Как работать с корнем в уравнении

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Уравнения с корнем. Иррациональные уравнения #shortsСкачать

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x 2 = a
x ≥ 0
a ≥ 0

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из √-16

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x 2 = 16, x = 4 и x = -4.

Видео:Корни для ЧайниковСкачать

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

• x 2 = 16 не равно x = √16.

Это два нетождественных друг другу выражения.

• x 2 = 16 — это квадратное уравнение.
• x = √ 16 — арифметический квадратный корень.

Из выражения x 2 = 16 следует, что:

• |x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

1. Пример решен неверно
2. Это квадратное уравнение.

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения:

Первое выражение — квадратное уравнение.

Второе выражение — арифметический квадратный корень.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение: x 2 = 2.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Решение следующее:
Строим график функции y = x 2 .
Отмечаем решения на графике: -√2; √2.

Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .

В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.
x 2 = 2.
x = √2
x = -√2.

Видео:Решаем примеры на вычисление с квадратными корнями.Скачать

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

• 1. Извлеките квадратный корень: √289

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

• 2. Извлеките квадратный корень: √3025

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.

• 3. Извлеките квадратный корень: √7396

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

• 4. Извлеките корень: √9025

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

• 5. Извлеките корень √1600

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Видео:Математика 5 класс. Уравнение. Корень уравненияСкачать

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

• Корень произведения равен произведению корней
  
• Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя
  
• Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем
  

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№16 - Арифметический корень натуральной степени.)Скачать

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

1. 
2. 
3. Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:
   

Видео:Квадратный корень. 8 класс.Скачать

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Примеры:

Эти две формулы нужно запомнить:

• (√a) 2 = a
• √a 2 = |a|

Повторите свойства степеней или запишитесь на курсы по математике, чтобы без труда решать такие примеры.

Видео:Корень n-ой степени. Алгебра, 9 классСкачать

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Дано выражение: 7√9

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Вы помните, что (√a) 2 = a

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.

7√9 = √7 2 * 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

Формула внесения множителя под знак корня:

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать

Вынесение множителя из-под знака корня

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.

Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,

Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.

Упростите выражение:

Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.

Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.

Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5.
Выносим общий множитель за скобки:

Далее вычисляем все, что в скобках:

Видео:Алгебра 8 класс. Уравнения с корнямиСкачать

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

Сравните два выражения: √50 и 9√5

Ответ: преобразовываем выражение 9√5.

9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405

Это значит, что 6√5 > √18.

Сравните два выражения: 7√12 и √20

Ответ: преобразовываем выражение 7√12.

7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588

Это значит, что 7√12 > √20.

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Видео:Алгебра 8 класс — Квадратный Корень и его Свойства // Арифметический Квадратный КореньСкачать

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

1. Определить «сотни», между которыми оно стоит.
2. Определить «десятки», между которыми оно стоит.
3. Определить последнюю цифру в этом числе.

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из √2116.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это значит, что число 2116 находится между 40 2 и 50 2 .

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

4 2 = 16 ⇒ 6

5 2 = 25 ⇒ 5

6 2 = 36 ⇒ 6

7 2 = 49 ⇒ 9

8 2 = 64 ⇒ 4

9 2 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Таким образом, у нас остаются два варианта: 44 2 и 46 2 .

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.

Еще пример. Извлечем корень из числа √11664

Разложим число 11664 на множители:

Запишем выражение в следующем виде:

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.

• 1. Вычислите значение квадратного корня: √36
  
• 2. Вычислите значение квадратного корня: √64*36
  
• 3. Вычислите значение квадратного корня:
  
• 4. Вычислите значение квадратного корня:
  
• 5. Вычислите значение квадратного корня:
  
• 6. Вычислите значение выражения: 4√16 — 12
  
• 7. Вычислите значение выражения: 5√9 — 8
  
• 8. Вычислите значение выражения: 7√25 — 10
  
• 9. Вычислите значение квадратного корня:
  
• 10. Вычислите значение квадратного уравнения:
  
• 11. Вычислите значение квадратного уравнения:
  
• 12. Извлеките квадратный корень из числа √7056 удобным вам способом
  Как решаем:
  

  

• 13. Вычислите значение квадратного корня √0,81
  Ответ: √0,81 = 0,9
• 14. Вычислите значение квадратного корня:
  Как решаем: = 0,09
• 15. Вычислите значение выражения: 8√81 — 20
  Как решаем: 8√81 — 20 = 8 * 9 — 20 = 72 — 20 = 52
  Ответ: 8√81 — 20 = 52.
• 16. Вычислите значение выражения: 13√100 — 15
  Как решаем: 13√100 — 15 = 13 * 10 — 15 = 130 — 15 = 115
  Ответ: 13√100 — 15 = 115.
• 17. Вычислите значение выражения: √16 + 5√4
  Как решаем: √16 + 5√4 = 4 + 5 * 4 = 4 + 20 = 24 Ответ: √16 + 5√4 = 24.
• 18. Вычислите значение выражения: √36 + 2√9
  Как решаем: √36 + 2√9 = 6 + 2 * 3 = 6 + 6 = 12
  Ответ: √36 + 2√9 = 12.
• 19. Вычислите значение выражения: 2√16 — 3√25
  Как решаем: 2√16 — 3√25 = 2 * 4 — 3 * 5 = 8 — 15 = -7
  Ответ: 2√16 — 3√25 = -7.
• 20. Вычислите значение выражения: 3√81 — 5√9
  Как решаем: 3√81 — 5√9 = 3*9 — 5 * 3 = 27 — 15 = 12
  Ответ: 3√81 — 5√9 = 12.
• 21. Вынесите множитель из-под знака корень: √60
  Как решаем: √60 = √15 * √4 = 2√15
  Ответ: √60 = 2√15.
• 22. Вынесите множитель из-под знака корень: √160
  Как решаем: √160 = √16 * √10 = 4√10
  Ответ: √160 = 4√10.
• 23. Внесите множитель под знак корня: 6√7
  Как решаем: √6 2 * 7 = √36 * √7 = √252
  Ответ: 6√7 = √252.
• 24. Внесите множитель под знак корня: 8√2
  Как решаем: 8√2 = √8 2 * 2 = √64 * √2 = √128 Ответ: 8√2 = √128.
• 25. Внесите множитель под знак корня: 9√5

  Как решаем: 9√5 = √9 2 * 5 = √81 * √5 = √405
  Ответ: 9√5 = √405.

• 26. Упростите выражение: (5 — √2) 2
  Как решаем: (5 — √2) 2 = 5 2 — 2 * 5 * √2 + (√2) 2 = 25 — 10√2 + 2 = 27 — 10√2.
  Ответ: (5 — √2) 2 = 27 — 10√2.
• 27. Вычислите значение выражения: 3√49 — 3√25
  Как решаем: 3√49 — 3√25 = 3 * 7 — 3 * 5 = 21 — 15 = 6
  Ответ: 3√49 — 3√25 = 6.
• 28. Вычислите значение квадратного корня: √484 * √576
  Как решаем: √484 * √576 = 22 * 24 = 528
  Ответ: √484 * √576 = 528.
• 29. Вычислите значение квадратного корня: √625 * √81
  Как решаем: √625 * √81 = 25 * 9 = 225
  Ответ: √625 * √81 = 225.
• 30. Найдите значение выражения: 3√100 — √144
  Как решаем: 3100 — 144 = 3 * 10 — 12 = 18
  Ответ: 3√100 — √144 = 18.

0 0 0 0 0 0

До 5 уроков в подарок по новому предмету

Увлеките ребёнка новым предметом и подарите себе свободное время

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Квадратный корень

Видео:Как осилить уравнение с кубическими корнями? Основной способСкачать

Основные сведения

Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.

Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см

S = 3 2 = 9 см 2

Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.

Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.

Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.

Введём для работы с корнями новые обозначения.

Символ кóрня выглядит как . Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал . А слово радикал происходит от латинского radix (что в переводе означает корень). Первая буква слова radix это r впоследствии преобразилась в символ корня .

Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)

Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)

Получили выражение, которое читается так: « квадратный корень из числа 9» . С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.

Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:

Значит квадрат площадью 9 см 2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.

Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9

Получается, что выражение имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.

Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.

Например, извлечём квадратный корень из числа 4

Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4

Поэтому ответ к выражению вида записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.

