Как привести уравнение к нормальной форме коши

1.1 Приведение к нормальной форме Коши

Нормальной формой Коши принято называть общую форму записи ОДУ, то есть представление в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

(1)

ДУ второго порядка, заданное согласно варианту №3 имеет вид:

(2)

Задание предполагает нахождение решения на интервале при следующих начальных условиях:

(3)

Для решения ДУ его просто необходимо представить согласно нормальной формы Коши. Для этого руководствуемся следующими обозначениями:

(4)

В итоге имеется система ДУ первого порядка вида:

(5)

Произведя все вышеописанные манипуляции над заданным в варианте уравнением, получим следующую систему:

(6)

Система (6) есть решение уравнения (2).

1.2 Метод Рунге-Кутты второго порядка

В методах Рунге-Кутты интеграл заменяется линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента:

(7)

Метод Рунге-Кутты представим в виде:

Из вышеуказанных общих формул (8) получают формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка m=2;

(9)

Для определения метода необходимо найти значения вещественных коэффициентов: . Для этого интеграл, заменяемый линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента, можно представить как:

(10)

А его, в свою очередь, можно представить рядом Тейлора:

(11)

где — сумма элементов ряда Тейлора, степень которых не ниже 3.

Осталось найти неизвестные значения

(12)

В результате таких бесхитростных манипуляций получаем искомый ряд Тейлора:

(13)

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях

(11) и (13). В итоге получим систему уравнений вида:

(14)

Из свойств системы (14) следует отметить, что она не обладает единственным решением. При значение , значение , а (15)

Подставив полученные коэффициенты в соотношение (8), получаем следующие формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка:

(16)

2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ

Составленная в ходе курсовой работы программа вычисляет решения дифференциального уравнения, с предварительно заданными начальными условиями. Интегрирование происходит согласно двум методам: Рунге-Кутты второго и четвертого порядков.

Программа состоит из следующих модулей:

1) Основная программа;

2) Процедура вычисления точного решения ДУ;

3) Процедура вычисления правых частей;

4) Процедура выполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 2-ого порядка;

5) Процедура выполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 4-ого порядка.

Как привести уравнение к нормальной форме коши

Lv 1 = f, Lv 2 = f,

То есть сумма решений линейного однородного и линейного неоднородного уравнений (с тем же L) есть решение того же неоднородного уравнения; разность двух решений линейного неоднородного уравнения есть решение линейного однородного уравнения.

2.3. Линейная зависимость вектор-функций.

Вектор-функции x 1 (t), . x k (t) называются линейно зависимыми на интервале (или на множестве) М , если найдутся такие постоянные числа c₁. c_k, из которых хотя бы одно не равно нулю, что при всех t Î M имеем

Вектор-функции линейно независимы на M , если они не являются линейно зависимыми на M, то есть если равенство (12) (при всех t Î M одновременно) возможно лишь в случае c₁ = . = с_k = 0.

Понятие линейной зависимости вектор-функций на данном множестве M, содержащем более одной точки, отличается от известного из алгебры понятия линейной зависимости векторов.

Если вектор-функции x 1 (t), . x k (t) линейно зависимы на M, то при каждом t Î M их значения являются линейно зависимыми векторами, это следует из (12). Обратное неверно.

x 1 (t) = (1,1) и x 2 (t) = (t, t)

при любом t являются линейно зависимыми векторами.

Но как вектор-функции, они на любом интервале ( α, β) линейно независимы, так как при постоянных с₁ и c₂ равенство

на всем интервале ( α, β) возможно лишь при с₁ = с₂ = 0.

Действительно, c₁x 1 (t) + c₂ x 2 (t) = 0 эквивалентно выполнению равенства

2.3. Детерминант Вронского.

Детерминант Вронского W (t) или вронскиан для n-мерных вектор-функций

х 1 (t). , x n ( t ) — это детерминант n-го порядка, столбцы которого состоят из координат этих вектор-функций.

Если вектор-функции x 1 (t), . x n (t) линейно зависимы, то их вронскиан W(t) ≡ 0.

Если вронскиан W(t) ≠ 0 ( $ t ), то вектор-функции x 1 (t), . x n (t) линейно независимы.

Если вектор-функции x 1 (t), . x n (t) являются решениями системы х’ = A(t)x с непрерывной матрицей A ( t ), и их вронскиан равен нулю хотя бы при одном значении t , то эти вектор-функции линейно зависимы и их вронскиан W(t) ≡ 0.

Для вектор-функций, не являющихся решениями, утверждение леммы 3 неверно. В частности, для вектор-функций примера 2

x 1 (t) = (1,1) и x 2 (t) = (t, t)

имеем: W(t) ≡ 0, а они линейно независимы.

Далее рассматриваются решения линейной системы

Фундаментальной системой решений называется любая система n линейно независимых решений.

Покажем, что фундаментальные системы существуют. Возьмем t₀ Î ( α, β) и любые n линейно независимых векторов b 1 , …, b n Î R n

Пусть х 1 (t). ,x n (t) — решения системы х’ = A(t)x с начальными условиями x j (t 0 ) = b j , j = 1. ,n.

Эти решения линейно независимы, так как при t = t₀ их значения — линейно независимые векторы b 1 . b n , и равенство (12) возможно только при c₁ = . = c_n = 0.

Общим решением системы дифференциальных уравнений называют множество функций, содержащее все решения этой системы и только их (или формулу, представляющую это множество при всевозможных значениях произвольных постоянных).

Теорема 5 (об общем решении).

Пусть x l (t). x n (t) — какие-нибудь n линейно независимых решений системы

Общее решение системы есть

Теорема 5 означает, что множество решений системы х’ = A(t)x (х Î R n ) есть n-мерное линейное пространство.

Базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Равенство (13) есть представление любого элемента этого пространства в виде линейной комбинации элементов базиса.

Фундаментальной матрицей системы х’ = A(t)x называется матрица X(t), столбцы которой составляют фундаментальную систему решений.

Из леммы 3 следует, что det X(t) = W(t) ≠ 0.

С помощью фундаментальной матрицы X(t) общее решение (13) записывается в виде

где с — вектор-столбец с произвольными координатами c₁. с_n (так как X(t)c — линейная комбинация столбцов матрицы X(t), равная правой части (13) с коэффициентами с₁. с_n.

Найти линейно независимые решения и фундаментальную матрицу для системы

Из второго уравнения имеем у = с₁ (произвольная постоянная). Подставляя в первое уравнение, получаем х’ = с₁. Отсюда х = c₁t + c₂.

Общее решение есть х = c₁t + c₂,

Полагая с₁ = 1, с₂ = 0, находим частное решение х₁ = t,

y₁ = 1, а полагая с₁ = 0, с₂ = 1, находим другое решение х₂ = 1,

y₂ = 0. Их вронскиан W(t) = -1 ≠ 0. И в силу следствия леммы 2 эти решения линейно независимы. Поэтому фундаментальной является матрица

X T = x 1 x 2 y 1 y 2 .

Теорема 6 (переход от одной фундаментальной матрицы к другой).

Пусть X(t) — фундаментальная матрица, С — неособая (det С ≠ 0) постоянная матрица n x n. Тогда Y(t) = X(t)C — фундаментальная матрица той же системы. По этой формуле из данной фундаментальной матрицы X(t) можно получить любую фундаментальную матрицу Y(t), подбирая матрицу С.

Теорема 7 . Общее решение линейной неоднородной системы (10)

есть сумма ее частного решения и общего решения линейной однородной системы

3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКИ.

Дифференциальные уравнения занимают особое место в ма­тематике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построе­нию математических моделей, основой которых являются диф­ференциальные уравнения.

В дифференциальных уравнениях неизвестная функция со­держится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функ­ций, представляющих собой решения этих уравнений.

На этой лекции мы рассмотрим пример примене­ния теории дифференциальных уравнений в непрерывной мо­дели экономики, где независимой переменной является вре­мя t . Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономичес­кой динамики.

3.1. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тен­денции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функци­ями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P ( t ).

