Задание №13 (С1) ЕГЭ профильного уровня по математике – это тригонометрическое, логарифмическое, иррациональное или показательное уравнение. Каждое задание состоит из пунктов а и б. При отсутствии в решении уравнения ответа на вопрос пункта а задание С1 оценивается 0 баллов.
Пункт а предполагает решение предложенного уравнения.
Пункт б предполагает отбор корней любым доступным ученику способом: отбор на тригонометрическом круге, аналитическим методом (подбор значений n), решением двойного неравенства, построением графика
Задание С1
Задание С1 – это тригонометрическое, логарифмическое, иррациональное или показательное уравнение. Каждое задание состоит из пунктов а и б. При отсутствии в решении уравнения ответа на вопрос пункта а задание С1 оценивается 0 баллов.
Основные ошибки при выполнении задания С1 допускаются при нахождении корней простейших тригонометрических уравнений, применении формул, определении знака, отборе корней. Зачастую ошибки связаны с невнимательностью учеников. Многих из них можно избежать, если следовать правилам оформления задания:
- Писать аккуратно, разборчивым почерком;
- Записывать исходное уравнение, предложенное для решения;
- Записывать область допустимых значений;
- Делать проверку корней в иррациональном уравнении;
- Соблюдать последовательность решения;
- Использовать знак равенства при решении уравнения только один раз в каждой строчке;
- Грамотно использовать математические символы;
- Не пренебрегать записью формул перед их использованием;
- Выделять нужную дугу заданного промежутка при отборе корней тригонометрического уравнения с использованием числовой окружности;
- Указывать точки при отборе корней на числовой окружности в тригонометрическом уравнении;
- Записывать ответ.
Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 классСкачать
Исследовательская работа на тему» Тригонометрические уравнения в заданиях ЕГЭ»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
МБОУ « Мордовско-Паёвская СОШ» Инсарского района РМ
Выполнила: Пантилейкина Надежда,
ученица 11 класса
Руководитель: Кадышкина Н.В.,
Глава I. О тригонометрических уравнениях…………………………………..…5
1) Основные типы тригонометрических уравнениях и методы их решения:
1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. …………………………………..5
2. Уравнения, сводящиеся к квадратным…………………………………….5
3. Однородные уравнения acosx + b sin x = 0………………………………. 6
4.Уравнения вида acosx + b sin x = c , с≠ 0…………………………………7
5. Уравнения, решаемые разложением на множители…………………. ….7
6. Нестандартные уравнения………………………………………………….8
Глава II. Основные понятия и формулы тригонометрии…………………….8-10
Глава II I . Уравнения предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет…………. ……10-14
«Единственный путь, ведущий к знаниям — это деятельность. »
Бернард Шоу
Через несколько месяцев я заканчиваю школу.
Чтобы не было проблем с дальнейшим выбором жизненного пути, необходимо получить школьный аттестат, а для того чтобы получить школьный аттестат, необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ — и один из них математика . Что уж там говорить, выпускные экзамены — ответственный период в жизни любого школьника, от которого зависит не только итоговая оценка в аттестате, но и его профессиональное будущее, доход и карьера.
Единый Государственный Экзамен – это важный тест перед переходом в новую жизнь и поступлением в университет или колледж. Особенно важно сдать его на хорошие баллы. ЕГЭ по математике — серьезное испытание и без хорошей базы ученик не сможет претендовать на приличный результат.
Как не допустить провала на экзамене и получить хорошие баллы? Для этого необходимо хорошо решить задания. Я не претендую на максимальный балл, тем не менее старательно готовлюсь. И заметила, что даже на первом задании части С, а, именно, на решении тригонометрических уравнениях и их системах допускаю ошибки. На первый взгляд, задача С1 – это относительно несложное уравнение или система уравнений, которое может содержать тригонометрические функции, одним из основных подходов к решению которых состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Так почему я ошибаюсь?
Актуальность темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах решения тригонометрических уравнений.
Поэтому, перед собой я поставила следующую цель:
Систематизировать, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.
Объектом исследования является изучение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.
Предмет исследования — является решение тригонометрических уравнений
Таким образом, основной целью написания данной курсовой работы является изучение тригонометрических уравнений и их систем, способы их решения.
В соответствии с целями, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:
1). Изучить все задания, связанные с решением тригонометрических уравнений, предлагавшиеся на ЕГЭ работ предыдущих лет и при выполнении диагностических работ;
2) Изучить методы решения тригонометрических уравнений.
3). Выявить основные возможные ошибки при решении таких уравнений;
4). Выяснить причину допущения таких ошибок.
5)Рассмотреть рекомендации по решению тригонометрических уравнений;
6). Сделать выводы.
В своей работе я решу несколько тригонометрических уравнений, покажу возможные ошибки при их решении и постараюсь ответить на следующие вопросы:
1). Можно ли избежать ошибок при выполнении заданий типаС1
2) Если я буду тренироваться в решении уравнений такого типа, то я смогу
ли безошибочно выполнять такие задания?
Для этой цели я изучила все демонстрационные и тренировочные задания, проводимые с нами, материалы ЕГЭ предыдущих лет;
изучила справочные источники;
самостоятельно решала задания из Интернета;
консультировалась со своим учителем в случае затруднения;
училась анализировать и правильно оформлять результаты.
Глава I . О тригонометрических уравнениях.
1) Определение 1. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида sin x = a ,
cos x=a, tg x=a, ctg x = a.
В таких уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции, а — данное число.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.
2)Основные типы тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к простейшим.
Решение:
Ответ: 
Уравнения, сводящиеся к квадратным.
1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Ответ: 
Однородные уравнения : asinx + bcosx = 0
a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.
Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0
Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем,
что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx.
Ответ: 
Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.
Пример: Решить уравнение 
Решение: 
Ответ: 
Уравнения, решаемые разложением на множители.
Припер: Решить уравнение sin2x – sinx = 0.
Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим
2sinxcosx – sinx = 0,
sinx (2cosx – 1) = 0.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Ответ: 
Решить уравнение cosx = х 2 + 1.
Глава II . Основные понятия и формулы тригонометрии.
Тригонометрические уравнения — обязательная тема любого экзамена по математике.
О х, сколько мучений доставляет ученикам изучение тригонометрии.
Определенные сложности возникают даже в том случае, если рядом учитель по математике и объясняет каждую мелочь. Это и понятно, одних только базовых формул существует более двадцати. А уж если считать их производные … Ученик путается в вычислениях и никак не может запомнить механизмы, при помощи которых эти формулы позволяют найти, например, 
.
Вы знаете формулы — вам легко решать. Не знаете — не поймете, даже если дадут формулу.
Формулу нужно не просто тупо знать, а знать куда ее можно применить, как раскрыть и в чем суть формулы, а для этого вам нужно решать примеры именно для тех задач, которые даются с трудом.
Мне поначалу казалось, тригонометрия — это скучный набор формул и графиков. Однако, знакомясь с новыми понятиями тригонометрии и методами решения тригонометрических уравнений, каждый раз убеждалась, насколько интересен и увлекателен мир тригонометрии.
Во- первых, для успешного решения тригонометрических уравнений нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму, формулы понижения степени и другие), так как использование на ЕГЭ шпаргалок и мобильных телефонов запрещается
Во- вторых , мы должны четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений (полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений)
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:
а) Функция y = sin x . Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа sinx =2 или sinx =-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= sinx
1) sinx =a, x= (-1) n arc sin a +n,n
Z
2) sinx = — a, x= (-1) n+1 arc sin a +n,nZ
Также, нужно знать частные случаи: 1) sinx =- 1, 
2) sinx =0, 
3) sinx = a , 
Также нужно уметь решение 
в виде двух серий корней
.
2 . Функция y = cos x . Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа cos x =2 или cos x =-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= cos x :
1. cosx =a, X=± arccos a+2n,nZ
2. cos x=-a, X=±( — arccos a)+2n,nZ
Частные случаи: 1. cosx =-1, X = +2 n , nZ
2. cosx =0,
3. cosx =1, X= 2n,nZ
3. Функция y = tg x .