Запишем ответ к выражению с плюсом и минусом:

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Определения

Дадим определение квадратному корню.

Квадратным корнем из числа a называют такое число b, вторая степень которого равна a .

То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство b 2 = a . Число b (оно же корень) обозначается через радикал так, что . На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение

Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16

Корень 4 можно обозначить через радикал так, что .

Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16

Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.

Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0) , при котором выполняется равенство b 2 = a .

В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать» , а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».

Не следует путать понятия корень и квадрат . Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.

Корнями же являются числа 5, 6 и 7 . Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.

Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи можно использовать запись. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.

Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:

Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:

и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:

Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство , поскольку 0 2 = 0 .

Выражение вида смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение , поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.

Если выражение вида возвести во вторую степень, то есть если записать , то это выражение будет равно подкореннóму выражению a

Например, выражение равно 4

Это потому что выражение равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.

Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:

Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5

Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5 , возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5

Действительно, если не пользуясь правилом , вычислять выражение обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5

Не следует путать правило с правилом . Правило верно при любом a, тогда как правило верно в том случае, если выражение имеет смысл.

В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:

Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.

Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.

Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7 , а √64 = 8 ,

Видео:АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать

Примеры извлечения квадратных корней

Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.

Пример 1. Извлечь квадратный корень √36

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 6 2 = 36

Пример 2. Извлечь квадратный корень √49

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 7 2 = 49

В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:

Но 7 × 7 это 7 2

Пример 3. Извлечь квадратный корень √100

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10 , поскольку 10 2 = 100

Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.

Пример 3. Извлечь квадратный корень √256

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.

Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.

Видим, что это число 16 . Значит √256 = 16 .

Пример 4. Найти значение выражения 2√16

В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16 , затем перемнóжим его с числом 2

Пример 7. Решить уравнение

В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.

Значение переменной x равно 16, поскольку . Значит корень уравнения равен 16.

Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом .

Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.

Из определения мы знаем, что квадратный корень равен числу b , при котором выполняется равенство b 2 = a .

Применим равенство b 2 = a к нашему примеру . Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем , а именно переменная x

В выражении 4 2 = x вычислим левую часть, полýчим 16 = x . Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 16 . В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x .

Пример 8. Решить уравнение

Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x

Вычислим правую часть, полýчим 64 = x . Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 64 . Значит корень уравнения равен 64

Пример 9. Решить уравнение

Воспользуемся определением квадратного корня:

Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x . Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5x

В выражении 7 2 = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x . Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:

Корень уравнения равен . Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

Пример 10. Найти значение выражения

В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.

Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Приближённое значение квадратного корня

Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.

Например, извлечь квадратный корень можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8 , поскольку 8 2 = 64 . То есть

А извлечь квадратный корень нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.

Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.

Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.

Найдём значение корня приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.

Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:

Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2

А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:

Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2

Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.

Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1

Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3 , потому что оно малó.

Проверим тогда дробь 1,8

Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3 , потому что оно великó.

Проверим тогда дробь 1,7

Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3 . Напомним, что знак приближенного значения выглядит как ≈

Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56 , которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим.

В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.

Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8

Проверим дробь 1,74

Получился результат 3,0276 , который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276 . Значит значение 1,74 великó для корня √3 .

Проверим тогда дробь 1,73

Получился результат 2,9929 , который близок к подкореннóму выражению √3 . Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых.

Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:

√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)

√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)

√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).

Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:

Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.

В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.

Видео:Снова ЕГЭ. Корни и степениСкачать

Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком

Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.

В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89 . Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3.

С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24 . Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24 . То есть 3,24 − 3 = 0,24 .

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:

Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2

Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:

Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.

Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых» , заменяют на словосочетания «с точностью до 1» , «с точностью до 0,1» , «с точностью до 0,01» соответственно.

Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1

Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01

Видео:секретный способ извлечения квадратного корня #SHORTSСкачать

Границы, в пределах которых располагаются корни

Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].

Например, пусть исходным числом будет 64 . Данное число принадлежит промежутку [1; 100] . Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10] . Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64 ? Ясно, что перемножение 8 × 8 , а это есть 8 2 = 64 . Значит квадратный корень из числа 64 есть 8

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49

Число 49 принадлежит промежутку [1; 100] . Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10] . Этим корнем будет число 7 , поскольку 7 2 = 49

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1

Число 1 принадлежит промежутку [1; 100] . Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10] . Этим корнем будет число 1, поскольку 1 2 = 1

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100

Число 100 принадлежит промежутку [1; 100] . Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10] . Этим корнем будет число 10, поскольку 10 2 = 100

Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются. Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10] .