Рассмотрим конкретный пример. Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены Р и ее производных:

D(t) = 3P′′ – P′ – 2P +18,

S(t) = 4P′′ + P′ + 3P + 3. (14)

Принятые в (14) зависимости вполне реалистичны: поясним это на слагаемых с производными функции цены.

1. Спрос «подогревается» темпом изменения цены: если темп растет ( Р» > 0), то рынок увеличивает интерес к то­вару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком минус.

2. Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при Р» в функции S ( t ) больше, чем в D ( t ) . Рост цены также увеличивает предложе­ние, потому слагаемое, содержащее Р’ , входит в выражение для S ( t ) со знаком плюс.

Требуется установить зависимость цены от времени. По­скольку равновесное состояние рынка характеризуется равен­ством D = S , приравняем правые части уравнений (14). После приведения подобных получаем

Соотношение (15) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P ( t ) . Как было установлено в предыдущем пункте, общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частно­го решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

Характеристическое уравнение имеет вид

Его корни — комплексно-сопряженные числа: k _1,2 = -1 ± 2 i, и, следовательно, общее решение уравнения (16) дается фор­мулой

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные.

В качестве частно­го решения неоднородного уравнения (15) возьмем решение Р = P _st — постоянную величину как установившуюся цену. Подстановка в уравнение (15) дает значение P _st :

Таким образом, общее решение уравнения (15) имеет вид

Нетрудно видеть, что P ( t ) P _st = 3 при t , т.е. все интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту Р = 3 и колеблются около нее. Это означает, что все цены стремятся к установившейся цене P _st с колебаниями около нее, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

3.2. Частные решения: задача Коши и смешанная задача.

Приведем частные решения этой задачи в двух вариантах: задача Коши и смешанная задача.

1. Задача Коши. Пусть в начальный момент времени из­вестна цена, а также тенденция ее изменения: При t =0

Подставляя первое условие в формулу общего решения (17), получаем

P(t) = 3 + e –t (cos 2t + C₂ sin 2t). (18)

Дифференцируя , имеем отсюда

Теперь реализуем второе условие задачи Коши:

Р’ (0) = 2 C₂ — 1 = 1, откуда C ₂ = 1 . Окончательно получаем, что решение задачи Коши имеет вид

P(t) = 3 + e –t (cos 2t + sin 2t).

или в более удобной форме:

P t = 3+ 2 e — t cos 2 t — π 4 .

2. Смешанная задача. Пусть в начальный момент времени известны цена и спрос:

Поскольку первое начальное условие такое же, как и в преды­дущем случае, то имеем и здесь решение (18). Тогда произ­водные функции Р( t ) выражаются формулами

Отсюда Р’(0) =2 C ₂ — 1 и Р»( 0 ) = —4 C ₂ — 3 . Подставляя эти равенства во второе условие задачи, т.е. D ( 0 ) = 16 , имеем с учетом вида D ( t ) из первой формулы (14): С₂ = -1. Итак, решение данной задачи имеет вид

или в более удобной форме:

P t = 3- 2 e — t sin 2 t — π 4 .

Интегральные кривые, соответствующие задачам 1 и 2, изоб­ражены на рисунке 1.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 2009. — 448 с. — (Учебники РУДН).

[2] Колемаев В. А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем: Учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — 295 с.

[3] Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. — 2-е изд., испр. — М.: Дело, 2001. — 688 с.

[4] Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. СПб.: Питер, 2005. – 464, ил. (Серия «Учебное пособие»).

[5] Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. Изд. 2-е, испр. М.: КомКнига, 2007. — 240 с.

Как привести уравнение к нормальной форме коши

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:

1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

2) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;

5) – уравнение в частных производных первого порядка.

В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).

Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).

Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Например, общее решение уравнения записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)

507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.

△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем

x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲

508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.

△ Полагая , перепишем данное уравнение в виде

Проинтегрируем обе части уравнения:

, или

Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем

▲

509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.

△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем

, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.

Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲

510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.

△ Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, получим

, или ln |y| = – arctg x + С

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,

ln у = – arctg х + π/4,

откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.