Как построить график уравнения на координатной плоскости 7 класс

О чем эта статья:

Видео:7кл. Постройте график уравнения x+y=5Скачать

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Видео:7 класс, 7 урок, Координатная плоскостьСкачать

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Видео:Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Видео:Как построить график линейной функции.Скачать

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Видео:Графики функций. Алгебра, 7 классСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

График линейного уравнения с двумя переменными

В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c — свободным членом.

Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:

Графиком $y = kx+ tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).

Точки пересечения с осями координат:

График линейной функции ax+by=c с ненулевыми коэффициентами очень удобно чертить по двум точкам пересечения с осями координат: точка на оси X ( $frac$;0) и точка на оси Y (0; $frac$)

Равенство нулю коэффициентов при переменных:

$0x+2y = 4 Rightarrow y = 2$

График – прямая, параллельная оси Х.

$3x+0y = 3 Rightarrow x = 1$

График – прямая, параллельная оси У.

a = 0, b = 0, $c neq 0$

x, $y in Bbb R$ — любое действительное число.

График – вся координатная плоскость

График – пустое множество.

Взаимное расположение графиков двух уравнений

$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Методическая разработка для урока алгебры в 7 классе по теме «Построение графика линейного уравнения с двумя переменными»
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Методическая разработка для урока алгебры в 7 классе

по теме «Построение графика линейного уравнения с двумя переменными»

Федотова Е.А., учитель математики

Видео:ГРАФИК ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСС видеоурокСкачать

Скачать:

Видео:Алгебра 7 класс. 3 октября. Строим график линейной функцииСкачать

Предварительный просмотр:

для урока алгебры в 7 классе

по теме «Построение графика линейного уравнения с двумя переменными»

Федотова Е.А., учитель математики

Задание: постройте график линейного уравнения с двумя переменными: 3х-у=7

В уравнении у=-7+3х коэффициенты отличны от нуля, поэтому его графиком является прямая.

2. Находим координаты двух точек, для удобства строим таблицу. Значения «х» берем произвольно, значение «у» вычисляем по формуле у=-7+3х.

( 0; -7 ), ( 2; -1 ) – пара точек

3. Отмечаем точки на координатной плоскости

4. Проводим через отмеченные точки прямую

Эта прямая- график уравнения 3х-у=7

Задание 2: постройте график функции с двумя переменными: а) 5х-у=25 б) х-у=1 в) 5х-у=25 г) 7х-7у=14

Видео:Алгебра 7 класс. 29 сентября. Построить график линейного уравненияСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока математикм в 7 классе по теме «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными»

Урок изучения нового материала по теме «Системы двух уравненийв двумя переменными».

Конспект урока математикм в 7 классе по теме «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными»

Конспект урока изучения нового материала.

Урок математики в 6 классе по теме «Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом сложения»

Урок математики в 6 классе по теме «Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом сложения».

Методическая разработка к уроку алгебра 8 класс по теме » Нахождение приближенных значений квадратного корня».

Конспект урока алгебра 8 класс по теме «Нахождение приближенных значений квадратного корня».

Урок в 7 классе по теме: «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций»

Урок в 7 классе по теме: «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций» .

Методическая разработка дистанционного урока в 6 классе на тему «Решение более сложных уравнений»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знанийЦели урока: -закрепить основные способы решения уравнений;-рассмотреть решение уравнений другими способами;-развивать логическое мышление, интерес к ма.

Методическая разработка дистанционного урока в 7 классе на тему «Построение треугольника по трем элементам»

Тип урока: урок открытия новых знанийЦели урока: рассмотреть задачи на построение треугольника по трем элементам;совершенствовать навыки решения задач на построение.развитие математического мышления;р.

Видео:7 класс, 8 урок, Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать

Урок алгебры по теме «График уравнения с двумя переменными». 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Цели:

Тип урока: объяснение нового материала

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку.

Видео:Алгебра 7 класс - Множество точек на координатной плоскостиСкачать

Ход урока

1. Мотивация учебной деятельности (Слайд 1 (cм. презентацию))

Чем больше я знаю,
Тем больше умею.
Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает. (Роман Сеф).

Учитель: Посмотрите на слайд. Как вы понимаете эти слова? Как мы можем отнести их к сегодняшнему уроку?

2. Актуализация и пробное учебное действие.

Учитель: Сегодня вам самим предстоит открыть новые знания. Прежде, чем совершать открытие, давайте проверим себя, готовы ли мы совершить его, всё ли было усвоено на уроках, имеются ли слабые места.

Каждый этап урока мы будем оценивать в листах контроля (Приложение 1). Они лежат у вас на столах. Если работал хорошо, то +, если были затруднения +-, если ни чего не получалось -.

Какие из приведенных ниже уравнений являются линейными? (Слайд 2)

Ответ: 3х – у = 14 Почему? Обоснуйте.

Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

ах + ву = с, где х и у — переменные а, в, с — некоторые числа)

Вместо точек поставьте числа так, чтоб полученная пара чисел являлась решением данного уравнения (Слайд 3)

Что называется решением уравнения с двумя переменными? (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство)

Выберите точку, которая принадлежит графику уравнения (Слайд 4):

А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D(11; -2).

А теперь давайте вспомним построение точек на координатной плоскости (Слайд 5). Запишите буквы которым соответствуют данные координаты.

Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока.

Я предлагаю вам выполнить следующее задание в рабочих тетрадях.

Построите графики функций в одной системе координат (Слайд 6)

Время закончилось, начинаем проверять. (Слайд 7)

Где возникли затруднения?

Почему? (потому что мы не умеем строить такие графики)

А если мы не умеем строить такие графики, то какую поставим перед собой цель?

(Научиться строить график линейного уравнения с двумя неизвестными)

Какова же тема урока? (График линейного уравнения с двумя переменными (Слайд 8))

А кто построил график в задании 4?

Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока.

3. Постановка проблемы

Как вы думаете, как мы будем строить график этого уравнения? (выслушать детей)

Итак, подведём итог: (Слайд 9)

Выразим переменную у через х

Формулой у=-1,5х+3 задается линейная функция, графиком которой служит прямая.

Уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6

А теперь построим график уравнения предложенного в №4 на доске (начертить заранее систему координат на доске).

Так что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными? (ответы детей) (Слайд 9)

Составим алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя неизвестными

1. Выразим у через х
2. Выясним, что является графиком данного уравнения
3. Построим график данного уравнения

4. Первичное закрепление

5. Самостоятельная работа с проверкой (Слайд 11 – 14)

Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока.

Рефлексия. Возьмите лист контроля и оцените свою работу на этом этапе урока (смайлик).

Домашнее задание п.41, № 1046, №1048(в, г)

📹 Видео

Урок ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ 7 КЛАСССкачать

Как запомнить графики функцийСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Алгебра 7 класс. 22 сентября. Координаты точек на координатной плоскостиСкачать

График линейного уравнения с двумя переменными, 7 классСкачать

Прямая пропорциональность и её график. Алгебра, 7 классСкачать

Видеоурок "Координатная плоскость, координата точки"Скачать

Линейное уравнение в координатной плоскости.Скачать