Например, извлечём квадратный корень из числа 37 . Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37 . Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых:

Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36 . Квадратный корень из него равен 6 . И далее отталкиваясь от числа 6 , можно находить приближённое значение корня √37 , проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6 .

Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:

1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25
6 2 = 36
7 2 = 49
8 2 = 64
9 2 = 81
10 2 = 100

И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:

Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.

Например, 6 2 = 36 . Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60 . Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600

А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:

Тогда можно сделать следующий вывод:

Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.

Например, извлечём квадратный корень из числа 900 . Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9 . Извлекаем из него корень, получаем 3

Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3

Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000

Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:

Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000

Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:

Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500

Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:

Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) в 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.

Например, . Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:

И наоборот, если в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:

Пример 2. Увеличим в равенстве подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз

Пример 3. Уменьшим в равенстве подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз

Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат. В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100 . Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз.

Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25 . В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25.

Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:

Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100 .

В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.

Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, .

Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.

Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225 , квадратный корень из которого равен 35 .

Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225 . Умнóжим данную десятичную дробь на 10000 , полýчим 1225 . Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов:

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225 , а не из 1225 . Чтобы исправить ситуацию, в равенстве подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225 , а правая часть уменьшится в 100 раз

Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25 . Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби.

Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100 , полýчим 1225 . Извлечём корень из числа 1225

Теперь в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25 , и соответственно ответ уменьшится в 10 раз

Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].

В этом случае применяется таблица квадратов:

Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000] . Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100] . Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576

Видим, что это число 24. Значит .

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432 .

Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000] . Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100] . Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо.

Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.

В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.

Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:

Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432 . Проверим тогда значение 20,7

Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49 , которое меньше исходного числа 432 , но близко к нему. Значит √432 ≈ 20,7 .

Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.

Например, извлечём корень из числа 4225 . Нам известен ближайший меньший квадрат 3600 , и ближайший больший квадрат 4900

Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:

Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70 . Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900 . Затем можно проверить, например, корень 64 . Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя)

Корень 64 не годится. Проверим корень 65

Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Тождественные преобразования с квадратными корнями

Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.

Квадратный корень из произведения

Квадратный корень из произведения это выражение вида , где a и b некоторые числа.

Например, выражение является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.

Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение в виде произведения корней . Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3 , которое равно 6

Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9 , которое равно 36 . Затем извлечь квадратный корень из числа 36

Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.

Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12

Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.

Итак, разлóжим число 144 на простые множители:

Получили следующее разложение:

В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.

Тогда четыре двойки можно заменить на запись 2 2 × 2 2 , а две тройки заменить на 3 2

В результате будем иметь следующее разложение:

Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144

Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:

Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.

Тогда получится произведение 2 × 2 × 3 , которое равно 12

Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.

Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 . Это разложение можно записать под кóрнем как есть:

затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:

Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:

С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.

Например, извлечём квадратный корень из числа 13456 . Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители.

Итак, разложим число 13456 на простые множители:

В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 2 2 . А два числа 29 предстáвим как 29 2 . В результате полýчим следующее разложение числа 13456

Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456

Итак, если a ≥ 0 и b ≥ 0 , то . То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Докажем равенство . Для этого воспользуемся определением квадратного корня.

Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b , при котором выполняется равенство b 2 = a .

В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab .

Итак, выпишем правую часть равенства и возведём ее во вторую степень:

Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:

Ранее было сказано, что если выражение вида возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab . А это есть подкореннóе выражение квадратного корня

Значит равенство справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.

Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:

, при a ≥ 0 и b ≥ 0, c ≥ 0.

Пример 1. Найти значение квадратного корня

Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

Пример 2. Найти значение квадратного корня

Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10 . Делать это будем под знáком корня:

Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100

Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:

Пример 3. Найти значение квадратного корня

Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 11 4 предстáвим как (11 2 ) 2 .