Тут всего одна формула, без частных случаев: tg x = ± a .
х = ± arctg a+n,nZ
В-третьих, надо знать значения тригонометрических функций;
В- четвёртых, Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).
V . Уравнения, предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет.
«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели».
1. Уравнения, сводящиеся к квадратному.
С1. Решить уравнение: 
Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в виде 
Заменой cos 
= t уравнение сводится к квадратному:2 t 2 + 9 t -5 =0, которое имеет корни t 1 = ½ и t 2 = -5. Возвращаясь к переменной х, получим 
, 
Второе уравнение корней не имеет так как | cosx |≥1, а из первого x =±
+6 k , kZ
Ответ: =±+6 k , kZ
Вывод: вводя новую переменную, нужно учитывать, что значения sin x и cos x ограничены отрезком 
, а иначе появятся посторонние корни.
2. Уравнения, решаемые разложением на множители
Задание С1 ( 2011 г.)
а) Решить уравнение 
б) Указать корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение: а) решаем разложением левой части на множители:
группируем и выносим общий множитель за скобки, получим
Уравнение 1) решений не имеет.
Второе уравнение однородное, решается делением почленно на cosx ≠0, получим 
, откуда 
б) 
Ответ: а) 
б) 
1.При решении уравнения такого вида, во – первых, нужно знать, что | sin х|≤1 и | cosx |≤1, и уравнение sinx =-2 решений не имеет;
2.Во – вторых, обосновать деление на cosx ≠о ( так как , если cosx =0,то sin х=0 , а это невозможно;
в- третьих, обоснованно произвести отбор корней, принадлежащие данному промежутку
3
.Уравнение на применение формул приведения
С1 ( 2010 г.) Дано уравнение
а) решить уравнение;
б
) Указать корни, принадлежащие отрезку
Решение: Используя формулы приведения, получим :
sin 2 x – cos x =0,
2 sinx cosx- cosx =0,
с osx (2 sinx -1 )=0, откуда cosx= 0 или sinx =½,
б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать
указанному промежутку. Для того, чтобы выбрать корни. принадлежащие заданному промежутку, решение представим в виде :
б
) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать указанному промежутку .
2)
Решая это неравенство, целого
значения к не получим.
Ответ: а) 
б) 
При решении уравнения такого вида, необходимо знать формулы приведенного уравнения и правильно её применить; уметь представлять решение
на две серии корней; правильно выбрать корни, принадлежащие заданному отрезку.
4. Системы тригонометрических уравнений
С1 (2010). Решить систему уравнений 
Решение: О.Д.З 
Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Из уравнения 2 sin 2 x – 3 sinx +1 =0, решая методом введения новой переменной, находим
или sin x =1.
1)Пусть , тогда 
и у = cos x = 
›0 ( используя основное тригонометрическое тождество)
либо 
и 
— нет решения.
2) Пусть sinx = 1, тогда у = cos x = 0 – нет решения.
Ответ: и у =
Вывод: 1) нужно учитывать ограниченность тригонометрических
2) Записывать и учитывать О.Д.З.
5. С1 ( ЕГЭ 2011 г.) Решить уравнение: 
О.Д.З. – cos x ≥ 0, sin х ≤ 0.
4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 или cos x =0
sinx = t 
4 t 2 + 12 t + 5=0, откуда t 1=-½ , t 2 = — 
sinx = -½ sinx =- — не имеет решения
х = 
х = 
с учётом О.Д.З. х =
Ответ: х =
Вывод: Ответ записать с учётом О.Д.З.
В проделанной мною работе были изучены решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, методы решения тригонометрических уравнений и рассмотрены ошибки, которые возможны при их решении.
Я пришла к следующим выводам:
1. Задания типа С1 проверяют умение решать тригонометрические уравнения. Эти задания являются, действительно, несложными, что придаёт лишнюю самоуверенность и усыпляют внимательность. Единственной сложностью этих заданий является то, что, решив уравнение или систему уравнений, отбросить посторонние корни.
2. Задача С1 – это самая простая задача группы С. При ее решении не должны возникать громоздкие преобразования и сложные вычисления. Если же они появились – немедленно нужно остановиться, проверить решение и попробовать понять, что же здесь не так.
3. В конечном итоге, главное требование — решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений. Нужно постараться записать свое решение кратко и понятно, но главное – правильно!
4. И самое главное — чтобы научиться без ошибок решать уравнения , надо их решать! Ведь, как говорил Пойа, « Если хотите научиться плавать, то смело ныряйте в воду, а если хотите научиться решать задачи, надо их решать!»
Приложение 1 ( основные формулы тригонометрии)
1) основное тригонометрическое тождество sin 2 α + cos 2 α= 1,
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем
2)формулы двойного аргумента sin 2α =2 sin α cos α,
cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α ,
cos 2α = 1- 2 sin 2 α,
3)формулы понижения степени: 
4) формулы суммы и разности двух аргументов:
sin (α+ β )= sin α cos β + cos α sin β
sin (α- β )= sin α cos β — cos α sin β
cos (α+ β )= cos α cos β + sin α sin β
cos (α- β )= sin α cos β + sin α sin β
Формулами приведения называются формулы следующего вида:
Суммы суммы и разности тригонометрических уравнений
Чётность
Косинус— чётная, синус, тангенс и котангенс— нечётные , то есть:
Непрерывность
Синус и косинус — непрерывные функции . Тангенс и имеет точки разрыва
,котангенс 0; ±π; ±2π;…
Периодичность
Функции y = cos x , y = sin x — периодические с периодом 2π,
функции y = tg x и y = ctg x — c периодом π.
Видео:Решение тригонометрических уравнение в ЕГЭ для новичков | ЕГЭ Математика | Аня Матеманя | ТопскулСкачать
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать
Тригонометрические уравнения и преобразования
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
Значения тригонометрических функций некоторых углов
| $α$ | $ 0$ | $/$ | $/$ | $/$ | $/$ | $π$ |
| $sinα$ | $ 0$ | $ /$ | $ /$ | $ /$ | $ 1$ | $ 0$ |
| $cosα$ | $ 1$ | $ /$ | $ /$ | $ /$ | $ 0$ | $ -1$ |
| $tgα$ | $ 0$ | $ /$ | $ 1$ | $ √3$ | $ -$ | $ 0$ |
| $ctgα$ | $ -$ | $ √3$ | $ 1$ | $ /$ | $ 0$ | $ -$ |
Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($/$ и $/$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования
Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$
Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
Тригонометрические тождества
- $tgα=/$
- $ctgα=/$
- $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
Вычислить $sin t$, если $cos t = / ; t ∈(/;2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(/;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус
🔥 Видео
Тригонометрические уравнения. Задание 12 | Профильная математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать
Решение тригонометрических уравнений №12 | Математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать
Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать
КОГДА ПИСАТЬ +Пк, а когда +2Пк? (Задание 13 по Тригонометрии ЕГЭ 2024 по Математике Профиль)Скачать
3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать
Вся тригонометрия к ЕГЭ за 20 минут | Математика ЕГЭ — Эрик ЛегионСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Профильный ЕГЭ 2022. Сложные уравнения. Задание 12Скачать
✓ Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ | #ТрушинLive #030 | Борис ТрушинСкачать
Тригонометрические уравнения | Борис ТрушинСкачать
ЕГЭ-ПРОФИЛЬ. ЗАДАНИЕ-1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
САМЫЕ СЛОЖНЫЕ Задания #6 ЕГЭ 2024 (Тригонометрические Уравнения) | Школа ПифагораСкачать
Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 12. Тригонометрия, логарифмы, степени. Зимняя школаСкачать
ЕГЭ-ПРОФИЛЬ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ЗАДАНИЕ-12Скачать
