 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 + 5 19 ( — 19 5 ) 0 | — 9 + 5 19 ( — 38 5 ) 0 — 5 3 11 3 + 55 57 ( — 19 5 ) 0 | 9 + 55 57 ( — 38 5 ) 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на — 2 — 5 3 = 6 5 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 + 6 5 ( — 5 3 ) 0 0 | — 11 + 6 5 × 5 3 ) 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 0 0 0 | — 9 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Полученная матрица соответствует системе уравнений

3 x 1 = — 9 — 5 3 x 2 = 5 3 — 19 5 x 3 = — 38 5 56 19 x 4 = 392 19 , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: x 1 = — 3 , x 2 = — 1 , x 3 = 2 , x 4 = 7 . ​​​

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения x 1 , то ситуация оказывается следующей:

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 = 14 x — x + 3 x + x = — 1 ⇔

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 + ( — 2 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = 14 + ( — 2 ) × 7 x — x + 3 x + x + ( — 1 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = — 1 + ( — 1 ) × 7 ⇔

⇔ x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 0 = 0 — 3 x 2 + 4 x 3 — 2 x 4 = — 8

Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид — некоторое число, которое отлично от нуля.

Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство 0 = λ , не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

  • В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0 = λ , где λ — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
  • Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
  • Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.

Поделиться или сохранить к себе: