Как привести уравнение к каноническому виду в математической физике (7 видео)

Видео:Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду

С помощью должным образом подобранного преобразования переменных

уравнение (4.3) можно преобразовать к наиболее простому <каноническому)виду, зависящему от типа этого уравнения.

Предположим, что функции ?(х, у) и Г|(х, у) дважды непрерывно дифференцируемы и якобиан преобразования (4.5) отличен от нуля в области D:

Тогда система (4.5) однозначно разрешима относительно х и у в некоторой области G точек (?, Г|), см. [3]. В предположении о двойной непрерывной дифференцируемости функции и(х, у), в области D вычислим ее производные по новым переменным ? и г по правилу дифференцирования сложной функции:

Подставляя найденные выражения для вторых производных в уравнение (4.2), получаем:

где

Легко убедиться в том, что

Из (4ЛЗ) следует, что преобразование независимых переменных (4.5) сохраняет тип уравнения (4.2) или (4.3).

Выберем преобразование (4.5), для которого часть уравнения

(4.2) , зависящая от старших производных, в новых переменных (?, г|) имеет наиболее простой вид. Тогда уравнение (4.2) принимает форму, которую называют канонической формой или каноническим видом данного уравнения.

Чтобы перейти к каноническому виду уравнения (4.2), найдем функции % = Ь> <х, у)и т| = t|(jc, у), для которых часть коэффициентов из (4.12) обращаются в нуль.

Из (4.12) видно, что для обращения в нуль коэффициентов а_и и а₂₂ в качестве функций % = ?,(х, у) и Г| = г(х, у) необходимо выбрать решения уравнения

Наряду с исходным уравнением в частных производных (4.2), введем в рассмотрение обыкновенное дифференциальное уравнение

которое называется характеристическим уравнением для уравнения

(4.2) , а его решения — характеристиками уравнения (4.2).

Теорема 4.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемая

функция z = Ф(*, у) была частным решением уравнения (4.14) в области ЛсК 2 , необходимо и достаточно, чтобы равенство ср(х, у) = С определяло в этой области общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения (4.15).

е D. Через эту точку проходит интегральная кривая у₀ уравнения (4.15), для которой ф(х₀, у₀) = Q- Неявное уравнение кривой у₀ имеет вид ф(х, у) = С₀, а в явном виде она описывается функцией у = у(х, С₀), причем у₀ = у(х₀, С₀). С учетом правила дифференцирования неявной функции для всех точек интегральной кривой у₀ имеем:

В частности, для х = х₀ получим:

т.е. в точке (х₀, у₀) функция z = ф(х, у) удовлетворяет уравнению (4.14). В силу произвольности точки (х₀, у₀) е D приходим к выводу, что эта функция является решением уравнения (4.14) во всей области D. >

Таким образом, для преобразования уравнения (4.2) к каноническому виду необходимо найти общие интегралы характеристического уравнения (4.15). Рассмотрим случаи.

Случай 1. Пусть d = а_г — а_иа_п > 0 в области D, т.е. уравнение (4.2) относится к гиперболическому типу. Тогда характеристическое уравнение (4.15) эквивалентно совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений:

Общие интегралы этих уравнений фДх, у) = С_х и ф₂(х, у) = С₂ определяют два семейства вещественных характеристик. Поскольку функции ф](х, у) и ф₂(х, у) являются решениями уравнения (4.14), то, положив

в результате преобразования (4.5) с учетом (4.12) получим а_п = а₂₂ = = 0 в уравнении (4.11). В итоге это уравнение преобразуется к канонической форме уравнения гиперболического типа:

Замечание. Если вместо (4.18) использовать преобразование

то уравнение (4.2) примет вторую каноническую форму уравнения гиперболического типа:

Случай 2. Пусть d = af₂ — а_па_и = 0 в области D, т.е. (4.2) — это уравнение параболического типа. Тогда характеристическое уравнение (4.15) принимает вид

и имеет только одно семейство характеристик ф, (х, у) = С. В преобразовании (4.18) полагаем ? = ?(х, у) = ф(х, у) и г| = ц(х, у) = ф₂(х, у), где ф₂(х, у) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция такая, что якобиан (4.6) преобразования (4.5) отличен от нуля в области D. Тогда в преобразованном уравнении (4.11) коэффициент а_и =0, так как ? = ф(х, у) есть решение уравнения (4.14). Кроме того, а_п = 0, поскольку d = а^₂ — б_па₁₂ = 0 (см. (4.13)) и а_и = 0.

Таким образом, в результате преобразования (4.5) уравнение примет каноническую форму уравнения параболического типа:

Случай 3. Пусть d = а?₂ — fin а и

Соотношение (4.24) представляет собой каноническую форму уравнения эллиптического типа.

Замечание. Приведение уравнения к каноническому виду связано с упрощением части уравнения (4.2), зависящей от старших (вторых) производных.

Для линейного уравнения (4.3) с постоянными коэффициентами возможно и дальнейшее упрощение, связанное с исключением из него первых производных.

Введем новую функцию v(?, г|), связанную с исходной неизвестной функцией м(^, т|) равенством

где а и р — неопределенные коэффициенты, за счет выбора которых достигается исключение первых производных и в преобразованном уравнении.

Найдем производные функции и

и с помощью соотношений (4.25), (4.26) перейдем к уравнению относительно функции v. После приведения подобных в этом уравнении приравниваем к нулю коэффициенты при и v_n. Решив полученную систему двух уравнений, найдем значения аир.

Пример 4.3. Упростить уравнение

исключив из него первые производные.

2 + р 2 — 4а + 2(3 = -5. Окончательно получаем преобразованное уравнение:

Пример 4.4. Привести к каноническому виду уравнение

и провести его дальнейшее упрощение.

0 и уравнение относится к гиперболическому типу.

Характеристическое уравнение (4.15) имеет вид

Оно эквивалентно совокупности дифференциальных уравнений (4.17):

Отсюда находим характеристики и делаем замену переменных

Вычислим частные производные функций ^ и г:

Для упрощения дальнейших расчетов найдем по формулам (4.7)—

(4.10) и (4.29) выражения для всех производных, входящих в уравнение (4.27), и запишем слева от вертикальной черты коэффициенты при этих производных:

Теперь легко подсчитать коэффициенты, с которыми производные неизвестной функции входят в преобразованное уравнение:

Итак, мы нашли каноническую форму уравнения (4.27): или

Проведем дальнейшее упрощение уравнения с помощью преобразования (4.25). По формулам (4.26) находим:

После группировки коэффициентов при v^, v^, и v получаем:

откуда следует, что а = 2, (3 = -1. В итоге всех упрощений уравнение

(4.27) принимает вид

Замечание. Отметим, что результат примера 4.4 позволяет найти общее решение уравнения (4.27) в явном виде. Действительно, общий интеграл уравнения (4.30) имеет вид

где Ф и — произвольные один раз непрерывно дифференцируемые функции, см. (1.4).

Перейдем по формуле (4.25) при а = 2, (3 = -1 к исходной функции:

Возвращаясь к первоначальным переменным (х, у) по формулам

где Ф и Ч* — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Таким образом, приведение уравнений гиперболического типа к каноническому виду в некоторых случаях можно использовать как метод решения таких уравнений. 1>

Пример 4.5. Привести к каноническому виду уравнение

2 , за исключением точек осей координат, т.е. D = <(х, у) е R 2 | х * 0, у * о>.

В данном случае а_и = х 2 , а_п = ху, а₂₂ = у 2 , поэтому d = 0 и уравнение относится к параболическому типу.

Характеристическое уравнение (4.15) имеет вид

Оно равносильно одному дифференциальному уравнению (4.17):

общий интеграл которого имеет вид ф = — = С. Делаем замену пере-

менных, полагая, например, г| = х:

Такая замена допустима, так как якобиан (4.6)

После применения формул (4.8)—(4.10) и приведения подобных членов получаем

Выразим из (4.32) исходные переменные (х, у) через новые переменные (?, rj): х = г|, у = ^г). Подставив эти выражения в (4.33), окончательно найдем канонический вид уравнения (4.31):

Замечание. Отметим, что, используя полученный результат, можно найти общее решение уравнения (4.31) в явном виде. Для этого про-

интегрируем равенство Т)) = — по переменной Т| дважды. После первого интегрирования получим:

Интегрируя вторично, найдем:

где Ф и ? — произвольные непрерывные функции.

Возвратимся к старым переменным (х, у), используя равенства (4.32):

где Ф и — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Таким образом, приведение уравнений и параболического типа к каноническому виду в некоторых случаях можно применять как метод решения таких уравнений.

Пример 4.6. Привести к каноническому виду уравнение

2 ) 2 . Таким образом, d = 0 — (1 + у 2 ) 2 2 , поэтому уравнение относится к эллиптическому типу.

Характеристическое уравнение (4.15) имеет вид

Оно эквивалентно совокупности дифференциальных уравнений (4.23):

Отсюда находим характеристики и делаем замену переменных

Вычислим частные производные функций ?, и г:

Как и в примере 4.4, для упрощения дальнейших расчетов найдем по формулам (4.7)—(4.10) и (4.36) выражения для всех производных, входящих в уравнение (4.34), и запишем слева от вертикальной черты коэффициенты при этих производных:

Подсчитаем коэффициенты, с которыми производные неизвестной функции входят в преобразованное уравнение:

Итак, каноническая форма уравнения (4.34) имеет вид

Мы рассмотрели классификацию уравнений в частных производных второго порядка, зависящих от двух независимых переменных. Аналогично классифицируются уравнения, зависящие от большего числа переменных.

Обычно число независимых переменных в математических моделях физики и других наук не превосходит четырех (от одной до трех пространственных переменных и, возможно, время). В достаточно общем случае уравнения математической физики сводятся к одной из следующих канонических форм.

1. Математическое описание различных видов волн — упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений обычно сводится к волновому уравнению (1.5):

относящемуся, как и уравнение колебаний струны (3.3), к гиперболическому типу, см. пример 4.1, а). Здесь с имеет физический смысл скорости волн в данной среде.

2. Процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, а также явления диффузии описываются уравнением теплопроводности (1.6):

которое, как и уравнение (3.14), относится к параболическому типу (см. пример 4.1, б).

3. Математической моделью установившегося (стационарного) теплового процесса в однородной изотропной среде является уравнение Пуассона, см. (1.7) и (3.28):

Это уравнение описывает также потенциалы поля тяготения и электростатического поля в областях, где плотность распределения масс или зарядов пропорциональна f(x, у, z)•

При отсутствии источников тепла или масс и электрических зарядов уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа (1.8):

Уравнения Пуассона и Лапласа относятся к эллиптическому типу, см. пример 4.1, в).

Как уже отмечалось в п. 1.3, перечисленные уравнения называют основными уравнениями математической физики. Они лежат в основе теории широкого круга физических явлений.

Видео:2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, экономики и информатики

Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………

1.1. Необходимый теоретический материал………………………..

1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к

каноническому виду уравнений гиперболического типа) .

1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к

каноническому виду уравнений параболического типа)

1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к

каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..

1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….

Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2.1. Необходимый теоретический материал …………………..

2.2. Пример выполнения задачи 4

2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..

В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.

Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.

§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.

Задача. Определить тип уравнения

(1)

и привести его к каноническому виду.

1.1. Необходимый теоретический материал.

I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения :

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.

Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках ; параболического типа в точках ; и гиперболического типа в точках .

II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:

1. Определить коэффициенты ;

2. Вычислить выражение ;

3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения );

4. Записать уравнение характеристик:

; (2)

5. Решить уравнение (2). Для этого:

а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:

; (3)

б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):

· (4)

в случае уравнения гиперболического типа;

· , (5)

в случае уравнения параболического типа;

· , (6)

в случае уравнения эллиптического типа.

6. Ввести новые (характеристические) переменные и :

· в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.

· в случае уравнения параболического типа в качестве берут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. , в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию , не выражающуюся через , т. е. ;

· в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):

7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:

, (7)

8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:

· в случае уравнения гиперболического типа:

;

· в случае уравнения параболического типа:

;

· в случае уравнения эллиптического типа:

1.2. Пример выполнения задачи 1.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

3. уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (9)

5. Решим уравнение (9). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: ;

;

(10)

б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):

6. Введём характеристические переменные:

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на -100 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.3. Пример выполнения задачи 2.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты . В нашем примере они постоянны:

2. Вычислим выражение :

3. уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (12)

5. Решим уравнение (12). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:

;

(13)

б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):

6. Введём характеристические переменные: одну из переменных вводим как и ранее

а в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , пусть

;

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.

После деления на 25 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.4. Пример выполнения задачи 3.

Определить тип уравнения

(14)

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

3. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (15)

5. Решим уравнение (15). Для этого:

а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: ; (16)

б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)

(17)

6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на 4 (коэффициент при и ):

Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.5. Задачи для самостоятельного решения.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

§2. Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2. 1. Необходимый теоретический материал

В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

(1)

Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов

· в случае уравнения гиперболического типа:

; (11)

· в случае уравнения параболического типа:

; (12)

· в случае уравнения эллиптического типа:

. (13)

Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции

, (14)

где — новая неизвестная функция, — параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид

;

Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам

(15)

Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).