Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, подставляя y’ в уравнение, получим Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения– тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения– решение этого уравнения.

Действительно, Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения– тождество.

А это и значит, что функция Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения– есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, получим: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияопределяет различные решения уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияявляются решениями уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x0) = y0, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x0) = y0,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M0(x0,y0).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Решением этого уравнения является функция Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Действительно, заменив в данном уравнении, Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияего значением, получим

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениято есть 3x=3x

Следовательно, функция Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияявляется общим решением уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияпри любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, получим Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияоткуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияподставив в это уравнение, полученное значение C = 0 Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения– частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияв котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияназывается уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияпо x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияи f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

  1. Производную функции переписать через её дифференциалы Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
  2. Разделить переменные.
  3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
  4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

разделим переменные Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

проинтегрируем обе части равенства:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Ответ: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияОтсюда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Подставив начальные значения x0 = 1, y0 = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияили Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение. Согласно условию Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Проинтегрировав обе части уравнения, получим: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Следовательно, искомое уравнение имеет вид Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениято уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениягде С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияданного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияy’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениячастным решением будет являться постоянная функция Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения. Поэтому общее решение имеет вид Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Следовательно, Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениягде С – произвольная постоянная.

Ответ: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Разделим переменные и получим: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Откуда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения. Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

6. Подставить полученное значение v в уравнение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(из п.4):

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

и найти функцию Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияЭто уравнение с разделяющимися переменными: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

7. Записать общее решение в виде: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, т.е. Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобкиКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияНайдем функцию v: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Подставим полученное значение v в уравнение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияПолучим: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияНайдем функцию u = u(x,c) Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияНайдем общее решение: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияНайдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Ответ: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, в которую входят две произвольные постоянные C1 и C2.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияпри некоторых значениях произвольных постоянных C1 и C2.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив через r 2 , y’ через r, yчерез 1: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияr 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, где C1 и C2 — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Общее решение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Дифференцируя общее решение, получим Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Составим систему из двух уравнений Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Подставим вместо Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения,Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияи Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениязаданные начальные условия:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Таким образом, искомым частным решением является функция

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

2. Найти частное решение уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

1. Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

1. Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

2. а) Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

2. а) Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

б) Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

б) Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

в) Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

в) Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

г) Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

г) Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Содержание
  1. Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами
  2. Алгоритм решения дифференциальных уравнений
  3. Примеры решения дифференциальных уравнений
  4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
  5. Обыкновенные дифференциальные уравнения
  6. Основные понятия о дифференциальных уравнениях
  7. Дифференциальные уравнения первого порядка
  8. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
  9. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
  10. Однородные дифференциальные уравнения
  11. Линейные дифференциальные уравнения
  12. Дифференциальное уравнение Бернулли
  13. Обыновенное дефференциальное уравнение
  14. Основные понятия и определения
  15. Примеры с решением
  16. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
  17. Системы дифференциальных уравнений первого порядка
  18. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
  19. 🔥 Видео

Видео:1. Проверка решений дифференциальных уравнений.Скачать

1.  Проверка решений дифференциальных уравнений.

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Видео:Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения #calculus #differentialequationСкачать

Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения #calculus #differentialequation

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Далее интегрируем полученное уравнение:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

В данном случае интегралы берём из таблицы:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Если – это константа, то

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения0]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Ответ

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Получаем общее решение:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

можно выразить функцию в явном виде.

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Подставим полученное частное решение

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

и найденную производную в исходное уравнение

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Ответ

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Задание

Найти частное решение ДУ.

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Подставляем в общее решение

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Ответ

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Левую часть интегрируем по частям:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

В интеграле правой части проведем замену:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Ответ

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Видео:11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

11. Уравнения в полных дифференциалах

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0.
(7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения. (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияимеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения— функции Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениягде C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С0) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x0 равна заданному значению y0 , то есть y (x0) = y0 или Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияимеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения. Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x0) = y0.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияимеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияимеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Если задано начальное условие Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениято это означает, что задана точка M0 (x0;y0), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M0 (x0; y0).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (y) dy = f2 (x) dx,
(7.8)
где f1 (y) и f2 (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияявляется частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0
(7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f2 (y) g1 (x), получим уравнение с разделенными переменными:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Интегрируя это уравнение, запишем
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Интегрируя, получим
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияоткуда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениябудем иметь:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Тогда уравнение (7.10) запишется в виде Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияили y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияпримет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, откуда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