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

В нашем случае квадратный корень из числа (11 2 ) 2 будет равен 11 2 . Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется:

Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:

Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 11 4 нужно записать в виде произведения 11 2 × 11 2 . Затем извлечь квадратный корень из этого произведения:

Пример 4. Найти значение квадратного корня

Перепишем степень 3 4 в виде (3 2 ) 2 , а степень 5 6 в виде (5 3 ) 2

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:

Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения

Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

Пример 6. Найти значение квадратного корня

Пример 7. Найти значение квадратного корня

Если первый сомножитель умножить на число n , а второй сомножитель разделить на это число n , то произведение не изменится.

Например, произведение 8 × 4 равно 32

Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2 , а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2 , которое тоже равно 32 .

Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.

Например, извлечём квадратный корень из произведения . Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.

Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90 , можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10 , а второй сомножитель 90 разделить на 10 , то полýчится произведение 16 × 9 . Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения.

Запишем полное решение данного примера:

Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:

Пример 9. Найти значение квадратного корня

Умнóжим первый сомножитель на 10 , а второй раздéлим на 10 . Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04 , квадратный корень из которого извлекается:

Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство . Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.

Например, узнáем чему равно значение выражения .

Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом , то есть заменим выражение из двух корней на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40

Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:

А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20

Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.

Например, найдём значение выражения .

Воспользуемся правилом

Сомножитель 32 это 2 5 . Предстáвим этот сомножитель как 2 × 2 4

Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 2 4 предстáвим в виде степени с показателем 2

Теперь воспóльзуемся правилом и вычислим окончательный ответ:

Пример 12. Найти значение выражения

Воспользуемся правилом

Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2 , а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7

Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 2 2 × 2 2 , а две семёрки как 7 2

Теперь воспользуемся правилом и вычислим окончательный ответ:

Квадратный корень из дроби

Квадратный корень вида равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a , а в знаменателе — квадратный корень из числа b

Например, квадратный корень из дроби равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4 , а в знаменателе — квадратный корень из числа 9

Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:

Значит, квадратный корень из дроби равен .

Докáжем, что равенство является верным.

Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь , то это будет означать, что равенство верно:

Пример 1. Извлечь квадратный корень

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Пример 2. Извлечь квадратный корень

Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Пример 3. Извлечь квадратный корень

Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3 . Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби.

Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:

Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Пример 4. Найти значение выражения

Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:

Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.

Пример 5. Найти значение выражения

Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4

Пример 6. Найти значение выражения

Сначала найдём значение квадратного корня . Он равен 0,6 поскольку 0,6 2 = 0,36

Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:

Вынесение множителя из-под знака корня

В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.

Рассмотрим квадратный корень из произведения . Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:

В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение оставим без изменений:

Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.

На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:

Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:

Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:

Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:

Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √ 15 и 11 местами:

Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:

Пример 6. Упростить выражение

Предстáвим второе слагаемое в виде . А третье слагаемое предстáвим в виде

Теперь в выражениях и вынесем множитель из-под знака корня:

Во втором слагаемом перемнóжим числа −4 и 4 . Остальное перепишем без изменений:

Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Вычислим содержимое скобок, полýчим −1

Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим следующее выражение:

В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.

Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.

Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15

Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.

Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:

Итак, если данó выражение , и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении

Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:

Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении

Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:

Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении

Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида не имеет смысла.

Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.

Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении

В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:

Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

Роль переменной a в данном случае играет выражение √3 , роль переменной b — выражение √2 . Тогда полýчим:

Теперь необходимо упростить получившееся выражение.

Для выражений и применим правило . Ранее мы говорили, что если выражение вида возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.

А в выражении для множителей и применим правило . То есть заменим произведение корней на один общий корень:

Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом вычислить произведение, которое под кóрнем:

Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b) , при возведении которого в квадрат мы получим число (a) : [sqrt a=bquad textquad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0) .
(bullet) Чему равен (sqrt) ? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt=5) (так как (25=5^2) ).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a) , а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt) , (sqrt) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20) : [begin hline 1^2=1 & quad11^2=121 \ 2^2=4 & quad12^2=144\ 3^2=9 & quad13^2=169\ 4^2=16 & quad14^2=196\ 5^2=25 & quad15^2=225\ 6^2=36 & quad16^2=256\ 7^2=49 & quad17^2=289\ 8^2=64 & quad18^2=324\ 9^2=81 & quad19^2=361\ 10^2=100& quad20^2=400\ hline end]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt+sqrt) , то первоначально вы должны найти значения (sqrt) и (sqrt) , а затем их сложить. Следовательно, [sqrt+sqrt=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt 2+ sqrt ) мы можем найти (sqrt) – это (7) , а вот (sqrt 2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt=sqrt 2+7) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя (bullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrtquad textquad sqrt a:sqrt b=sqrt] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: (sqrtcdot sqrt 2=sqrt=sqrt=8) ; (sqrt:sqrt3=sqrt=sqrt=16) ; (sqrt=sqrt=sqrtcdot sqrt= 5cdot 8=40) . (bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt) . Так как (44100:100=441) , то (44100=100cdot 441) . По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49) , то есть (441=9cdot 49) .
Таким образом, мы получили: [sqrt=sqrt= sqrt9cdot sqrtcdot sqrt=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt<dfrac>= sqrt<dfrac>= sqrt< dfrac>=dfrac<sqrtcdot sqrt4 cdot sqrt>=dfrac3=dfrac3]
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot sqrt2) ). Так как (5=sqrt) , то [5sqrt2=sqrtcdot sqrt2=sqrt=sqrt] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2) ,
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a) .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a) . Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a) , то есть (4sqrt2) .

Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2) , поэтому (sqrt=4) . А вот извлечь корень из числа (3) , то есть найти (sqrt3) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14) ), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7) ) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|) , равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3) .
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a) .
Пример: (|5|=5) ; (qquad |sqrt2|=sqrt2) . (bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a) .
Пример: (|-5|=-(-5)=5) ; (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|) . (bullet) Имеют место следующие формулы: [<large<sqrt=|a|>>] [<large>, text ageqslant 0] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что (sqrt) и ((sqrt a)^2) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда (a) – положительное число или ноль. А вот если (a) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо (a) число (-1) . Тогда (sqrt=sqrt=1) , а вот выражение ((sqrt )^2) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt) не равен ((sqrt a)^2) ! Пример: 1) (sqrt=|-sqrt2|=sqrt2) , т.к. (-sqrt2 ;

(phantom) 2) ((sqrt)^2=2) . (bullet) Так как (sqrt=|a|) , то [sqrt<a^>=|a^n|] (выражение (2n) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) (sqrt=|4^3|=4^3=64)
2) (sqrt=|-25|=25) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен (-25) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) (sqrt<x^>=|x^8|=x^8) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
(bullet) Для квадратных корней верно: если (sqrt a , то (a ; если (sqrt a=sqrt b) , то (a=b) .
Пример:
1) сравним (sqrt) и (6sqrt2) . Для начала преобразуем второе выражение в (sqrtcdot sqrt2=sqrt=sqrt) . Таким образом, так как (50 , то и (sqrt . Следовательно, (sqrt .
2) Между какими целыми числами находится (sqrt) ?
Так как (sqrt=7) , (sqrt=8) , а (49 , то (7 , то есть число (sqrt) находится между числами (7) и (8) .
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5) . Предположим, что (sqrt2-1>0,5) : [begin &sqrt 2-1>0,5 big| +1quad text\[1ex] &sqrt2>0,5+1 big| ^2 quadtext\[1ex] &2>1,5^2\ &2>2,25 end] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1 .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве (-3 нельзя (убедитесь в этом сами)! (bullet) Следует запомнить, что [begin &sqrt 2approx 1,4\[1ex] &sqrt 3approx 1,7 end] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! (bullet) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем (sqrt) . Мы знаем, что (100^2=10,000) , (200^2=40,000) и т.д. Заметим, что (28224) находится между (10,000) и (40,000) . Следовательно, (sqrt) находится между (100) и (200) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между (120) и (130) ). Также из таблицы квадратов знаем, что (11^2=121) , (12^2=144) и т.д., тогда (110^2=12100) , (120^2=14400) , (130^2=16900) , (140^2=19600) , (150^2=22500) , (160^2=25600) , (170^2=28900) . Таким образом, мы видим, что (28224) находится между (160^2) и (170^2) . Следовательно, число (sqrt) находится между (160) и (170) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце (4) ? Это (2^2) и (8^2) . Следовательно, (sqrt) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем (162^2) и (168^2) :
(162^2=162cdot 162=26224)
(168^2=168cdot 168=28224) .
Следовательно, (sqrt=168) . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.