После интегрирования получим Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениявместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияили Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Отделяя переменные, найдем
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияоткуда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияили Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, то есть
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, откуда
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
откуда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияили
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияили Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, тогда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениякоторый удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Подставим v в уравнение и найдем u:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Общее решение дифференциального уравнения будет:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Из общего решения получаем частное решение
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(или Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения)
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем (или ) в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на :
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Сделаем замену: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.
Сделаем замену Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияТогда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Тогда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, а при y -1 = z = uv, имеем
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Видео:Проверить, является ли функция оригиналом; Laplace Transform: The Heaviside step functionСкачать

Проверить, является ли функция оригиналом; Laplace Transform: The Heaviside step function

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияискомую функцию Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияи производные искомой функции Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениядо некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Здесь Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения— известная функция, заданная в некоторой области Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Число Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненият. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

используя последнее в окрестности тех точек, в которых Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияобращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Обе переменные Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияи Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениявходят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияполучаем более симметричное уравнение:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

где Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияОбратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияили Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениятак что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияопределена на некотором подмножестве Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениявещественной плоскости Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияФункцию Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияопределенную в интервале Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениямы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

  1. Существует производная Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениядля всех значений Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияиз интервала Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(Отсюда следует, что решение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияпредставляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
  2. Функция Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияобращает уравнение (2) в тождество: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

справедливое для всех значений Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияиз интервала Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияЭто означает, что при любом Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияиз интервала Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияточка Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияпринадлежит множеству Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияи Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияэтого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

является решением уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

в интервале Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

справедливое при всех значениях Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Пример 2.

Функция Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияесть решение равнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияв интервале Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Пример 3.

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

является решением уравнения Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

в интервале Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Иногда функцию Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияобращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Видео:ТФКП. Восстановление аналитической функции по ее известной действительной частиСкачать

ТФКП. Восстановление аналитической функции по ее известной действительной части

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), . yn = yn (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y1 , y2 , . yn и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что силаКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения, а соответственно и ее проекции Fx, Fy, Fz зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения. Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.38)

где x — независимая переменная, y1, y2, . yn — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y1, y2, . yn, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y1, y2, . yn , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Заменим производные
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияих выражениями f1, f2, . fn из уравнений системы (7.38), получим уравнение
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Продолжая дальше таким образом, получим
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
В результате получаем следующую систему уравнений:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y2, y3, . yn:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y1: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнениякак функции от x, C1, C2, . Cn. Подставим эти функции в (7.41), найдем
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
когда заданы начальные условия Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения. Подставляем сюда значение Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияи Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияиз системы, получим Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Из первого уравнения системы найдем Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияи подставим в полученное нами уравнение:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияили Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Общим решением этого уравнения является
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения (*)
и тогда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения (**)

Подберем постоянные С1 и С2 так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С1 – 9; 0 = С2 – 2С1 + 14, откуда С1 = 10, С2 = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.44)
где коэффициенты aij — постоянные числа, t — независимая переменная, x1 (t), . xn (t)
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.45)

Надо определить постоянные α1, α2, . αn и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α1, α2, . αn. Составим определитель системы:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияили k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = 4.

Решение системы ищем в виде
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Составим систему (7.46) для корня k1 и найдем Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияи Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияили Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Откуда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияПоложив Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияполучим Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Итак, мы получили решение системы:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Откуда Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Получим второй решение системы: Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения
Общее решение системы будет:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k1 = α + iβ, k2 = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.47)

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения(7.49)
где Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения— действительные числа, которые определяются через Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения.

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияили k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k1 = –6 + i, k2 = –6 – i .

Подставляем поочередно k1, k2 в систему (7.46), найдем
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Перепишем эти решения в таком виде:

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:
Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Общим решением системы будет

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Как проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Как проверить является ли функция решением дифференциального уравненияКак проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

🔥 Видео

ТФКП. Проверить условия Коши-Римана. Выяснить является ли функция аналитической.Скачать

ТФКП. Проверить условия Коши-Римана. Выяснить является ли функция аналитической.

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.

Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

Геометрический смысл дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравнения

Определяем тип ДУ 1Скачать

Определяем тип ДУ 1

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Общее и частное решение дифференциального уравненияСкачать

Общее и частное решение дифференциального уравнения
Поделиться или сохранить к себе: